小学数学奥数 1--6 年级培优讲座、 习题集、与答案完整版

小学数学奥数1--6年级培优讲座、习题集、与答案完整版计数问题排列组合讲义1、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母
用3种不同颜色来写，现有5种不同颜色的笔，问共有多少钟不同的写法？分析：从5个元素中取3个的排列：P（5、3）
=5×4×3=602、从数字0、1、2、3、4、5中任意挑选5个组成能被5除尽且各位数字互异的五位数，那么共可以组
成多少个不同的五位数？分析：个位数字是0：P（5、4）=120；个位数字是5：P（5、4）－P（4、3）=120－24=9
6，（扣除0在首位的排列）合计120＋96=216另：此题乘法原理、加法原理结合用也是很好的方法。3、用2、4、
5、7这4个不同数字可以组成24个互不相同的四位数，将它们从小到大排列，那么7254是第多少个数？分析：由已知得
每个数字开头的各有24÷4=6个，从小到大排列7开头的从第6×3＋1=19个开始，易知第19个是7245，第2
0个7254。4、有些四位数由4个不为零且互不相同的数字组成，并且这4个数字的和等于12，将所有这样的四位数从
小到大依次排列，第24个这样的四位数是多少？分析：首位是1：剩下3个数的和是11有以下几种情况：⑴2＋3＋6=1
1，共有P（3、3）=6个；⑵2＋4＋5=11，共有P（3、3）=6个；首位是2：剩下3个数的和是10有以下
几种情况：⑴1＋3＋6=10，共有P（3、3）=6个；⑵1＋4＋5=10，共有P（3、3）=6个；以上正好24个，最大
的易知是2631。5、用0、1、2、3、4这5个数字，组成各位数字互不相同的四位数，例如1023、2341等，求
全体这样的四位数之和。分析：这样的四位数共有P（4、1）×P（4、3）=96个1、2、3、4在首位各有96÷4=2
4次，和为（1＋2＋3＋4）×1000×24=240000；1、2、3、4在百位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋
3＋4）×100×18=18000；1、2、3、4在十位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋3＋4）×10×18=18
00；1、2、3、4在个位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋3＋4）×1×18=180；总和为240000＋1
8000＋1800＋180=2599806、计算机上编程序打印出前10000个正整数：1、2、3、……、10000时，不
幸打印机有毛病，每次打印数字3时，它都打印出x，问其中被错误打印的共有多少个数？分析：共有10000个数，其中不含
数字3的有：五位数1个，四位数共8×9×9×9=5832个，三位数共8×9×9=648个，二位数共8×9=72
个，一位数共8个，不含数字3的共有1＋5832＋648＋72＋8=6561所求为10000－6561=3439个
7、在1000到9999之间，千位数字与十位数字之差（大减小）为2，并且4个数字各不相同的四位数有多少个？分
析：1□3□结构：8×7=56，3□1□同样56个，计112个；2□4□结构：8×7=56，4□2□同样56个，计
112个；3□5□结构：8×7=56，5□3□同样56个，计112个；4□6□结构：8×7=56，6□4□同样56
个，计112个；5□7□结构：8×7=56，7□5□同样56个，计112个；6□8□结构：8×7=56，8□6□
同样56个，计112个；7□9□结构：8×7=56，9□7□同样56个，计112个；2□0□结构：8×7=56
，以上共112×7×56=840个8、如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不
同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？分析：因为强调2本书来自不同的学科，所以共有三种情况：来自语文、数学：3×4=1
2；来自语文、外语：3×5=15；来自数学、外语：4×5=20；所以共有12＋15＋20=479、某条铁路线上，包括起点和
终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种不同的车票？分
析：方法一：一张车票包括起点和终点，原来有P（7、2）=42张，（相当于从7个元素中取2个的排列），现在有P（10、
2）=90，所以增加90－42=48张不同车票。方法二：1、新站为起点，旧站为终点有3×7=21张，2、旧站为起点，
新站为终点有7×3=21张，3、起点、终点均为新站有3×2=6张，以上共有21＋21＋6=48张10、7个相同的
球放在4个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？分析：因为7=1＋1＋1＋1＋1＋1＋1，相当于从6
个加号中取3个的组合，C（6、3）=20种11、从19、20、21、22、……、93、94这76个数中，选取两个
不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？分析：76个数中，奇数38个，偶数38个有703＋703=1406种
偶数＋偶数=偶数：C（38、2）=703种，奇数＋奇数=偶数：C（38、2）=703种，以上共12、用两个3，一个1
，一个2可组成若干个不同的四位数，这样的四位数一共有多少个？分析：因为有两个3，所以共有P（4、4）÷2=12个
13、有5个标签分别对应着5个药瓶，恰好贴错3个标签的可能情况共有多少种？分析：第一步考虑从5个元素中取3
个来进行错贴，共有C（5、3）=10，第二步对这3个瓶子进行错贴，共有2种错贴方法，所以可能情况共有10×2=20
种。14、有9张同样大小的圆形纸片，其中标有数码“1”的有1张，标有数码“2”的有2张，标有数码“3”的有3张
，标有数码“4”的有3张，把这9张圆形纸片如呼所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许在一起。⑴如果M处放标有数
码“3”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？⑵如果M处放标有数码“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？分析：⑴
如果M处放标有数码“3”的纸片，只有唯一结构：在剩下的6个位置中，3个“4”必须隔开，共有奇、偶位2种放法，在剩下
的3个位置上“1”有3种放法（同时也确定了“2”的放法）。由乘法原理得共有2×3=6种不同的放法。⑵如果M
处放标有数码“2”的纸片，有如下几种情况：结构一：3个“3”和3个“4”共有2种放法，再加上2和1可以交换
位置，所以共有2×2=4种；结构二：3个“4”有奇、偶位2种选择（相应的“1”也定了，只能着已有的“3”，加上2
和3可以交换，所以共有2×2=4种；结构三：3个“3”有奇、偶位2种选择，“1”有唯一选择，只能到已有的“4
”，加上2和4可以交换位置，所以共有2×2=4种，以上共有4＋4＋4=12种不同的放法。15、一台晚会上有
6个演唱节目和4个舞蹈节目。问：⑴如果4个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的安排顺序？⑵如果要求每两个舞蹈节目之间至
少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安排顺序？分析：⑴4个舞蹈节目要排在一起，好比把4个舞蹈在一起看成一个节目，这样和
6个演唱共有7个节目，全排列7！，加上4个舞蹈本身也有全排4！，所以共有7！×4！=120960种。⑵4
个舞蹈必须放在6个演唱之间，6个演唱包括头尾共有7个空档，7个空档取出4个放舞蹈共有P（7、4），加上6个
演唱的全排6！，共有P（7、4）×6！=604800种。行程问题讲义1、甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙
地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米。问他走后一半路程用了多少分钟？分析：解法１、全程的平
均速度是每分钟（80+70）/2=75米，走完全程的时间是6000/75=80分钟，走前一半路程速度一定是80米，时间
是3000/80=37.5分钟，后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟解法2：设走一半路程时间是x分钟，则
80x+70x=61000，解方程得：x=40分钟因为8040=3200米，大于一半路程3000米，所以走
前一半路程速度都是80米，时间是3000/80=37.5分钟，后一半路程时间是40+（40-37.5）=42.5分钟
答：他走后一半路程用了42.5分钟。2、小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路。小
明上学走两条路所用的时间一样多。已知下坡的速度是平路的1.5倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？分析：解法1：设路程为
180，则上坡和下坡均是90。设走平路的速度是2，则下坡速度是3。走下坡用时间90/3=30，走平路一共用时间180/
2=90，所以走上坡时间是90-30=60下坡速度的45/60=0.75倍。走与上坡同样距离的平路时用时间90/2=4
5因为速度与时间成反比，所以上坡速度是解法2：因为距离和时间都相同，所以平均速度也相同，又因为上坡和下坡路各一半也相同，设
距离是1份，时间是1份，则下坡时间=0.5/1.5=1/3，上坡时间=1-1/3=2/3，上坡速度=（1/2）/（2/3
）=3/4=0.75解法3：因为距离和时间都相同，所以：1/2路程/上坡速度+1/2路程/1.5=路程/1，得：上坡速度
=0.75答：上坡的速度是平路的0.75倍。3、一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每
小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？分析：解法１，第二小时比第一
小时多走6千米，说明逆水走1小时还差6/2=3千米没到乙地。顺水走1小时比逆水多走8千米，说明逆水走3千
米与顺水走8-3=5千米时间相同，这段时间里的路程差是5-3=2千米，等于1小时路程差的1/4，所以顺水速度是每小时
54=20千米（或者说逆水速度是34=12千米）。甲、乙两地距离是121+3=15千米解法２，顺水每小时比逆
水多行驶8千米，实际第二小时比第一小时多行驶6千米，顺水行驶时间=6/8=3/4小时，逆水行驶时间=2-3/4=5/4
，顺水速度：逆水速度=5/4：3/4=5：3，顺水速度=85/（5-3）=20千米/小时，两地距离=203/4=15千米。
答：甲、乙两地距离之间的距离是15千米。4、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲
站发出开往乙站，全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又
遇到了10辆迎面开来的电车。到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？分析：骑车人一共看到
12辆车，他出发时看到的是15分钟前发的车，此时第4辆车正从甲发出。骑车中，甲站发出第4到第12辆车，共9
辆，有8个5分钟的间隔，时间是58=40（分钟）。答：他从乙站到甲站用了40分钟。5、甲、乙两人在河中游泳
，先后从某处出发，以同一速度向同一方向游进。现在甲位于乙的前方，乙距起点20米，当乙游到甲现在的位置时，甲将游离起点98
米。问：甲现在离起点多少米？分析：甲、乙速度相同，当乙游到甲现在的位置时，甲也又游过相同距离，两人各游了（98-20）/2=3
9（米），甲现在位置：39+20=59（米）答：甲现在离起点59米。6、甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小
时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。问：东西两地的距离是多少千米？分析：解法1：
甲比乙1小时多走8千米，一共多走322=64千米，用了64/8=8小时，所以距离是8（56+48）=832（
千米）解法2：设东西两地距离的一半是X千米，则有：48（X+32）=56（X-32），解得X=416，距离是2
416=832（千米）解法3：甲乙速度比=56：48=7：6，相遇时，甲比乙多行=（7-6）/（7+6）=1/13，两地距离
=232/（1/13）=832千米。答：东西两地间的距离是832千米。7、李华步行以每小时4千米的速度从学校出
发到20.4千米外的冬令营报到。0.5小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。又过了1.5小时，
张明从学校骑车去营地报到。结果3人同时在途中某地相遇。问：骑车人每小时行驶多少千米？分析：老师速度=4+1.2=5.2（千
米），与李相遇时间是老师出发后（20.4-40.5）/（4+5.2）=2（小时），相遇地点距离学校4（0.5+2）=10（
千米），所以骑车人速度=10/（2+0.5-2）=20（千米）答：骑车人每小时行驶20千米。8、快车和慢车分别从甲、乙
两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇。已知慢车从乙地到甲地用12.5小时，慢车到甲地停留0.5小时后返回，快车到乙
地停留1小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多少时间？分析：解法１，快车5小时行过的距离是慢车12.5-
5=7.5小时行的距离，慢车速度/快车速度=5/7.5=2/3。两车行1个单程用5小时，如果不停，再次相遇需要52
=10小时，如果两车都停0.5小时，则需要10.5小时再次相遇。快车多停30分钟，这段路程快车与慢车一起走，需要
30/（1+2/3）=18（分钟）所以10.5小时+18分钟=10小时48分钟解法2：回程慢车比快车多开半小时，
这半小时慢车走了0.5/12.5=1/25全程，两车合起来少开1/25，节省时间=51/25=0.2小时，所以，从第一
次相遇到第二次相遇需要=52+1-0.2=10.8小时。答：两车从第一次相遇到第二次相遇需要10小时48分钟。
9、某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1小时。这位劳模在下午1时便离厂步
行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2时40分到达。问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？解：汽车
走单程需要60/2=30分钟，实际走了40/2=20分钟的路程，说明相遇时间是2：20，2点20分相遇时，劳模走了
60+20=80分钟，这段距离汽车要走30-20=10分钟，所以车速/劳模速度=80/10=8答：汽车速度是劳模步行速
度的8倍。10、已知甲的步行的速度是乙的1.4倍。甲、乙两人分别由A，B两地同时出发。如果相向而行，0.5小时后
相遇；如果他们同向而行，那么甲追上乙需要多少小时？分析：两人相向而行，路程之和是AB，AB=速度和0.5；同向而行，路程
之差是AB，AB=速度差追及时间。速度和=1.4+1=2.4，速度差=1.4-1=0.4。所以：追及时间=速度和/速度差0
.5=2.4/0.40.5=3（小时）答：甲追上乙需要3小时。11、猎狗发现在离它10米的前方有一只奔跑着的兔子
，马上紧追上去。兔跑9步的路程狗只需跑5步，但狗跑2步的时间，兔却跑3步。问狗追上兔时，共跑了多少米路程？分析
：狗跑2步时间里兔跑3步，则狗跑6步时间里兔跑9步，兔走了狗5步的距离，距离缩小1步。狗速=6速度差，路
程=106=60（米）答：狗追上兔时，共跑了60米。12、张、李两人骑车同进从甲地出发，向同一方向行进。张的速度比
李的速度每小时快4千米，张比李早到20分钟通过途中乙地。当李到达乙地时，张又前进了8千米。那么甲、乙两地之间的距离是
