题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总成绩 核分人 得分 阅卷人 复核人
得分 一、填空题（共15分，每小题3分）
1.行列式.
2.设，的伴随矩阵为，则.
3.设为阶满秩矩阵，为阶单位矩阵，则的标准形矩阵为.
4.阶实对称矩阵的线性无关的特征向量的个数为．
5.设有维列向量组，则向量可由该向量组线性表示为.
得分 二、选择题（共15分，每小题3分）
1.设，则）.
(A)；(B)；
(C)；(D).
2.设为维列向量，则下列运算错误的是（）.
(A)；(B)；(C)；(D)
3.设齐次线性方程组的解空间是零空间，即它只有零解，则它对应的非齐次线性方程组().
(A)必有唯一解；(B)必有解；
(C)无解或有唯一解；(D)无解或有无穷多解．
4.设为阶矩阵，则下列说法正确的是（）.
(A)必有个互不相等的特征值；(B)个线性无关的特征向量；(C)一定能对角化；(D).的全部特征值的和为．
5.设向量组线性无关，且它与向量组等价，则().
(A)； (B)；
(C)； (D)等于向量组的秩．
得分 三、（8分）利用行列式的性质计算行列式．
解：.
2分4分6分8分
得分 四、（10分）设方阵满足，证明可逆，并求其逆矩阵．
证：由 ，4分
知
，6分
故可逆，8分
且.10分
得分 五（7分）设为阶正交矩阵,试证明：当时,则是的一个特征值．
证明只需证．
由于２分
则有
５分
所以，也就是，即是的一个特征值．7分
得分 六、（15分）设有向量组
求它的秩,判断其线性相关性,并指出该向量组的一个极大无关组.
解：对进行初等行变换得
9分
故该向量组的秩为，其是线性相关的，一个极大无关组为．15分
得分 七、（15分）求线性方程组的通解(要求用其对应的齐次线性方程组的基础解系表示其通解,并以下标大的未知量作为自由未知量).
解对方程组的增广矩阵进行初等行变换得
2分
6分
可得8分
从而方程组的一个基础解系为10分
令得方程组的一个特解为12分
于是所求的方程组通解为
,其中为任意实数.15分
得分 八、（15分）设矩阵,求正交矩阵,使得为对角矩阵，并写出该对角矩阵.
解：，3分
特征值为.5分
对于，解方程组，即，得特征向量，单位化，得；8分
对于，解方程组，即，得特征向量，单位化，得.11分
令，则为正交矩阵，13分
且.15分
年级：2009专业：工科、经管各专业课程号：1101181006
2009-2010学年第二学期本科试卷
课程名称:线性代数(A)
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学院:专业:学号:姓名:
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