题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总成绩 得分 阅卷人 复核人
得分 一、填空题（共15分，每小题3分）
1.行列式.
2.设，为三阶非零矩阵，且，则.
3.已知方程组无解，则.
4.已知四阶矩阵的元素全为，则的非零特征值为.
5.设三阶矩阵，则.
得分 二、选择题（共15分，每小题3分）（每小题只有一个正确答案，选对得分，选错、不选或多选不得分）
1.设，元素的代数余子式为，则方程的解为（C）
（A）；（B）；（C）（D）.
2.设，其中为阶单位阵，则必有（D）
（A）；（B）；（C）；（D）.
3.已知向量组线性无关，则向量组（C）
（A）线性无关；
（B）线性无关；；
（C）线性无关；；
（D）线性无关；.
4.具有个互不相等的特征值是与对角阵相似的（A）.
（A）充分必要条件；（B）充分而非必要条件；
（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件.
5.设是矩阵，是，的秩为，的秩为，则（C）
（A）；（B）；（C）；（D）与的关系依而定.
得分 三、（10分）设满足条件。
（1）证明可逆；（2）已知，求矩阵。
解（1）由有，故可逆。4分
（2）由（1）知也是可逆的，且有6分
而9分
所以10分
得分 四、（12分）求向量组
的秩和极大无关组，并把其余向量表示为这个极大无关组的线性组合。
解6分
因此向量组的秩为，为它的一个极大无关组，且有
12分
得分 五、（10分）设为正交矩阵，
求的值。
解由于为正交矩阵，所以的行、列向量组为标准正交向量组。2分
由的第1，4个列向量正交得4分
由的第2，4个列向量正交得6分
由的第3，4个行向量正交得8分
由的第1，4个行向量正交得10分
得分 六、（15分）求方程组的通解
解对方程组的增广矩阵进行初等行变换有
6分
得对应的齐次线性方程组的一个基础解系为10分
令，得方程组的一个特解为12分
于是所求原方程组的通解为15分
得分 七、（9分）设矩阵，已知有三个线性无关的特征向量，是的二重特征值，求.及的另一个特征值。
解由已知可得2分
5分
于是，7分
，由此得的另一个特征值为。9分
得分 八、（14分）已知二次型
的秩为，（1）求参数；（2）求正交变换把该二次型化为标准形。
解二次型的矩阵为，因，故
，解得。4分
由，的特征值为。8分
对于特征值，解得其基础解系，单位化得；对于特征值，解得其基础解系，单位化得；对于特征值，解得其基础解系，单位化得，记，则为所求正交变换，二次型的标准形为。14分
年级：专业：课程号：
本科试卷库
课程名称:线性代数解答
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学院:专业:学号:姓名:
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