多少千米？分析：解法1，张速度每小时8/（20/60）=24（千米），李速度每小时24-4=20（千米），张到乙时超过李
距离是20（20/60）=20/3（千米）所以甲乙距离=24（20/3/4）=40（千米）解法2：张比李每小时快4
千米，现共多前进了8千米，即共骑了8/4=2小时，张从甲到乙用了260-20=100分钟，所以甲乙两地距离=（1
00/20）8=40千米。答：甲、乙两地之间的距离是40千米。13、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发；
8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他；然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家
恰好是8千米。问这时是几时几分？分析：爸爸第一次追上小明离家4千米，如果等8分钟，再追上时应该离家8千米，说明
爸爸8分钟行8千米，爸爸一共行了8+8=16分钟，时间是8点8分+8分+16分=8点32分。答
：这时8点32分。14、龟兔进行10000米赛跑，兔子的速度是乌龟的速度的5倍。当它们从起点一起出发后，乌龟不
停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它5000米；兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后100米
。那么兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？分析：兔子跑了10000-100=9900米，这段时间里乌龟跑了99001/5=
1980米，兔子睡觉时乌龟跑了10000-1980=8020米答：兔子睡觉期间乌龟跑了8020米。15、一辆大轿
车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地。大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍。已知大轿车比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停了
5分钟后，才继续驶往乙地；在小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车却比大轿车早4分钟到达乙地。又知大轿车是上午
10时从甲地出发的，求小轿车追上大轿车的时间。分析：解法1，大车如果中间不停车，要比小车多费17-5+4=16分钟，大
车用的时间与小车用的时间之比是速度比的倒数，即1/0.8=5/4，所以大车行驶时间是16/（5-4）5=80分钟，小车行
驶时间是80-16=64分钟，走到中间分别用了40和32分钟。大车10点出发，到中间点是10点40分，离
开中点是10点45分，到达终点是11点25分。小车10点17分出发，到中间点是10点49分，比大车
晚4分；到终点是11点21分，比大车早4分。所以小车追上大车的时间是在从中间点到终点之间的正中间，11点5分
。解法2：大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍，大轿车的用时是小轿车用时的1/0.8=1.25倍，大轿车比小轿车多用时
17-5+4=16分钟，大轿车行驶时间=16（1.25/0.25）=80分钟，小轿车行驶时间=16/（0.25）=64
分钟，小轿车比大轿车实际晚开17-5=12分钟，追上需要=120.8/（1-0.8）=48分钟，48+17=65分=1
小时5分，所以，小轿车追上大轿车的时间是11时5分答：小轿车追上大轿车的时间是11点5分。第二讲义
1、某解放车队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进。一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少
时间？分析：从排尾到排头用的时间是450/（3-1.5）=300秒，从排头回排尾用的时间是450/（3+1.5）=100
秒，一共用了300+100=400秒答：需要400秒。2、铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人同进向南行进
，行人速度为每小时3.6千米，骑车人速度为每小时10.8千米。这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒
钟，通过骑车人用26秒钟。这列火车的车身总长是多少米？分析：设火车速度是每秒X米。行人速度是每秒3.61000/6
060=1（米），骑车人速度是每秒1.81000/6060=3（米）根据已知条件列方程：（X-1）22=（X-3）
26，解得：X=14（米），车长=（14-1）22=286（米）分析２，骑车人速度是行人速度的10。8/3。6=3倍，2
2秒时火车通过行人（设行人这22秒所走的路程为1），车尾距骑车人还有2倍行人22秒所走的路程，即距离2；26秒
（即又过4秒）时，火车通过骑车人，骑车人行=4（3/22）=6/11，火车行2+6/11=28/11，火车与骑车人的速度
比为28/11：6/11=14：3；火车速度=1410.8/3=504千米/小时；火车车长=（50400-3600）22/
3600=286米。答：这列火车的车身总长是286米。3、一列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210
米长的隧道用23秒。已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为320米，速度每秒17米。求列车与华车从
相遇到离开所用的时间。分析：客车速度是每秒（250-210）/（25-23）=20米，车身长=2023-210=250米
客车与火车从相遇到离开的时间是（250+320）/（20-17）=190（秒）答：客车与火车从相遇到离开的时间是190
秒。4、铁路旁有一条小路，一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去。14小时10分钟追上向北行走的
一位工人，15秒种后离开这个工人；14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生。问工人与学生将在何时相遇？
分析：解法1：工人速度是每小时30-0.11/（15/3600）=3.6千米学生速度是每小时（0.11/12/3600
）-30=3千米14时16分到两人相遇需要时间（30-3.6）6/60/（3.6+3）=0.4（小时）=24分钟1
4时16分+24分=14时40分解法2：（车速-工速）15=车长=（车速+学速）12,那么工速+学速=（
车速+学速）-（车速-工速）=（1/12-1/15）车长而14点10分火车追上工人，14点16分遇到学生时，工
人与学生距离恰好是（车速-工速）6=6/15车长这样，从此时到工人学生相遇用时（6/15车长）/[（1/12-1/15
）车长]=（6/15）/（1/12-1/15）=24分答：工人与学生将在14时40分相遇。5、东、西两城相距
75千米。小明从东向西走，每小时走6.5千米；小强从西向东走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西，每小时骑行15
千米。3人同时动身，途中小辉遇见小强又折回向东骑，这样往返，直到3人在途中相遇为止。问：小辉共走了多少千米？分析：3人
相遇时间即明与强相遇时间，为75/（6.5+6）=6小时，小辉骑了156=90千米答：小辉共骑了90千米。6
、设有甲、乙、两3人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的3倍。现甲从A地去B地，乙、丙从
B地去A地，双方同时出发。出发时，甲、乙为步行，丙骑车。途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，3人仍按各自原
有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己重又步行，3人仍按各自原有方向继续前进。问：3人之中谁最先达到自己的目的
地？谁最后到达目的地？分析：如图，甲与乙在M点相遇，甲走了AM，同时乙也走了同样距离BN。当甲与乙在P点相遇时
，乙一共走了BP，甲还要走PB，而丙只走了MA。所以3人步行的距离，甲=AM+PB，乙=BP，丙=MA。甲最远，最后到
；丙最短，最先到。分析２，由于每人的步行速度和骑车速度都相同，所以，要知道谁先到、谁后到，只要计算一下各人谁步行最长，谁步行最
短。将整个路程分成4份，甲丙最先相遇，丙骑行3份，步行1分；甲先步行了1份，然后骑车与乙相遇，骑行23/4=
3/2份，总步行4-3/2=5/2份；乙步行1+（2-3/2）=3/2，骑行4-3/2=5/2份，所以，丙最先到，甲
最后到。答：丙最先到达自己的目的地，甲最后到达自己的目的地。7、有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走
80米，丙每分钟走75米。现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇后6分钟后，甲又与丙相遇。那
么，东、西两村之间的距离是多少米？分析：甲、乙相遇时，乙比丙多走的路程，正好是甲、丙6分钟的路程之和=（100+75）6
，乙比丙每分钟多走（80-75）米，因此甲、乙相遇时走了：[（100+75）6/（80-75）]分钟，两村的距离是（100+8
0）[（100+75）6/（80-75）]=37800（米）答：东、西两村之间的距离是37800米。8、甲、乙、丙
3人进行200米赛跑，当甲到达终点后，乙离终点还有20米，丙离终点还有25米。如果甲、乙、丙赛跑的速度始终不变，
那么，当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？（答案保留两位小时。）分析：乙跑200-20=180米比丙多跑25-20=5
米，所以乙到达终点时，丙比乙少跑200/1805=5（5/9）=5.56（米）答：当乙到达终点时，丙离终点还有5.56
米。9、张、李、赵3人都从甲地到乙地。上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米。
赵上午8时从甲地出发。傍晚6时，赵、张同时到过乙地。那么赵追上李的时间是几时？分析：甲、乙距离是512=60（千
米），赵的速度是60/10=6（千米），赵追上李时走了（42）/（6-4）=4（小时），这时的时间是8+4=12（点）
分析２，赵晚走2小时，此时张已走出52=10千米，李走出42=8千米，从上午8时到下午18：00时，共1
0个小时，赵、张同时到达乙地，赵每小时比张多走10/10=1千米，那么赵比李每小时多走1+1=2千米，追上需要8/2
=4小时，即追上为12：00时。答：赵追上李的时间是12时。10、快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一
公路追赶前面的一个骑车人。这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每小时走24千米，中车
每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米？分析：快车6分钟行2410006/60=2400（米），中车10
分钟行20100010/60=3333（1/3）（米）骑车人速度每分钟行（3333（1/3）-2400）/（10-6）=
700/3（米）慢车12分钟行2400-700/36+700/312=3800（米），每小时行3800/1260=
190000（米）=19（千米）分析２，6分钟快车追上骑车人时，中车与它们还相差6（24-20）/60=0.4千米，1
0分钟时，中车又开了420/60=4/3千米，追上骑车人，说明骑车人4分钟骑了4/3-0.4=14/15千米，即
骑车人速度=（14/15）（60/4）=14千米/小时，因为快车用6分钟追上骑车人，由此可知原本三辆汽车落后骑车人6
（24-14）/60=1千米，12分钟时，骑车人离三车出发点1+1412/60=3.8千米，所以，慢车速度=（3.8/
12）60=19千米/小时。答：慢车每小时行19千米。11、客车和货车分别从甲、乙两站同进相向开出，第一次相遇在离
甲站40千米的地方，相遇后两车仍以原速度继续前进。客车到达乙站、货车达到甲站后均立即返回，结果它们又在离乙站20千米的地
方相遇。求甲、乙两站之间的距离。分析：第一次相遇一共走了全程S，其中客车走40千米S+20=340，解得S=100
（千米）第二次相遇两车一共又走了3个全程2S，其中客车走（S+20）千米所以答：甲、乙两站之间的距离是100
千米。12、甲、乙、丙是3个车站。乙站到甲、丙两站的距离相等。小明和小强分别从甲、丙两站同时出发，机向而行。小明过乙站1
00米后与小强相遇，然后两人又继续前进。小明走到两站立即返回，经过乙站后300米又追上小强。问：甲、丙两站的距离是多少米？
分析：第一次相遇，小明走：全程的一半+100米从第一次相遇点再到追上小强时离乙站300米，300-100=200
米，小明又走：全程+200米，可知第二段距离是第一段距离的2倍。小强第二段也应该走第一段的2倍，100+300=40
0米，所以第一段走400/2=200米。乙丙距离=200+100=300米，甲丙距离=2300=600米。答：甲
、丙两站距离是600米。13、甲、乙两地之间有一条公路。李明从甲地出发步行去乙地，同时张平从乙地出发骑摩托车去甲地，80
分钟后两人在途中相遇。张平到达甲地后马上折回乙地，在第一次相遇后又经过20分钟在途中追上李明。张平达到乙地后又马上折回甲地，
这样一直下去。问：当李明到达乙在，张平共追上李明多少次？分析：设李20分钟走1份距离，则80分钟走4份张
20分钟后追上李，李这时走了4+1份距离，张202分钟走4+5=9份，所以速度比：李速度/张速度=1/9。李走
完单程时张应该走9个单程，追上的次数是（9-1）/2=4（次）答：当李明到达乙地时，张平共追上李明4次。14、甲、
乙两车分别从A，B两地出发，在A，B之间不断往返行驶。已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米
，并且甲、乙两车第三次相遇（两车同时到达同一地点即称相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米，那么两地之间的距离等于
多少千米？分析：甲速度/乙速度=15/35=3/7，第三次相遇时两车一共行驶5个AB，其中甲行53/10=1（5/1
0）AB，第四次相遇时两车一共行驶7个AB，其中甲行73/10=2（1/10）AB，这两点的距离是5/10-1/10
=4/10AB=100（千米）所以AB=10010/4=250（千米）答：两地之间的距离是250千米。15、两名
游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳池的两端
出发，来回共游了5分钟。如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？分析：5分钟两人一共游了（1+0.6）5
60=480米第一次迎面相遇，两人一共游了30米；以后两人和起来每游230=60米，就迎面相遇一次，480=
30+607+30，迎面相遇了8次。甲比乙多游了（1-0.6）560=120米，甲第一次追上乙时，比乙多游30米；
以后每多游230=60米，就又追上追上乙一次，120=30+60+30，甲一共追上乙2次两人相遇次数=8+2=10
次。分析２，甲的速度是每秒游1米，一个来回60秒=1分钟，5分钟共游了5个来回；乙的速度是每秒游0.6米，
一个来回100秒，5分钟共游了560/100=3个来回；画图很容易可以看出共相遇了几次。答：在这段时间内两人共相遇
10次。计算问题多位数与小数讲义1.计算：1991+199.1+19.91+1.991.解析：1991+199
.1+19.91+1.991=1991+9+199.1+0.9+19.91+0.09+1.991+0.009-(9+0.9+0.
