题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总成绩 得分 阅卷人 复核人
得分 一、填空题（共15分，每小题3分）
1.设三阶行列式，则行列式.
2.设矩阵，，则.
3.若方程组无解，则.
4.设阵，则.
5.设为阶正交矩阵，.
得分 二、选择题（共15分，每小题3分）
1.设行列式，为元素的代数余子式，则（C）.
(A)1；(B)2；(C)0；(D)-1.
2.设是任意矩阵，则（B）.(B)
(A)若的所有阶子式全为零，则；(B)若，则；(C)若是阶满秩方阵，则；(D)若，则没有等于0的阶子式.
设、为维列向量，是常数，则下列说法不正确的是(D).
(A)；(B)；(C)；(D)设为两个矩阵，则下列说法正确的是（D）.
(A)若，则或；
(B)若、为同型矩阵，则；
(C)若，，则；
(D)若，则或.
5.设，则（A）
(A)2；(B)3；(C)1；(D)0.
得分 三、（9分）求解矩阵方程，其中
解（方法一）
故（9分）
（方法二）
故（7分）
从而（9分）
得分 四、（8分）设维列向量组线性无关，为阶可逆矩阵，证明向量组也线性无关.
证：设，（2分）则.（4分）由为可逆矩阵，知.（6分）再由线性无关，知，即向量组线性无关.（8分）
得分 五（9分）求向量组，，，的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示
解：2分4分
5分，是一个极大无关组7分，，9分.
得分 六、（9分）求非齐次线性方程组的通解（用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解）.
.
解：4分
5分，
可见，齐次方程组的基础解系中含有1个解向量=7分
故方程组的通解为，为任意常数.9分
得分 七、（9分）已知与相似，求
解因，故与有相同的特征值（3分）.由特征值的性质有
（5分）；由有.（8分）于是（9分）
得分 八、（9分）用施密特正交化方法把线性无关的向量组
，，正交化.
解：正交化：，（2分）
，（6分）
.（9分）
得分 九、（9分）求一个正交变换，把二次型化为标准型.
解：二次型的矩阵（2分）的特征方程为
，所以的特征值为
.（4分）
对于特征值，解齐次线性方程组得矩阵的属于特征值的特征向量.
对于特征值，解齐次线性方程组得矩阵的属于特征值的特征向量.（6分）
将单位化得,则所求正交变换为
,（8分）二次型的标准形为.（9分）
得分 十、（8分）已知实矩阵满足条件：
(1),其中是的代数余子式；
(2).证明：.
证明：因为，所以，（2分）且，又，因此，（4分）
所以或，
将按第1行展开得，（6分）又因为，所以，故可得.（8分）
年级：2008 专业：工科、经济各专业课程号：1101181006
2010-2011学年第二学期本科试卷
课程名称:线性代数(A）
第2页（共7页）
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学院:专业:学号:姓名:
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