09+0.009)=2000+200+20+2-9.999=2222-10+0.001=2212.0012.计算：714
2.85÷3.7÷2.7×1.7×0.7.解析：7142.85÷3.7÷2.7×1.7×0.7=7142.85÷37÷27×
17×7=7142.85×7÷999×17=49999.95÷999×17=50.05×17=850.853.光的速度
是每秒30万千米，太阳离地球1亿5千万千米.问：光从太阳到地球要用几分钟？（答案保留一位小数.）解析：150000
000÷300000÷60=150÷3÷6=50÷6≈8.33≈8.3（分）光从太阳到地球要用约8.3分钟。4.已知1
05.5+[(40+□÷2.3)×0.5-1.53]÷(53.6÷26.8×0.125)=187.5,那么□所代表的数是多少？
解析：105.5+[(40+□÷2.3)×0.5-1.53]÷(53.6÷26.8×0.125)=105.5+（20+□÷
4.6-1.53）÷(2×26.8÷26.8×0.125)=105.5+(18.47+□÷4.6)÷0.25=105.5+1
8.47÷0.25+□÷4.6÷0.25=105.5+73.88+□÷1.15因为105.5+73.88+□÷1.15＝18
7.5所以□=(187.5-105.5-73.88)×1.15=8.12×1.15=8.12+0.812+0.406=9.33
8答：□=9.3385.22.5-(□×32-24×□)÷3.2=10在上面算式的两个方框中填入相同的数，使得等式成立。
那么所填的数应是多少？解析：22.5-(□×32-24×□)÷3.2=22.5-□×(32-24)÷3.2=22.5-
□×8÷3.2=22.5-□×2.5因为22.5-□×2.5=10，所以□×2.5=22.5-10，□=(22.5-10)
÷2.5=5答：所填的数应是5。6.计算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+
0.19+0.21+…+0.99.解析：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.1
9+0.21+…+0.99=(0.1+0.9)×5÷2+(0.11+0.99)×45÷2=2.5+24.75=27.25
7.计算：37.5×21.5×0.112+35.5×12.5×0.112.解析：37.5×21.5×0.112+35.5×
12.5×0.112=0.112×（37.5×21.5+35.5×12.5）=0.112×（12.5×3×21.5+35.5×
12.5）=0.112×12.5×（3×21.5+35.5）=0.112×12.5×100=1250×（0.1+0.01+0
.002）=125+12.5+2.5=1408.计算：3.42×76.3+7.63×57.6+9.18×23.7.解析
：3.42×76.3+7.63×57.6+9.18×23.7=7.63×（34.2+57.6）+9.18×23.7=7.63×
91.8+91.8×2.37=(7.63+2.37)×91.8=10×91.8=9189.计算：(32.8×91-16
.4×92-1.75×656)÷(0.2×0.2).解析：(32.8×91-16.4×92-1.75×656)÷(0.2×
0.2)=(16.4×2×91-16.4×92-16.4×40×1.75)÷(0.2×0.2)=16.4×(182-92-7
0)÷(0.2×0.2)=16.4×20÷0.2÷0.2=82×100=820010.计算：(2+3.15+5.87)
×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32)×(3.15+5.87).解析：(2+3.15+5
.87)×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32)×(3.15+5.87)=(2+3.15+5
.87)×(3.15+5.87+7.32)-2×(3.15+5.87)-(3.15+5.87+7.32)×(3.15+5.8
7)=(3.15+5.87+7.32)×(2+3.15+5.87-3.15-5.87)-2×(3.15+5.87)=(3.
15+5.87+7.32)×2-2×(3.15+5.87)=(3.15+5.87)×2+7.32×2-2×(3.15+5.
87)=7.32×2=14.6411.求和式3+33+333+…+33…3（10个3）计算结果的万位数字.解析：
个位10个3相加，和为30，向十位进3；十位9个3相加，和为27，加上个位的进位3得30，向百位进
3；百位8个3相加，和为24，加上十位的进位3得27，向千位进2；千位7个3相加，和为21，加上百
位的进位2得23，向万位进2；万位6个3相加，和为18，加上千位的进位2得20，万位得数是0。答：计
算结果的万位数字是0。12.计算：19+199+1999+…+199…9（1999个9）.解析：19+199+199
9+…+199…9（1999个9）=(20-1)+(200-1)+(2000-1)+…+(200…0（1999个0）-1
)=22…20（1999个2）-1999×1=22…2(1996个2)022113.算式99…9（1992个
9）×99…9（1992个9）+199…9（1992个9）的计算结果的末位有多少个零？解析：99…9（1992个9
）×99…9（1992个9）+199…9（1992个9）=99…9（1992个9）×（100…0-1）（1992个
0）+199…9（1992个9）=99…9（1992个9）0（1992个0）-99…9（1992个9）+
199…9（1992个9）=99…9（1992个9）0（1992个0）+100…0（1992个0）=100…
0（3984个0）14.计算：33…3（10个3）×66…6（10个6）.解析：33…3（10个3）×66
…6（10个6）=33…3（10个3）×3×22…2（10个2）=99…9（10个9）×22…2（10个2
）=(100…0（10个0）-1)×22…2（10个2）=22…2（10个2）00…0（10个0）-22…2
（10个2）=22…2（9个2）177（9个7）815.求算式99…9（1994个9）×88…8（1994
个8）÷66…6（1994个6）的计算结果的各位数字之和.解析：99…9（1994个9）×88…8（1994个
8）÷66…6（1994个6）=9×11…1（1994个1）×8×11…1（1994个1）÷6÷11…1（1994
个1）=9×8÷6×11…1（1994个1）=12×11…1（1994个1）=（10+2）×11…1（1994
个1）=11…1（1995个1）+22…2（1994个1）=13333…3（1993个1）2各位数字之和=1
+1993×3+2=5982答：计算结果的各位数字之和5982。组合问题构造与论证讲义1、有一把长为9厘米的直
尺，你能否在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺可以量出从1至9厘米中任意整数厘米的长度？分析：可以。（1）标3
条刻度线，刻上A，B，C厘米（都是大于1小于9的整数），那么，A，B，C，9这4个数中，大减小两两之差，至多
有6个：9-A，9-B，9-C，C-A，C-B，B-A，加上这4个数本身，至多有10个不同的数，有可能得到1到9
这9个不同的数。（2）例如刻在1，2，6厘米处，由1，2，6，9这4个数，以及任意2个的差，能够得到从
1到9之间的所有整数：1，2，9-6=3，6-2=4，61=5，6，9-2=7，9-1=8，9。（3）除1，2，6之外，
还可以标出1，4，7这3个刻度线：1，9-7=2，4-1=3，4，9-4=5，7-1=6，7，9-1=8，9。另外，与
1，2，6对称的，标出3，7，8；与1，4，7对称的，标出2，5，8也是可以的。2、一个三位数，如果它的每一位数字
都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被后下个三位数“吃掉”。例如，241被352吃掉，123被123吃掉（
任何数都可以被与它相同的数吃掉），但240和223互相都不能被吃掉。现请你设计6个三位数，它们当中任何一个都不能被其
它5个数吃掉，并且它们的百位数字只允许取1，2，3，4。问这6个三位数分别是多少？分析：6个三位数都不能互吃，那么
其中任意两个数，都不能同时有2个数位相同。由于百位只取1，2，十位只取1，2，3，所以，只能让3个数百位是1，另外
3个数百位数是2。百位是1的3个数，分别配上十位1，2，3；百位是2的3个数同样。这样先保证前两位没有完
全一样的。即：11，12，13，21，22，23。11最小，个位应取取最大的，4，它要求另外5个数个位均小于4
。11412较小，个位应取3，它要求前两位能吃12的数，个位小于3。1233的数个位小于2。13213个位取
2，就不能吃前两数，同时它要求前两位能吃122个位取2即可。22223各位必须取1。23121较小，个位应
取3，才能不被23和22吃。213所以这6个数是114，123，132，213，222，231。3、盒子里
放着红、黄、绿3种颜色的铅笔，并且规格也有3种：短的、中的和长的。已知盒子的铅笔，3种颜色和3种规格都齐全。问是否
一定能从中选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同？分析：如果能选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格
上各不相同，则这3支笔必须包含红、黄、绿，短、中、长这6个因子，即不能有重复因子出现。但是这种情况并不能保证出现。例如，
盒子中有4种笔：红短，黄短，绿中，绿长，3种颜色和3种规格都齐全，由于红和黄只出现1次，必须选，但是这时短已经出现
2次，必然无法满足3支笔6个因子的要求。所以，不一定能选出。4、一个立方体的12条棱分别被染成白色和红色，每个
面上至少要有一条边是白色的，那么最少有多少条边是白色的？分析：立方体的12条棱位于它的6个面上，每条棱都是两个相邻面的
公用边，因此至少有3条边是白色的，就能保证每个面上至少有一条边是白色。如图就是一种。5、国际象棋的皇后可以沿横线、竖线、
斜线走，为了控制一个4×4的棋盘至少要放几个皇后？分析：2×2棋盘，1个皇后放在任意一格均可控制2×2=4格；3×
3棋盘，1个皇后放在中心格里即可控制3×3=9格；4×4棋盘，中心在交点上，1个皇后不能控制两条对角线，还需要1
个皇后放在拐角处控制边上的格。所以至少要放2个皇后。如图所示。6、在如图10-1所示表格第二行的每个空格内，填入一个整
数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二行中的5个数字各是几？分析：设第二行从左到右填入A，B，
C，D，E，则A+B+C+D+E=5若E大于0，如E=1，则B=1，A+C+D=3，小于4，矛盾，可得：E=0，
A大于0小于4；若D大于0，如D=1，则B大于0，因A大于0，则A和C无法填写，所以D=0
，A必等于2；A=2，可知B+C=3，只有当B=1，C=2时，ABCDE=21200，符合要求。所以第二行的5
个数字是2，1，2，0，0。7、在100个人之间，消息的传递是通过电话进行的，当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的信
息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲。请你设计一种方案，使得只需打电话196次，就可以使得每个人都知道其他所有人的
信息。分析：给100个人分别编号1-100，他们知道的消息也编上相同的号码。（1）2-50号每人给1号打1次
电话，共49次，1，50号得到1-50号消息。同时，52-100号每人给51号打1次电话，共49次，51
，100号得到51-100号消息。（2）1号和51号通1次电话，50号和100号通1次电话，这时1
，50，51，100号这4个人都知道了1-100号消息。（3）2-49号，52-99号，每人与1号（或者50
，51，100号中的任意1人）通1次话，这96人也全知道了1-100号消息。这个方案打电话次数一共是（49+
49）+2+96=196（次）。8、有一张8×8的方格纸，每个方格都涂上红、蓝两色之一。能否适当涂色，使得每个3×4小
长方形（不论横竖）的12个方格中都恰有4个红格和8个蓝格？分析：能。3×4=12，有4红8蓝，即红1
蓝2，横竖方向都按这个规律染成下图的样子。9、桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，第二次翻动其中的199
2枚，第三次翻动其中的1991枚，……，依此类推，第1993次翻动其中的一枚。能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后所
有的硬币原先朝下的一面都朝上？分析：可以。按要求一共翻动1+2+3+……+1993=1993×997，平均每个硬币翻99
7次，是奇数。而每个硬币翻奇数次，结果都是把原来朝下的一面翻上来。因为：1993×997=1993+（1992+1）+（199
1+2）+……+（997+996）所以，可以这样翻动：第1次翻1993个，每个全翻1次；第2次与第199
3次（最后1次）一共翻1993次，等于又把每个翻了一遍；第3次与第1992次（倒数第2次），第4次与第
1991次，……，第997次与第998次也一样，都可以把每个硬币全翻1次。这样每个都翻动了997次，都把原先朝
下的一面翻成朝上。10、能否在5×5方格表的各个小方格内分别填入数1，2，……，24，25，使得从每行中都可以选择若干
个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？分析：不能。假设可以使每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之
和，那么每行数的和一定为偶数，行之和也必定为偶数。51+2+3+……+25的和是奇数，不符合要求，假设的情况不能出现。
11、把图10-2中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：能否使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？分析：不能。假设每条直线上的
红圈数都是奇数，五角形有五条边，奇数之和是奇数，则五条线上的红圈，包括重复，共有奇数个。另一方面，每个圈为两线交点，每个圆圈算了
两次，总个数为偶数。两者矛盾，假设不成立。所以，不能使同一条直线上的红圈数都是奇数。12、在99枚外观相同的硬币中，要找
出其中的某些伪币。已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，而所给硬币的总重量恰等于99枚真币的重量。今有能标明两盘重量之差的天平，
证明：只要称一次即可辨别出预先选择的一枚硬币是否伪币。分析：已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，99个硬币总重量恰等于99
枚真币的重量，说明伪币数为偶数。如果拿出1个真币，剩下的98个里还是有偶数个伪币，随便分成两部分放天平上，重量之差必
为偶数。如果拿出1个伪币，剩下的98个里是有奇数个伪币，随便分成两部分放天平上，重量之差必为奇数。所以，只要把98
个硬币分两部分在天平上称，显示出的重量差只要是奇数，拿出来的那个一定是伪币。13、在象棋比赛中，胜者得1分；败者扣1
分；若为平局，则双方各得0分。今有若干名学生进行比赛，每两个人之间都赛一局。现知，其中一个学生共得7分，另一个学生共得
20分。试说明，在比赛过程中至少有过一次平局。分析：设7分者胜X局，负Y局；20分者胜M局，负N局，则
有X-Y=7，M-N=20假设没有1次平局，那么由于比赛局数相同，得到：X+Y=M+N，X+Y+M+N为偶数。另一方
面，因为X-Y=7，X和Y两个数奇偶性不同，两者之和为奇数；又因为M-N=20，可知M和N奇偶性相同，那么M
+N为偶数。得出的结果是：X+Y+M+N之和为奇数。矛盾。说明没有平局的假设不成立。所以，比赛过程中至少有一次平局。14
、如图10-3，在3×3的方格表中已经填入了9个整数。如果将表中同一行同一列的3个数加上相同的整数称为一次操作。问：
你能否通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数？分析：不能。如果进行操作后，表中9个数能变为相同的数，其和必能整
除3；因为每次操作是同一行或同一列的3个数加上相同的整数，增加的数也能整除3。那么，原来表中的9个数的和也必能整除
3。把表中的9个数相加，2+3+5+13+11+7+17+19+23=100，100不能整除3，与假设矛盾，所以不能实现。
15、今有长度为1，2，3，……，198，199的金属杆各一根，能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊成接成
（1）一个正方体框架？（2）一个长方体框架？分析：（1）不能。正方体有12条棱，金属杆长度之和能被12整除时，才
能不弯曲任何一根焊成正方体框架。1+2+3+……+199=19900，1+9+9=19，19不能整除3，所以长度之和不是1
2的整数倍。（2）可以。（1+198）+（2+197）+（3+196）+……+199，可以组成100个199，所以可以
构成一个长199×12，宽199×12，高199的长方体框架，棱长共（199×12+199×12+199）×4=199×
100；也可以构成一个长199×20，宽199×3，高199×2的长方体框架，棱长共（199×20+199×3+199×
2）×4=199×100；等等。加法原理与乘法原理讲义1、如果两个四位数的差等于8921，那么就说这两个四位数组成一个数
对，问这样的数对共有多少个？分析：从两个极端来考虑这个问题：最大为9999-1078=8921，最小为9921-1000
=8921，所以共有9999-9921+1=79个，或1078-1000+1=79个2、一本书从第1页开始编排
页码，共用数字2355个，那么这本书共有多少页？分析：按数位分类：一位数：1～9共用数字19=9个；二位数：1
0～99共用数字290=180个；三位数：100～999共用数字3900=2700个，所以所求页数不超过99
9页，三位数共有：2355-9-180=2166，2166÷3=722个，所以本书有722+99=821页。3、
上、下两册书的页码共有687个数字，且上册比下册多5页，问上册有多少页？分析：一位数有9个数位，二位数有180
个数位，所以上、下均过三位数，利用和差问题解决：和为687，差为35=15，大数为：（687+15）÷2=351个（
351-189）÷3=54，54+99=153页。4、从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中，任取
5个数相加的和与其余5个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积。分析：从整体考虑分两组和不变：1+2+3+4+5+6+
7+8+9+10=55从极端考虑分成最小和最大的两组为（1+2+3+4+5）+（6+7+8+9+10）=15+40=55最接
近的两组为27+28所以共有27-15+1=13个不同的积。另从15到27的任意一数是可以组合的。5、将所有
自然数，自1开始依次写下去得到：12345678910111213……，试确定第206788个位置上出现的数字。分析：
与前面的题目相似，同一个知识点：一位数9个位置，二位数180个位置，三位数2700个位置，四位数36000个位置
，还剩：206788-9-180-2700-36000=167899，167899÷5=33579……4所以答案为3357
9+100=33679的第4个数字7.6、用1分、2分、5分的硬币凑成1元，共有多少种不同的凑法？分析
：分类再相加：只有一种硬币的组合有3种方法；1分和2分的组合：其中2分的从1枚到49枚均可，有49种方法
；1分和5分的组合：其中5分的从1枚到19枚均可，有19种方法；2分和5分的组合：其中5分的有2
、4、6、……、18共9种方法；1、2、5分的组合：因为5=1+22，10=25，15=1+27，20=210，
……，95=1+247，共有2+4+7+9+12+14+17+19+22+24+27+29+32+34+37+39+42+4
4+47=461种方法，共有3+49+19+9+461=541种方法。7、在图中，从“华”字开始，每次向下移动到一个相邻
的字可以读出“华罗庚学校”。那么共有多少种不同的读法？分析：按最短路线方法，给每个字标上数字即可，最后求和。所以共有1+4
+6+4+1=16种不同的读法。8、在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数共有多少个？分析：十位是9的有9
个，十位是8的有8个，……十位是1的有1个，共有：1+2+3+……+9=45个。或是在给定的两位数中，总是
在9876543210中，所以有C(10、2)=45个。9、按图中箭头所示的方向行走，从A点走到B点的不同路线
共有多少条？分析：同样用上题的方法，标上数字，有55条。10、用红蓝两色来涂图中的小圆圈，要求关于中间那条竖线对称，问
共有多少种不同的涂法？分析：按题意可知，1、4对称，2、3对称，这样1、2、A、B、C、D、E均有两种选择，2×2×
2×2×2×2×2=128种。11、如图，把A、B、C、D、E这五个部分用4种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同
一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色，那么，这幅图共有多少种不同的着色方法？分析：C－A－B－D－E，根据乘法原理有
：4×3×2×2×2=96种。12、如图是一个中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么
总共有多少种不同的放置方法？分析：根据乘法原理，第一个棋子有90种放法，第二个棋子有72种放法，共有：90×72=
6480种。此主题相关图片如下：13、在图中所示的阶梯形方格表的格子中放入5枚棋子，使得每行每列都只有1枚棋子，那
么这样的放法有多少种？分析：对于第1列必有1枚棋子，这有上下两行选择，对于第2列必有1枚棋子，这有除第1
枚外的两行选择，……对于第5枚棋子，只有唯一选择，所以共有2×2×2×2×1=16种。此主题相关图片如下：1
4、有一种用六位数表示日期的方法是：从左到右的第一、第二位数表示年，第三、第四位数表示月，第五、第六位数表示日，例如89081
7表示1989年8月17日。如果用这种方法表示1991年的日期，那么全年中有6个数都不同的日期共有多少天？
分析：因为有91，所以1、9、10、11、12不能出现，实际上9102XX也是不行的，在剩下的6个月中，每个月都
有5天，共56=30天，例如：三月份：910324，910325，910326，910327，910328。15
、如果一个四位数与三位数的和是1999，并且四位数和三位数是由7个不同数字组成的，那么这样的四位数最多有多少个？分析：按
题意给出这样一个算式：由于1已定，相应的8也就不能用，对于D来说，有2、3、4、5、6、7、9共7种选择，
每一种选择都有相应的A,对于E来说，在剩下的数中有6种选择，每一种选择都有相应的B,对于F来说，在剩下的数中
有4种选择，每一种选择都有相应的C,根据乘法原理，共有7×6×4=168种。破译字母竖式讲义1．在图4-1
所示的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．那么“喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少？分析：首先
看个位，可以得到“欢”是0或5，但是“欢”是第二个数的十位，所以“欢”不能是0，只能是5。再看十位，“欢”是5，加
上个位有进位1，那么，加起来后得到的“人”就应该是偶数，因为结果的百位也是“人”，所以“人”只能是2；由此可知，“喜”等于
8。所以，“喜欢”这两个汉字所代表的两位数就是85。2．在图4-2所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表
示不同的数字．如果：巧+解+数+字+谜=30，那么“数字谜”所代表的三位数是多少？分析：还是先看个位，5个“谜”相加的结果
个位还是等于“谜”，“谜”必定是5（0显然可以排出）；接着看十位，四个“字”相加再加上进位2，结果尾数还是“字”，那说明
“字”只能是6；再看百位，三个“数”相加再加上进位2，结果尾数还是“数”，“数”可能是4或9；再看千位，（1）如
果“数”为4，两个“解”相加再加上进位1，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是9；5+6+4+9=24，30-24=6，
“巧”等于6与“字”等于6重复，不能；（2）如果“数”为9，两个“解”相加再加上进位2，结果尾数还是“解”，那说
明“解”只能是8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以。所以“数字谜”代表的三位数是965。3．在图4-3所示
的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．请把这个竖式翻译成数字算式．分析：首先万位上“华”=1；再
看千位，“香”只能是8或9，那么“人”就相应的只能是0或1。但是“华”=1，所以，“人”就是0；再看百位，“人”
=0，那么，十位上必须有进位，否则“港”+“人”还是“港”。由此可知“回”比“港”大1，这样就说明“港”不是9，百位向千位也
没有进位。于是可以确定“香”等于9的；再看十位，“回”+“爱”=“港”要有进位的，而“回”比“港”大1，那么“爱”就等于
8；同时，个位必须有进位；再看个位，两数相加至少12，至多13，即只能是5+7或6+7，显然“港”=5，“回”=
6，“归”=7。这样，整个算式就是：9567+1085=10652。4．图4-4是一个加法竖式，其中E，F，I，N，O
，RS，T，X，Y分别表示从0到9的不同数字，且F，S不等于零．那么这个算式的结果是多少？分析：先看个位和十
位，N应为0，E应为5；再看最高位上，S比F大1；千位上O最少是8；但因为N等于0，所以，I只能是
1，O只能是9；由于百位向千位进位是2，且X不能是0，因此决定了T、R只能是7、8这两个；如果T=7，X=
3，这是只剩下了2、4、6三个数，无法满足S、F是两个连续数的要求。所以，T=8、R=7；由此得到X=4；那么，F=2
，S=3，Y=6。所以，得到的算式结果是31486。5．在图4-5所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代
表不同的数字．那么D+G等于多少？分析：先从最高位看，显然A=1，B=0，E=9；接着看十位，因为E等于9，说明个
位有借位，所以F只能是8；由F=8可知，C=7；这样，D、G有2、4，3、5和4、6三种可能。所以，D＋G
就可以等于6，8或10。6．王老师家的电话号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得9063，把它前三
位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529．求王老师家的电话号码．分析：我们可以用abcdefg来表示这个七位数电话
号码。由题意知，abcd+efg=9063，abc+defg=2529；首先从第一个算式可以看出，a=8，从第二个算式可以看出，
d=1；再回到第一个算式，g=2，掉到第二个算式，c=7；又回到第一个算式，f=9，掉到第二个算式，b=3；那么，e=6。所以，
王老师家的电话号码是8371692。7．一个三位数，用它的三个数字组成一个最大的三位数，再用这三个数字组成一个最小的三位数，
这两个数的差正好是原来的三位数．求原来的三位数．分析：8．将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数．如果新数比
原数大7902，那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少？分析：用abcd来表示愿四位数，那么新四位数为dc
ba，dcba-abcd=7902；由最高为看起，a最大为2，则d=9；但个位上10+a-d=2，所以，a只能是1；
接下来看百位，b最大是9，那么，c=8正好能满足要求。所以，原四位数最大是1989。9．（1）有一个四位数，它乘以9
后的积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数．求原来的四位数．（2）有一个四位数，它乘以4后的积恰好是将原来的
四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数．求原来的四位数．分析：还是用abcd来代表原来的四位数：（1）abcd9=dcb
a，四位数乘9不进位，显然a=1、d=9；再看百位，百位也没有进位，易得b=0，c=8。所以，原四位数为1089。
（2）abcd4=dcba，先看千位，因为没有进位，且a是偶数，所以，a只能是2；那么，d=8；再看百位，百位没有进
位，b只能是0、1、2，分别试验可得b=1、c=7。所以，原四位数为2178。10．已知图4-6所示的乘法竖式成
立．那么ABCDE是多少？分析：由1/7的特点易知，ABCDE=42857。1428573=428571。11．
某个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字的前面，所构成的新数恰好是原数的4倍．问原数最小是多少？分析：由个
位起逐个递推：44=16，原十位为6；46+1=25，原百位为5；45+2=22，原千位为2；42+2=10，原万
位为0；14=4，正好。所以，原数最小是102564。12．在图4-7所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，
不同的汉字表示不同的数字．则符合题意的数“迎春杯竞赛赞”是多少？分析：同第10题一样，也是利用1/7的特点。因为每
个字母代表不同的数字，因此“好”只有3和6可选：好=3，则：1428573=428571；好=6，则：1428576
=857142；两个都能满足，所以，符合题意的数“迎春杯竞赛赞”可能是428571或857142。13．在图4-8
所示的算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．请把这个竖式翻译成数字算式．分析：还是利用1/7的特点：
1428577=999999。14．在图4-9所示的除法竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字。那么
被除数是多少？分析：15．JF，EC，GJ，CA，BH，JD，AE，GI，DG已知每个字母代表一个数字，不同的字母代表不
同的数字，其中A代表5，并且上面的9个数恰好是7的1倍至9倍，这里把一位数7记作07．求JDFI所
代表的四位数．分析：由A=5易得，C=3，那么，E=6；剩下：JF，GJ，BH，JD，GI，DG，分别为：07、14、21
、28、42、49；根据21、28、42及14、42、49这两组可以推得J、G分别是2、4中的一个，并且可以得
到BH=07；进一步分析，GJ肯定是42，即G=4，J=2；于是，F=8，D=1，I=9。所以，JDFI代表的四位数为
2189。数字谜问题横式问题讲义1、□，□8，□97在上面的3个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这3个数
的平均数是150。那么所填的3个数字之和是多少？分析：1503-8-97-5=340所以3个数之和为3+4+5
=12。2、在下列各等式的方框中填入恰当的数字，使等式成立，并且算式中的数字关于等号左右对称：（1）12×23□=□32×2
1，（2）12×46□=□64×21，（3）□8×891=198×8□，（4）24×2□1=1□2×42，（5）□3×65
28=8256×3□。分析：（1）12231=13221（2）12462=26421（3）18891=19
881（4）24231=13242（5）436528=8256343、在算式2×□□□=□□□的6个空格
中，分别填入2，3，4，5，6，7这6个数字，使算式成立，并且乘积能被13除尽。那么这个乘积是多少？分析：22
73=5464、在下列算式的□中填上适当的数字，使得等式成立：（1）6□□4÷56=□0□，（2）7□□8÷37=□1□，
（3）3□□3÷2□=□17，（4）8□□□÷58=□□6。分析：（1）6104/56=109（2）7548/37=
204（3）3393/29=117（4）8468/58=1465、在算式40796÷□□□=□99……98的各个方框
内填入适当的数字后，就可以使其成为正确的等式。求其中的除数。分析：40796/102=399...98。6、我学数学乐×我
学数学乐=数数数学数数学学数学在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐”分别代表的4个不同的数字。如果“乐”代表9，那么“我数
学”代表的三位数是多少？分析：学=1，我=8，数=6，8161981619=66616611617、□÷（□÷□÷□
）=24在上式的4个方框内填入4个不同的一位数，使左边的数比右边的数小，并且等式成立。分析：这样，我们可以先用字母代
替数字，原等式写成：a/(b/c/d)=a/(b/cd)=acd/b，(a4，89/3=24；当a=2时，有49/3=12，68/4=12，89/6=12；所以，满足要求的等式有：1÷（
2÷6÷8）=24，1÷（3÷8÷9）=24，2÷（3÷4÷9）=24，2÷（4÷6÷8）=24，2÷（6÷8÷9）=24。
8、（□＋□＋□＋□）÷（□＋□＋□）=□将2，3，4，5，6，7，8，9这8个数字分别填入上面算式的方框中，使等式成立
。分析：将第一个括号内的和（即被除数）用a来代替，第二个括号内的和（即除数）用b来代替，等式右边（即商）用c来代替
，则：a÷b=c，即a=b×c，a+b+c=44；b×c+b+c=44，（b+1）×（c+1）=45=315=59；c=2
、b=14或c=4、b=8，由于2+3+5=9>8，因此只能c=2、b=14；那么，3+4+7=14、3+5+6=14，
所以，满足要求的等式有：（5＋6＋8＋9）÷（3＋4＋7）=2、（4＋7＋8＋9）÷（3＋5＋6）=29、○×○=□=○÷○
将0，1，2，3，4，5，6这7个数字填在上面算式的圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的算式。
问填在方格内的数是多少？分析：考察上面的等式，共需填入5个数，而0~6共有7个数字，因此必有两个地方是两位数；又
0必定只能作为两个两位数中的一个的个位；因此，分析得到：3×4=12=60÷5，即填在方格内的数是12。10、□×□=5
□个数字已经填好。12+□－□=□把1至9这9个数字分别填入上面两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有3
分析：根据第一个等式，只有两种可能：78=56，69=54；如果为78=56，则余下的数字有：3、4、9，显然不行；而
当69=54时，余下的数字有：3、7、8，那么，12+3-7=8或12+3-8=7都能满足。11、迎迎×春春=杯
迎迎杯，数数×学学=数赛赛数，春春×春春=迎迎赛赛在上面的3个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。如
果这3个等式都成立，那么，“迎+春+杯+数+学+赛”等于多少？分析：考察上面三个等式，可以从最后一个等式入手：能够满足：
春春×春春=迎迎赛赛的只有8888=7744，于是，春=8，迎=7，赛=4；这样，不难得到第一个为：7788=6776，
第二个为：5599=5445；所以，迎+春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39。12、迎+春×春=迎春，（迎+杯
）×（迎+杯）=迎杯在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么“迎+春+杯”等于多少？分析
：同样可以从第二个算式入手，发现满足要求的只有（8+1）（8+1）=81，于是，迎=8；这样，第一个算式显然只有：8+99=
89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。13、□2＋□2=□2，□2＋□2＋□2=□2＋□2在上面两个算式的各个方框中填入
1至9中的不同自然数，使这两个等式成立。那么第二个等式两端的结果是多少？分析：最直接的办法，写出1~9的平方数，并
首先确定第一个：3^2+4^2=5^2，这样，容易得到第二个为：2^2+7^2+8^2=6^2+9^2=117。14、已知
A，B，C，D，E，F，G，H，L，K分别代表0至9中的不同数字，且有下列4个等式成立：K个HD－K×L=F，E
×E=HE，C÷K=G，H×H×……×H=B，求A+C。分析：考察4个算式，首先可以发现第二个为：5×5=25，或6×
6=36；如果是5×5=25，则E=5、H=2；再看第4个算式，只能是：2×2×2=8，于是K=3、B=8；再看第
三个算式，这是可以发现已经不行了。这样第二个就只能是66=36，于是：E=6、H=3；再看第4个算式，只能是：3×3=9
，于是K=2、B=9；再看第三个算式，应该是：8÷2=4，于是：C=8、G=4；最后看第一个算式，只有7-2×1=5，于是
：D=7、L=1、F=5；那么，A=0，A+C=8。15、已知a，b，c，d，e，f，g，h分别代表0至9中的
8个不同数字，并且a≠0，e≠0，还知道有等式abcd－efgh=1994,那么两个四位数abcd与efgh之和的
最大值是多少？最小值是多少？分析：分析发现，c只能是9，g只能是0；那么，最大时：8497-6503=1994，最小时
：3496-1502=1994；所以，两数之和最大为：8497+6503=15000，最小为：3496+1502=4998还
原与年龄讲义1.某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6，则这个数是多少？解答：（6×6+6）÷6-6
=1，这个数是1.2.两个两位数相加，其中一个加数是73，另一个加数不知道，只知道另一个加数的十位数字增加5，个位数字
增加1，那么求得的和的后两位数字是72，问另一个加数原来是多少？解答：和的后两位数字是72，说明另一个加数是99
。十位数字增加5，个位数字增加1，那么原来的加数是99-51=48。3.有砖26块，兄弟二人争着去挑。弟弟抢在
前面，刚摆好砖，哥哥赶到了。哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半。弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半。哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这
时哥哥比弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块？解答：先看最后兄弟俩各挑几块：哥哥比弟弟多挑2块，这是一个和差问题，
哥哥挑的块数=（26+2）÷2=14块，弟弟=26-14=12块；然后再还原：哥哥还给弟弟5块：哥哥=14-5=9块
，弟弟=12+5=17块；弟弟把抢走的一半还给哥哥：哥哥=9+9=18块，弟弟=17-9=8块；哥哥把抢走的一半还给弟弟：弟
弟原来是8+8=16块。4.甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，
结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多；最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的
钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有81元，那么三人原来的钱分别是多少元？解答：三人最后一
样多，那么每人都是81÷3=27元；还原：甲和乙把钱还给丙：每人增加2倍，就是原来的3倍，那么甲和乙都是27
/3=9元，丙是27+229=63元；甲和丙把钱还给乙：甲=9/3=3元，丙=63/3=21元，乙=9+23+
221=57元；乙和丙把钱还给甲：乙=57/3=19元，丙=21/3=7元，甲=3+219+27==55元。
所以，三人原来的钱分别是55、19和7元。5.甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些糖豆，使自己的糖豆增加了
一倍；乙接着从丙处取来一些糖豆，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些糖豆，也使自己的糖豆增加了一倍。现在三人的糖豆一样多
。如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？解答：假设最后三个人一样多时都是4份糖豆，还原：丙
再从甲处取来一些糖豆，也使自己的糖豆增加了一倍：丙=4/2=2份，甲=4+2=6份；乙接着从丙处取来一些糖豆，使自己的糖豆
也增加了一倍：乙=4/2=2份，丙=2+2=4份；甲从乙处取来一些糖豆，使自己的糖豆增加了一倍：甲=6/2=3份，乙=2
+3=5份；即甲、乙、丙原来各有3、5、4份。所以，如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有（51/3）5=8
5粒6.有一筐苹果，把它们三等分后还剩两个苹果；取出其中两份，将它们三等分后还剩两个；然后再取出其中两份，又将这两份三等
分后还剩2个。问：这筐苹果至少有几个？解答：因为要求至少多少个，所以我们可以先假设最后的每一份只有1个苹果。那
么，第三次没有操作前的两份就有13+2=5个，2汾是5个显然不对。我们再假设最后的每一份有2个苹果。还原：
第三次取出的两份有23+2=8个，每份8/2=4个；第二次取出的两份有43+2=14个，每份14/2=7
个；原有73+2=23个。7.今年，父亲的年龄是儿子年龄的5倍；15年后，父亲的年龄是儿子年龄的2倍。
问：现在父子的年龄各是多少岁？解答：今年父亲的年龄是儿子年龄的5倍，即父亲的年龄比儿子的年龄4倍；15年后，
父亲的年龄是儿子年龄的2倍，即多一倍，说明儿子现在年龄的四倍等于儿子15年后时的年龄，那么，儿子今年的年龄=15/（4
-1）=5岁，父亲今年就是5×5=25岁。8.有老师和甲、乙、丙3个学生，现在老师的年龄恰为3个学生的年龄之和
；9年后，老师年龄为甲、乙两个学生年龄之和；又3年后，老师年龄为甲、丙两学生年龄之和；再3年后，老师年龄为乙、丙两学生年
龄之和。问：现在各人的年龄分别是多少岁？解答：老师=甲+乙+丙，老师+9=甲+9+乙+9，丙的年龄是9岁；老师+1
2=甲+12+丙+12，乙的年龄是12岁；老师+15=乙+15+丙+15，丙的年龄是15岁；所以，老师是9+12
+15=36岁。9.全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前他们全家的年龄之和是58岁，而现
在是73岁。问：现在各人的年龄分别是多少岁？解答：四个人四年共应增长了4×4=16岁，但实际上只增长了15岁
，说明弟弟在4年前还没有出生。那么，弟弟今年应该是3岁；姐姐就是3+2=5岁，父母的年龄和是73-3-5=65岁
，根据和差问题，得到父亲是（65+3）/2=34岁，母亲是65-34=31岁。10.学生问老师多少岁，老师说：“当我像
你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了。”求老师与学生现在的年龄。解答：根据年龄差不变，39-3
=36正好是3倍的年龄差，所以，年龄差=（39-3）/3=12岁。那么，学生现在年龄是3+12=15岁，老师现在年
龄是15+12=27岁。11.哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在
的年龄和为30岁。问：哥哥现在多少岁？解答：哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，假设哥哥与弟弟的年龄差为1份，
哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥现在的年龄与弟弟当年的年龄相差他们年龄差的2倍，那么，哥哥现在的年龄是年龄差
的3倍，即3份，弟弟现在的年龄是年龄差的两倍，即2份；而哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁，所以，每一份为30/
（3+2）=6岁，则哥哥现在36=18岁。12.梁老师问陈老师有多少子女，她说：“现在我和爱人的年龄和是子女年龄
和的6倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍；六年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍。”问陈老师有多少子女。
解答：现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的6倍，即多5倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍，即多9倍；六
年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍，即多2倍。如果是2个子女，592=90，显然不符合常理。如果是三个
，将子女现在的年龄和看作一份，那么，每一份=（183-12）/3=14，即子女现在年龄和14岁，父母现在年龄和614=8
4岁，符合要求。所以，陈老师有3个子女。13.今年是1996年。父母的年龄之和是78岁，兄弟的年龄之和是
17岁。四年后，父亲的年龄是弟弟的4倍，母亲的年龄是哥哥的年龄的3倍。那么当父亲的年龄是哥哥的年龄的3倍时是公元
哪一年？解答：四年后，父母的年龄和是78+8=86岁，兄弟的年龄和是17+8=25岁，父=4弟，母=3兄，那么
父+母=3（弟+兄）+弟，所以弟弟是11岁，哥哥是25-11=14岁，父亲是114=44岁，母亲是143=4
2岁。显然，再过1年后父亲45岁，哥哥是15岁，父亲是哥哥年龄的3倍。所以，当父亲的年龄是哥哥的年龄的3
倍时是4=1=5年后，即公元2001年。14.甲、乙、丙三人现在年龄的和是113岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时
，丙是38岁；当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁。那么乙现在是多少岁？解答：假设当甲的岁数是乙的岁数的一半时
，甲是x岁，乙就是2x岁，丙38岁；当甲17岁的时候，乙是17+x岁，那么丙是乙的2倍，就是2（17
+x），由甲、丙的年龄差得到：38-x=2（17+x）-17，所以，x=7。因为当甲7岁、乙14岁、丙38岁时，
三人的年龄和是7+14+38=59岁，（113-59）/3=18，即从那时到现在经过了18年，所以乙现在的年龄是14+
18=32岁。15.今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍。几年后，祖父的年龄将是小明年龄的5倍。又过几年以后，祖父的
年龄将是小明年龄的4倍。求：祖父今年是多少岁？解答：根据年龄差不变，今年祖父比小明多5倍，几年后，祖父比小明多
4倍，又过几年，祖父比小明多3倍。3、4、5最小公倍数是60，所以年龄差是60。再用差倍问题：今年小明是60/(6
-1)=12，祖父是126=72。和差倍问题讲义1.四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算
丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共有多少人？解答：由“不
算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人”得到131+134=265，这265人包括
1个甲班和1个丁班，以及2个乙班和2个丙的总和，又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，所以用2
65-1=264就刚好是3个乙班和3个丙班之和，264÷3=88，就是说乙、丙两个班的和是88人，那么，甲、丁两个
班的和就是88+1=89人。所以，四个班的和是88+89=177人。2.有四个数，其中每三个数的和分别是45，4
6，49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少？解答：把4个数全加起来就是每个数都加了3遍，所以，这四个数的和等于（
45+46+49+52）÷3=64。用总数减去最大的三数之和，就是这四个数中的最小数，即64-52=12。3.在一个两位
数之间插入一个数字，就变成一个三位数。例如：在72中间插入数字6，就变成了762。有些两位数中间插入数字后所得到的三位数
是原来两位数的9倍，求出所有这样的两位数。解答：两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍，即这个数的个位乘
以9以后的个位还等于原来的个位，那么个位只能是0或5。如果是0，显然不行。因为20×9=180，30×9=270，
......所以个位只能是5。试验得到：15，25，35，45是满足要求的数。4.某班买来单价为0.5元的练习本若
干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得15本；如果将这些练习本只给男生，平均每人可得10本。那么，将这些练习本平均分
给全班同学，每人应付多少钱解答：这题要求的是“平均分给全班同学，每人应付多少钱”，我们可以用设数法来求解。假设班上有2个女
生，那么就是一共有30个练习本，这30本“只给男生，平均每人可得10本”，说明男生有3个。那么，分给全部按同学，
每人得30/（2+3）=6本，因此每人应该付6本练习本的钱，即每人要付3元钱。5.动物园的饲养员给三群猴子分花
生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒
，那么平均分给三群猴子，每只可得多少粒？解答：由题意可知，花生总数必定是12、15、20的倍数。同上题一样，我们也可以用设
数法。假设共有花生121520粒，那么第一群猴子有1520只，第二群猴子有1220只，第三群猴子有121
5只，即共有（1520+1220+1215）只猴子，121520/（1520+1220+1215）=5，所以平
均分给三群猴子，每个猴子可得5粒。注：如果懂得最小公倍数，那么应该设花生总数为60粒，这样，计算就方便很多。6.
一个整数，减去它被5除后余数的4倍是154，那么原来整数是多少？解答：被除数除以除数，余数肯定小于除数。所以，余数只
可能是0、1、2、3、4，那么，原来的整数只能是：154+4×0，154+4×1，154+4×2，154+4×3，154+4×
4中的一个。经试验，结果是162，154+4×2=162。7.若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学
生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，那么
在这22人中，爸爸有多少人？解答：家长比老师多，所以老师少于22/2=11人，即不超过10人；相应的，家长就不少于
12人。在至少12个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于12/2=6人，即不少于7人。因为女老师比妈妈多2人
，所以女老师不少于9人。但老师最多就10个，并且还至少有1个男老师，所以老师必定是9个女老师和1个男老师，共
10个。那么，在12个家长中，就有7个是妈妈。所以，爸爸有12-7=5人。8.一次数学考试共有20道题，
规定：答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不计分。考试结束后，小明共得23分，他想知道自己做错了几道题，但只记得
未答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下，他答错了多少道题？解答：20个题如果全部做对的话，总分是202=40分。
绻淮道题的话就要在40分中扣除2分，而做错一道的话就要扣除1+2=3分（因为在40分中我们假设它是做对的，给了2
分，实际是不但不能给，反而要扣1分）。小明得了23分，比总分少40-23=17分。因为没有做的题是偶数，最小的偶数
是0，如果是0道题没答的话，那么17分就都是做错被扣的，但17/3=5…2，所以不可能。同理2道题没做也不可能。
结果只能是4道题没做，17-24=9分=33。所以答错3题。9.某种商品的价格是：每一个1分钱，每五个4
分钱，每九个7分钱，小赵的钱至多能买50个，小李的钱至多能买500个。小李的钱比小赵的钱多多少分钱？解答：由“
每一个1分钱，每五个4分钱，每九个7分钱”我们可以知道，九个7分钱是最便宜的，是最多的买法。那么，50÷9=5…
5，小赵应该有5×7+4=39分钱；500÷9=55…5，小李应该有55×7+4=389分钱。那么，小李的钱要比小赵多3
89-39=350分。10.某幼儿园的小班人数最少，中班有27人，大班比小班多6人。春节分桔子25箱，每箱不超
过60个，不少于50个，桔子总数的个位数字是7。若每人分19个，则桔子数不够，现在大班每人比中班每人多分一个，中班
每人比小班每人多分一个，刚好分完。问这时大班每人分多少桔子？小班有多少人。解答：首先，总人数不超过273+6=87人；
其次，桔子的个数在25×50=1250和25×60=1500之间；现在大班每人比中班每人多分一个，中班每人比小班每人多分
一个，刚好分完。我们可以先从总数中拿出6个，让大班中的6个人先少拿一个，拿和中班一样多，这样就变成平均都和中班的拿一样多
，（1250-6）/87>14，所以，每人至少分15个，但至多分18个；再则，桔子总数的个位数字是7，所以只能是每人
17个或15个；但15个显然不可能，因为任何数乘以15后个位只能是5就是0。所以每人应该是17个桔子，即大
班每人17+1=18个。（1250-6）/17=73......3，总人数应多于73人，7417=1258，个位不是1
，要使个位为1需加个位为3的17的倍数，179=153，所以，桔子总数为（1258+153）+6=1417个，总
人数74+9=83人。小班有（83-27-6）/2=25人。11.一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于
对面两个数的和都等于13，小张能看到顶面和两个侧面，看到的三个数和为18；小李能看到顶面和另外两个侧面，看到的三个数的和为
24，那么贴着桌子的这一面的数是多少？解答：把小张和小李看到的数相加，就是完整的四个侧面和两次顶面之和，因为位于对面两个数的和
都等于13，那么四个侧面的数字和应为132=26，由此可知顶面数字为（18+24-26）/2=8，那么贴着桌子的这一面的数
就是13-8=5。12。图2-1是一张道路图。A处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A开始的每个路口，都有一
半人向北走，另一半人向东走。如果先后有60个孩子到过路口B，问：先后共有多少个孩子到过路口C？解答：13.比赛
用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六边形，并且黑色正五边形与白色正六边形的边长相等。缝制的方
法是：每块黑色皮子的5条边分别与5块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起
，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起。如果一个足球表面上共有12块黑色正五边形皮子，那么，这个足球应有白色正六边形皮子
多少块？解答：12块黑色正五边形皮子共有12×5=60条，这60条边每一条都是与白皮子缝合在一起的。而对于白皮子来说
，每块6条边，其中有3条边是与黑色皮子的边缝在一起，还有3条边则是与其它白色皮子的边缝在一起。因此，白皮子的边的总数
就是黑皮子的边的总数的2倍，即共有60×2=120条边。那么，共有120/6=20块白皮子。14.5个空瓶可
以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？解答：这里给出一
种思路：我们可以先买161瓶汽水，喝完以后用这161个空瓶去换汽水，能换到的瓶数在总数中去掉就是实际需要购买的数量。16
1个空瓶可以换回161/5=32…1，即32瓶，那么实际上只需要买161-32=129瓶汽水。检验：先买129瓶，
喝完后用其中的125个空瓶（还留有4个空瓶）可以换25瓶汽水，喝完后用25个空瓶又可以换5瓶汽水，再喝完后用
5个空瓶还可以换1瓶汽水，最后用这个空瓶和开始留下的4个空瓶去再换一瓶汽水，这样总共喝了：129+25+5+1+1=
161瓶汽水。15.现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多，第二堆苹果个数比第三堆多。如果从每堆苹果中各取出一个，那么
在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍。如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个，则第二堆所剩下的苹果数是第三
堆的2倍。问原来三堆苹果数之和的最大值是多少？解答：整数与数列讲义1、如图1-1所示的表中有55个数，那么它
们的和加上多少才等于1994？1234578910111319142015211622
17232526272829313732383339344035414344454
647495051525355565758596162636465解答：它们的和=3×5
+9×5+15×5+21×5+27×5+33×5+39×5+45×5+51×5+57×5+63×5=（33×11）×5=181
5[或者：它们的和=（31+32+33+34+35）×11=1815]1994-1815=179答：它们的和加上179
才等于1994。2、计算：1000+999-998-997+996+995-994-993+……+108+107-106-1
05+104+193-102-101。解答：1000+999-998-997+996+995-994-993+……+108+1
07-106-105+104+193-102-101=（1000+999-998-997）+（996+995-994-993）+
……+（108+107-106-105）+（104+193-102-101）=4+4+……+4+4=［（1000-101）÷
1+1］÷4×4=9003、计算：（1+3+5+……+1989）-（2+4+6+……+1988）。解答：（1+3+5+…
…+1989）-（2+4+6+……+1988）=1+（3-2）+（5-4）+……+（1989-1988）=1+1×（1989-
1）÷2=1+994=9954、利用公式l×l+2×2+……+n×n＝n×（n+1）×（2×n+1）÷6，计算：15×1
5+16×16+……+21×21。解答：15×15+16×16+……+21×21=21×（21+1）×（2×21+1）÷6-
14×（14+1）×（2×14+1）÷6=3311-1015=22965、计算：20×20-19×19+18×18-17×
17+……+2×2-1×1。解答：20×20-19×19+18×18-17×17+……+2×2-1×1=（20+19）×（2
0-19）+（18+17）×（18-17）+……+（2+1）×（2-1）=2106、计算：3333×5555+6×4444×
2222。解答：3333×5555+6×4444×2222=3×1111×5×1111+6×1111×4×2×1111=1
5×1111×1111+48×1111×1111=（15+48）×1111×1111=63×1111×1111=7×9×11
11×1111=9999×7777=（10000-1）×7777=77770000-7777=777622237、计算
：19931993×1993-19931992×1992-19931992。解答：19931993×1993-19931992
×1992-19931992=19931993×1993-（19931992×1992+19931992）=19931993×
1993-19931992×（1992+1）=19931993×1993-19931992×1993=1993×（199319
93-19931992）=19938、两个十位数1111111111与9999999999的乘积中有几个数字是奇数
解答：1111111111×9999999999=1111111111×（10000000000-1）=1111111111
0000000000-1111111111=1111111118888888889有10个奇数答：乘积中有10个
数字是奇数。9、我们把相差为2的两个奇数称为连续奇数。已知自然数1111155555是两个连续奇数的乘积，那么这两个奇
数的和是多少？解答：1111155555=11111×100005=11111×3×33335=33333×33335，333
33+33335=66668答：这两个奇数的和是66668。10、求和：l×2+2×3+3×4+……+9×10。解答
：l×2+2×3+3×4+……+9×10=（1×2×3+2×3×4-1×2×3+3×4×5+……+9×10×11-8×9×10）
÷3=9×10×11÷3=3×10×11=33011、计算：1×1+2×1×2+3×1×2×3+4×1×2×3×4+5×
1×2×3×4×5+6×1×2×3×4×5×6+7×1×2×3×4×5×6×7+8×1×2×3×4×5×6×7×8。解答：1
×1+2×1×2+3×1×2×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3×4×5×6+7×1×2×3×4×5×
6×7+8×1×2×3×4×5×6×7×8=1！+2×2！+3×3！+4×4！+5×5！6×6！+7×7！+8×8！=（2！
-1！）+（3！-2！）+（4！-3！）+（5！-4！）+（6！-5！）+（7！-6！）+（8！-7！）+（9！-8！）=9！-
1！=1×2×3×4×5×6×7×8×9-1=36287912、在两个数之间写上一个，用所连成的字串表示用前面的数除以后面
的数所得的余数，例如：135=3，62=0．试计算：（200049）9．解答：200049＝40，409＝4答：计算结
果是4。13、羊和狼在一起时，狼要吃掉羊。所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼
△狼=狼。以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼，所
以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼。这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与
狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊和狼，可以用上面规定的运算作混合运算。混合运算
的法则是从左到右，括号内先算。羊△（狼☆羊）☆羊△（狼☆狼）。解答：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼☆狼）=羊△羊☆羊△狼=羊☆
羊△狼=羊△狼=狼答：运算结果是狼。14、对于自然数1，2，3，…，100中的每一个数，把它非零数字相乘，得到1
00个乘积（例如23，积为2×3=6；如果一个数仅有一个非零数字，那么这个数就算作积，例如与100相应的积为1）。问
：这100个乘积之和为多少解答：1，2，……，9，和是45；11，12，……，19，和是1×45；21，22，……，2
9，和是2×45；……；91，92，……，99，和是9×45；10，20，……，90，和是45；100的为1。总和
是（1+1+2+3+……+9+1）×45+1＝47×45+1=2116答：这100个乘积之和是2116。15、从
1到1989这些自然数中的所有数字之和是多少？解答：把1到1998之间的所有自然数，都表示成四位数字的形式：0
001，0002，0003，……，1989，……，1996，1997，1998。从两头开始配对组合：（0001+1998），（0
002+1997），（0003+1996），……共999对。每对的四位数字之和都是1+9+9+9=28，所以1到199
8的数字和是28×999=27972。多算了1990到1998的数字和，即多算了1×9+9×9+9×9+1+2+3
+4+5+6+7+8=207。27972-207=27765答：从1到1989这些自然数中的所有数字之和是27765
。称球问题［专题介绍］称球问题是一类传统的趣味数学问题，它锻炼着一代又一代人的智力，历久不衰。下面几道称球趣题，请你先仔
细考虑一番，然后再阅读解答，想来你一定会有所收获。［经典例题］例1有4堆外表上一样的球，每堆4个。已知其中三堆是
正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。解：依次从第一、
二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。
例2有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。解：
第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩
下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆
，又可找出次品在其中较轻的那一堆。第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是
次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。例3把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次
品找出来。解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。把A、B
两组分别放在天平的两个盘上去称，则（1）若A=B，则A、B中都是正品，再称B、C。如B=C，显然D中的那个球是次
品；如B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出结论。如B＜C，仿照B＞C的情况也
可得出结论。（2）若A＞B，则C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，或B＜C（B＞C不可能，为什么？）如B
=C，则次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得出结论；如B＜C，仿前也可得出结论。（3）若
A＜B，类似于A＞B的情况，可分析得出结论。练习有12个外表上一样的球，其中只有一个是次品，用天平只称三次，你能
找出次品吗？统筹规划【试题】1、烧水沏茶时，洗水壶要用1分钟，烧开水要用10分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶杯用
2分钟，拿茶叶要用1分钟，如何安排才能尽早喝上茶。【分析】：先洗水壶然后烧开水，在烧水的时候去洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶。
共需要1+10=11分钟。【试题】2、有137吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2
吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升和5公升，问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需耗油多少升？【分析
】依题意，：大卡车每吨耗油量为10÷5=2(公升)；小卡车每吨耗油量为5÷2=2.5(公升)。为了节省汽油应尽量选
派大卡车运货，又由于137=5×27+2，因此，最优调运方案是：选派27车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运
完，且这时耗油量最少，只需用油10×27+5×1=275(公升)【试题】3、用一只平底锅烙饼，锅上只能放两个饼，烙熟饼的一面需
要2分钟，两面共需4分钟，现在需要烙熟三个饼，最少需要几分钟？【分析】：一般的做法是先同时烙两张饼，需要4分钟，之
后再烙第三张饼，还要用4分钟，共需8分钟，但我们注意到，在单独烙第三张饼的时候，另外一个烙饼的位置是空的，这说明
可能浪费了时间，怎么解决这个问题呢？我们可以先烙第一、二两张饼的第一面，2分钟后，拿下第一张饼，放上第三张饼，并给第二张饼翻
面，再过两分钟，第二张饼烙好了，这时取下第二张饼，并将第三张饼翻过来，同时把第一张饼未烙的一面放上。两分钟后，第一张和第三张饼也
烙好了，整个过程用了6分钟。统筹规划问题（二）【试题】4、甲、乙、丙、丁四人同时到一个小水龙头处用水，甲洗拖布需要3
分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙用桶接水需要1分钟，丁洗衣服需要10分钟，怎样安排四人的用水顺序，才能使他们所花的总时
间最少，并求出这个总时间。【分析】：所花的总时间是指这四人各自所用时间与等待时间的总和，由于各自用水时间是固定的，所以只能想办
法减少等待的时间，即应该安排用水时间少的人先用。解：应按丙，乙，甲，丁顺序用水。丙等待时间为0，用水时间1分钟，总计1
分钟乙等待时间为丙用水时间1分钟，乙用水时间2分钟，总计3分钟甲等待时间为丙和乙用水时间3分钟，甲用水时间
3分钟，总计6分钟丁等待时间为丙、乙和甲用水时间共6分钟，丁用水时间10分钟，总计16分钟，总时间为1＋3
＋6＋16＝26分钟。统筹规划问题（三）【试题】5、甲、乙、丙、丁四个人过桥，分别需要1分钟，2分钟，5分钟，10
分钟。因为天黑，必须借助于手电筒过桥，可是他们总共只有一个手电筒，并且桥的载重能力有限，最多只能承受两个人的重量，也就
是说，每次最多过两个人。现在希望可以用最短的时间过桥，怎样才能做到最短呢？你来帮他们安排一下吧。最短时间是多少分钟呢？【分析】
：大家都很容易想到，让甲、乙搭配，丙、丁搭配应该比较节省时间。而他们只有一个手电筒，每次又只能过两个人，所以每次过桥后，还得有一
个人返回送手电筒。为了节省时间，肯定是尽可能让速度快的人承担往返送手电筒的任务。那么就应该让甲和乙先过桥，用时2分钟，
再由甲返回送手电筒，需要1分钟，然后丙、丁搭配过桥，用时10分钟。接下来乙返回，送手电筒，用时2分钟，再和甲一起过桥
，又用时2分钟。所以花费的总时间为：2＋1＋10＋2＋2＝17分钟。解：2＋1＋10＋2＋2＝17分钟【试题】6、小
明骑在牛背上赶牛过河，共有甲乙丙丁四头牛，甲牛过河需1分钟，乙牛需2分钟，丙牛需5分钟，丁牛需6分钟，每次只能骑
一头牛，赶一头牛过河。【分析】：要使过河时间最少，应抓住以下两点：(1)同时过河的两头牛过河时间差要尽可能小(2)过河后应骑
用时最少的牛回来。解：小明骑在甲牛背上赶乙牛过河后，再骑甲牛返回，用时2＋1＝3分钟然后骑在丙牛背上赶丁牛过河后，再骑乙牛
返回，用时6＋2＝8分钟最后骑在甲牛背上赶乙牛过河，不用返回，用时2分钟。总共用时(2＋1)＋(6＋2)＋2＝13分
钟。速算与巧算【试题】计算9＋99＋999＋9999＋99999【解析】在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法
。例如将999化成1000—1去计算。这是小学数学中常用的一种技巧。9＋99＋999＋9999＋99999＝(10－
1)＋(100-1)＋(1000－1)＋(10000-1)＋(100000-1)＝10＋100＋1000＋10000＋10000
0-5＝111110-5＝111105速算与巧算（二）【试题】计算199999＋19999＋1999＋199＋19
【解析】此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法。不过这里是加1凑整。(如199＋1＝200)199
999＋19999＋1999＋199＋19＝(19999＋1)＋(19999＋1)＋(1999＋1)＋(199＋1)＋(19＋1
)－5＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5＝222220-5＝22225速算与巧算（三）【试题】计
算(2+4+6+…+996+998+1000)－－(1+3+5+…+995+997+999)【分析】：题目要求的是从2到1
000的偶数之和减去从1到999的奇数之和的差，如果按照常规的运算法则去求解，需要计算两个等差数列之和，比较麻烦。但是
观察两个扩号内的对应项，可以发现2－1=4－3=6－5=…1000－999=1，因此可以对算式进行分组运算。解：解法一、分组
法(2+4+6+…+996+998+1000)－(1+3+5+…+995+997+999)=(2－1)+(4－3)+(6－
5)+…+(996－995)+(998－997)+(1000－999)=1+1+1+…+1+1+1(500个1)=500
解法二、等差数列求和(2+4+6+…+996+998+1000)－(1+3+5+…+995+997+999)=(2+10
00)×500÷2－(1+999)×500÷2=1002×250－1000×250=(1002－1000)×250=5
00速算与巧算（四）【试题】计算9999×2222＋3333×3334【分析】此题如果直接乘，数字较大，容易出错。如果
将9999变为3333×3，规律就出现了。9999×2222＋3333×3334＝3333×3×2222＋3333×
3334＝3333×6666＋3333×3334＝3333×(6666＋3334)＝3333×10000＝33330000
。速算与巧算（五）【试题】56×3+56×27+56×96-56×57+56【分析】：乘法分配律同样适合于多个乘法算式相加
减的情况，在计算加减混合运算时要特别注意，提走公共乘数后乘数前面的符号。同样的，乘法分配率也可以反着用，即将一个乘数凑成一个整
数，再补上他们的和或是差。56×3+56×27+56×96-56×57+56=56×(32+27+96－57+1)=56
×99=56×(100－1)=56×100－56×1=5600－56=5544速算与巧算（六）【试题】计算9
8766×98768－98765×98769【分析】：将乘数进行拆分后可以利用乘法分配律，将98766拆成(98765+1)
，将98769拆成(98768+1)，这样就保证了减号两边都有相同的项。解：98766×98768－98765×98769
=(98765+1)×98768－98765×(98768+1)=98765×98768+98768－(98765×98768+
98765)=98765×98768+98768－98765×98768-98765=98768－98765=3年龄问题
【试题】：1、父亲45岁，儿子23岁。问几年前父亲年龄是儿子的2倍？2、李老师的年龄比刘红的2倍多8岁
，李老师10年前的年龄和王刚8年后的年龄相等。问李老师和王刚各多少岁？3、姐妹两人三年后年龄之和为27岁，妹妹现
在的年龄恰好等于姐姐年龄的一半，求姐妹二人年龄各为多少。4、小象问大象妈妈：“妈妈，我长到您现在这么大时，你有多少岁了
？”妈妈回答说：“我有28岁了”。小象又问：“您像我这么大时，我有几岁呢？”妈妈回答：“你才1岁。”问大象妈妈有多少
岁了？5、大熊猫的年龄是小熊猫的3倍，再过4年，大熊猫的年龄与小熊猫年龄的和为28岁。问大、小熊猫各几岁？6、15
年前父亲年龄是儿子的7倍，10年后，父亲年龄是儿子的2倍。求父亲、儿子各多少岁。7、王涛的爷爷比奶奶大2岁，
爸爸比妈妈大2岁，全家五口人共200岁。已知爷爷年龄是王涛的5倍，爸爸年龄在四年前是王涛的4倍，问王涛全家人各是
多少岁？【答案】：1、一年前。2、刘红10岁，李老师28岁。(10+8-8)÷(2－1)=10(岁)。3、妹妹
7岁。姐姐14岁。[27-(3×2)]÷(2+1)=7(岁)。4、小象10岁，妈妈19岁。(28-1)÷3+1
=10(岁)。5、大熊猫15岁，小熊猫5岁。(28-4×2)÷(3+1)=5(岁)。6、父亲50岁，儿子20
岁。(15+10)÷(7-2)+15=20(岁)7、王涛12岁，妈妈34岁。爸爸36岁，奶奶58岁，爷爷60
岁。提示：爸爸年龄四年前是王涛的4倍，那么现在的年龄是王涛的4倍少12岁。(200+2+12+12+2)÷(1+
5+5+4+4)=12(岁)。牛吃草问题解析解决牛吃草问题的多种算法历史起源：英国数学家牛顿(1642—1727)说过：“
在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中，
有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。主要类型：1、求时间2、求头数除了总结这两种类型问题相应的解
法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。基本思路：①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”
后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。②已知天数求只数时，同样需要先
求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。③根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”，求出只数。基本公式：解决牛吃草问题
常用到四个基本公式，分别是∶(1)草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数－吃的
较少天数)；(2)原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`(3)吃的天数＝原有草量÷(牛头数－草的生长速度)
；(4)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度第一种：一般解法“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23
头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。”一般解法：把一头牛一天所吃
的牧草看作1，那么就有：(1)27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162(这162包括牧场原有的草和6天新长
的草。)(2)23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207(这207包括牧场原有的草和9天新长的草。)(3)1
天新长的草为：(207－162)÷(9－6)＝15(4)牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72(5)每天新长的草足够1
5头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷(21－15)＝72÷6＝12(天)所以养21头牛，
12天才能把牧场上的草吃尽。第二种：公式解法有一片牧场，草每天都匀速生长(草每天增长量相等)，如果放牧24头牛，则6
天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？
(2)要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛？解答：1)草的生长速度：(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份)原有草量
：21×8-12×8=72(份)16头牛可吃：72÷(16-12)=18(天)2)要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多
于草每天的生长份数所以最多只能放12头牛。第一讲一笔画问题小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？如果用笔
在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔
画的规律。典型例题例【1】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？（1）（2）（3）（4）分析图
（1）一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。图（3）不是连通的，
显然也不能一笔画出。图（4）也可以一笔画出，且从任何一点出发都可以。通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条
数不同。由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。再看图（1）（4）、，
其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起。而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画成。这样我们发现，
一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。例【2】下面各图能否一笔
画成？（1）（2）（3）分析图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点。关于
图（2）经过反复试验，，也可找到画法：A由DBCAC。图中B、D为偶点，A、C为奇点，即图中有两个奇
点，两个偶点。要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有4个奇点，5个偶点。解
图（1）（2）可以一笔画。、这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关系。如果图形只有偶点，可以以任意一点
为起点，一笔画出。如果只有两个奇点，也可以一笔画出，但必须从奇点出发，由另一点结束。如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔
画出。例【3】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？分析图（1）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由A开
始或由B开始到B结束或到A结束。图（2）有10个奇点，大于2，不能一笔画成。图（3）有4个奇点，1个偶
点，因此也不能一笔画成。解图（1）的画法见下图。例【4】下图中，图（1）至少要画几笔才能画成？AOB（1）
CD分析图（1）有4个奇点，所以不能一笔画出。如果把它分成几个部分，而每个部分是一笔画图形，则我们就可以用最少的几
笔画出这个图形。按照这样的要求，每个部分最多含有两个奇点，可以采用再两个奇点之间增加一条或者去掉一条线的方法，该奇点就变成
偶点。经观察，图（1）可以切分成图（A）（B）两个图形。这两部分、都可以一笔画出，所以图（1）至少用两笔画出。解将图
（1）分成图（A）、，（B）则图（A）可由A-B-O-D-A-C-D一笔画成，图（B）由B-C一笔画成
，所以图（1）至少要两笔画完。AOB（1）CB（A）DAOCB（B）CD小结个数。能否一笔
画成，关键在于判别奇点、偶点的一、只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点。二、只有两个奇点，可以一笔画，但必须
以这两个奇点分别作为起点和终点。三、奇点超过两个，则不能一笔画。对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为简单的几何图形
，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答。第一讲年龄问题知识要点：小朋友,你知道吗今年你6岁,明年你几岁妈妈今
年30岁,比你大24岁,明年妈妈比你大几岁呢这些年龄问题在解答时要记住:每过一年,每人年龄都要长大一岁.今年妈妈比
你大几岁,再过些年,妈妈还是比你大几岁.[例1]夏华今年7岁,他比爸爸小28岁,去年他比爸爸小多少岁分析：根
据题意，我们知道今年夏华比爸爸小28岁.那么去年,夏华与爸爸同时减去一岁,夏华仍然比爸爸小28岁.[例2]
弟弟今年4岁,哥哥今年12岁,10年后,哥哥比弟弟大几岁分析：根据题意，今年哥哥12岁,弟弟4岁,那么我们
知道哥哥比弟弟大12－4=8(岁).10年后,哥哥的岁数是12＋10=22岁.10年后,弟弟的岁数是4＋10=
14岁.因此10年后,哥哥比弟弟大22－14=8岁.[例3]小青说:“3年后,妈妈比我大25岁.”妈
妈问:“5年前,你比妈妈小多少岁”分析：由上题我们知道，哥哥比弟弟大8岁,10年后,哥哥还是比弟弟大8岁.
由此我们可以这样想:既然3年后,妈妈比我大25岁,那么,5年前,妈妈仍然比我大25岁,也就是我比妈妈小25
岁.[例4]小林今年6岁,小红今年10岁,当小林的年龄和小红今年的年龄一样大时,小红几岁分析：我们
知道，小林今年6岁,要想使小林的年龄和小红今年的年龄一样大,那么小林就要再过4年才能和小红一样大.小林过4年
,小红也要过4年,即长大4岁,那么小红就是10＋4=14岁.[例5]小芳今年5岁,3年后,小芳幼儿
园的李老师比小芳大20岁,李老师今年多少岁分析：我们知道，3年后,小芳幼儿园的李老师比小芳大20岁,那么3年前
,小芳幼儿园的李老师还是比小芳大20岁,又因为小芳今年5岁,李老师今年就是20＋5=25岁.第五讲有趣的算式
算式谜是一种有趣的数学问题，它的特点是在算术运算的式子中，使一些数字数字或运算符号“残缺”，要我们根据运算法则，进行判断推
理，从而把“残缺”的算式补充完整，研究和解决算式谜问题，有利于培养我们观察、分析、归纳、推理等思维能力。[基本常识]1
．2．3．4．首位数字不为0。两个数字相加，最大进位为1，三个数字相加最大进位为2。两个数
字相乘，最大进位为8。相同字母文字代表相同的数字，不同的字母文字代表不同的数字。在下面算式的□里填上合适的数字，
使算式成立：可以这样想：为了便于叙述，我们将各方格用字母代替。第一步，由A4B×6的个位数为0可知，B＝5。第二
步，由A45×6＝1DE0可知，A只能为2或3。但A为3时，345×6＝2070，不可能等于1DE0，不合题
意，故A＝2。第三步，由245×C＝□□5可知，乘数十位上的C是小于5的奇数，即C只可能是1或3。当
C取1时，245×16<8□□□，不合题意，所以C不能取1，只能取3，故C＝3。这样，就可以填上所有的空格。
根据下式写出除法算式（）÷（）＝（）可以这样想：我们可以先给竖式编上号码，如下：从（3）连
续移下两位可得出商的十位一定是0，从商的个位9和除数相乘，仍是三位数可得出除数的最高位一定是1。（1）
积从减（2）差等于9，除数的十位一定是1，11□×9的积是三位数只有0和1两种可能，而如果是0
，余数不会是一位数9，所以除数个位选1。其它各位上数字迎刃而解。拍脑袋提醒：“解谜”的准则：“先推后试”
。初学者往往急于求成，拿到题就试解，结果欲速而不达。所以“先推”是要认真分析题目，在□、类竖式谜中往往提供几个已知数字，
这些数字就是推理的基础，另外算式中某行的□或的个数也是重要的推理依据。第五讲在线作业1．在圆圈内填上适当的数使算
式成立。8＋63128答案：485＋9643101282．在方框内填上适当的数使
算式成立。11＋981答案：9＋1110899813．在方框内填上适当的数使算式
成立。4－6答案：658】944－2866584．在方框内填上数字1～9，使等式
成立，不能重复。÷＋答案：×－＝＝9÷3×4＝125＋8－7＝65．将数字0～9
填到圆圈里，组成等式，每个数字只能用一次。＋－×＝＝＝123答案：1＋7＝812
39－6＝34×5＝21第五讲算式迷小朋友们？你猜过算式迷吗？算式迷是由一些数字与算式构成
的。日本人形象地称之为“虫食算”，即算式中一些数字被虫子咬去了。要想猜出算式迷，也得先分析这些数字和算式构成的“谜面”，再
运用一些推理方法找到“谜底”。典型例题例【1】将数字0、1、3、4、5、6填入下面的内，使等式成立，每个空格只填
入一个数字，并且所填的数字不能重复。×分析先看＝×＝2＝÷2，所给的可以填出来，2，乘积是个两
位数，个位数是数字0，1，3，4，6中只有3×4的个位数是2，前面几个3×4＝12，余下的0，5，6要组成一
个两位数除以一个一位数，商是12的除法算式，只能是60÷5。解3×4＝12＝60÷5例【2】将
数字1～9分别填在下面9个方格中，使算式成立。+×分析所以先从乘法算式填起。1．===（1）（2
）（3）算式（1）、（2）是加减算式。可填的数字较多。而算式（3）是乘法算式，要考虑数字1～9中，哪两
个数字的积等于另一个数字，乘法算式（3）中可以先填成2×3＝6，余下的数字再分别填入（1）（2）中。、1＋4＝5，剩下
的7，8，9不能组成（2）式。1＋7＝8，剩下的4，5，9能组成9－5＝4，或9－4＝5。1＋8＝9，剩下的1，
7，8能组成8－7＝1，或8－1＝7。2．乘法算式（3）也可以填成2×4＝8，那么：1＋5＝6，剩下的3，7，
9不能组成（2）式。1＋6＝7，剩下的3，5，9不能组成（2）式。3＋6＝9，剩下的1，5，7不能组成（2）式。
所以，此题答案是：1192428274357385（或9691（或861＝7
）5＝4）例【3】把数字1～9填在方格里，使等式成立，每个数字只能用一次。÷分析＝÷＝÷
一位数组成除法算式商相等的情况：4÷2＝6÷3，6÷2＝9÷3，8÷2＝4÷1，所以可先填写等式中的前4个数。如果先填
4÷2＝6÷3，剩下的1，5，7，8，9要组成一个三位数除以一个两位数，商是23即×2＝，所得的积的个位一定是
个双数，只能填8。试验可知：79×2＝158。如果先填8÷2＝4÷1，剩下的3，5，6，7，9不能组成一个三位数除
以一个两位数、商是4的除以算式，所以等式中的前4个数不能填8÷2＝4÷1。我们可以填4÷2＝6÷3。解4
÷2＝6÷3＝1（第一种情况）578÷794÷589÷3＝6÷2＝1（第二种情况）
例【4】用数字0～9组成下面的加法算式，每个数字只许用一次，现已写出3个数字，请把这个算式补充完整。4＋28
分析观察算式，三位数加三位数，其和为四位数，所以和的首位数字为1。因为算式中8已出现，故第一个加数的百位数字为9
或7。如果第1个加数的百位数字为9，则和的百位数为1或2，而这时1，2都已用过，所以第1个加数的百位数不
是9。如果第1个加数的百位数字为7，则和的百位数字必须为0，且十位必向百位进一，此时1，0，4，2，8都已用过，
还剩下9，6，5，3，这里只有一个双数，如果放在第2个加数或者和的个位，那么和或者第2个加数的个位也必须是双数，这
样显然不可能，所以6只能放在十位上，这样和的十位就是5，余下的分别填9和3。解764＋2841
053例【5】在下面算式的立。内填入一个合适的数字，使算式成009－50193分析由于（12
）－9＝3，所以被减数的个位数字为2；再看十位，由于9－（0）＝9，所以减数的十位数字为0；再看百位，由于9－0＝（9）
，所以差的百位数字为9；最后看千位，由于（7）－5－1＝1，所以被减数的千位数字为7。解7002－50
091993小结在做算式迷这类题时，首先要观察题目中的算式，看看它含有哪几种运算，要填的数是几位数，要填的
数字是否规定好了，还是可以任意填。其次是要熟练运用加减之间、乘除之间的逆运算关系进行推理。先确定能够确定的数字，而且每一步
要把确定的结果代入算式，以利于下面的推理。最后，所有的空格填完之后要检验一下，看看答案是否正确。第四讲最大数和最小数问
题六月一日，小天使”“儿童快餐店迎来了28位前来就餐的小朋友。快餐店的老板准备了一份精美的礼品送给其中年龄最小的小
朋友。谁的年龄最小呢？当每个小朋友报出自己的年龄后，老板发现，其中有10岁的，也有9岁、8岁、7岁、6岁的，最
小的是5岁。但是5岁的小朋友有4位。按照这4位小朋友生日的先后，还能找到一个最小的，因此老板要他们各自报出自己
的生日。结果如下：小雨豆豆苗苗慧慧2月8日5月2日8月16日12月9日把这4位小客人的生日
一比，很容易知道，慧慧是28位小朋友当中最小的。慧慧得到老板送的大蛋糕。她把这块大蛋糕分成了28份，让大家和她一起品
尝。也许有的同学会问：“如果这4个小朋友中有两个生日是同一天，那怎么办呢？”是不是谁生日的数字大就是谁大呢？哪些是通过
比数字的大小得到最大最小数？通过下面的一些例题与方法，我们将会得到这方面的知识。典型例题例[1]用2，4，6，8
这4个数字组成一个最大的四位数。分析用这4个数字组成4位数有很多个，但最大的只有一个。要使组成的四位数最大，应
当遵循一条原则：用较大的数占较高的数位。解用2，4，6，8组成的最大的四位数是8642。例[2]从十位数76
77782980中划去5个数字，使剩下的5个数字（先后顺序不改变）组成的五位数最小。这个五位数最小的五位数是多少
？分析在10个数字中划去5个数字，还剩5个数字组成五位数。要使这个五位数最小，应当用最小的数去占最高位（万位
），第2小的占千位……但是，个数字中最小的2不能放在万位上10（想一想，为什么？）。这样，万位上的数只能
在剩下的第2小的数中选，应选6。万位确定后，千位在剩下的数中选最小的2。而题目中要求剩下的5个数字的先后顺序不改变
，所以，百位、十位、个位上的数字只能是最后三个数字9，8，0。解62980。划去4个7和万位上的8。剩下的数组
成的最小五位数是例[3]钱袋中有1分、2分、5分3种硬币。甲从袋中取出3枚，乙从袋中取出2枚，取出的
5枚硬币仅有2种面值，并且甲取出的3枚硬币面值的和比乙取出的2枚硬币面值的和少3分，那么取出的钱数的总和
最多是多少分？分析因为乙只取2枚硬币，而2枚硬币的钱数最多是5×2=10（分）。而甲取出的3枚硬币的和比乙
取出的2枚硬币的和少3分。因此，最多只有10－3=7（分）。两者合起来就是取出的钱数的总和的最大值。解10＋
7=17（分）例[4]一把钥匙只能开一把锁。现在有4把钥匙4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配
好全部的钥匙和锁？分析开第1把锁，从最坏的情况考虑，试了3把钥匙还未成功，则第4把不用再试了，他一定能打开
这把锁。同样的道理，开第2把锁最多试2次，开第3把锁最多试1次，最后剩下的一把钥匙一定能打开剩下的第4把锁
，不用再试。解最多（也就是按最不凑巧的情况考虑）要试的次数为3＋2＋1=6（次）。例[5]把1、2、3、4、5
、6、7、8填入下面算式中，使得数最大。□□□□－□□×□□这个最大得数是多少？分析要使得数最大，被减数（四位数）
应当尽可能大，（□减数□×□□）应当尽可能小。由例[1]的原则，可知被减数为8765。下面要做的是把1、2、3、4
分别填入□□×□□的4个“□”中，使乘积最小。要使乘积最小，乘数和被乘数都应当尽可能小。也就是说，它们的十位数都要
尽可能小。因为12×34=408而14×23=322，13×24=312（最小）解8765－13×24=8453小朋
友们，回到我们开头提的故事，那么我们发现，不是所有的比较大小都只看数字，而是同时要考虑其他因素，慧慧生日数字大，证明她出生晚，
所以她最小，同样的理由，如果这4位小朋友在同一天生日，那么谁出生的时间最晚那么谁就最小。小结用较小的数占较高的数位。
用不同的数字组成多位数，要使组成的数最大，应当用较大的数占较高的数位；要使组成的数最小，应当其中列举比较法是获得最大数或
最小数的常用方法。解决“最大（最小）问题”，有时需要考虑最不利（最不凑巧）的情况，比如，“锁与钥匙配对”的问题。有这样
一条规律一定要记住：两个整数的和一定，那么当它们相等时，乘积最大。第四讲拼拼摆摆知识要点：用火柴棒摆成的算式，是很有
趣的算式，随着火柴棒的移动，它可以使数字、算法都发生想不到的变化。通过火柴棒的移动，使原来不相等的算式成为正确的算式，你感兴
趣吗？[例1]移动一根小棒，使下面的等式成立。分析：左边结果21，右边是1，所以通过火柴棒的移动，使左边变小，右边
变大。我们试着把“＋”变为“－”，多出的这根火柴棒使“1”变成“7”，等式成立。也可以把“14”十位上的“1”移到等号的
右边，使等式成立。[例2]移动一根小棒，使下面的等式成立。分析：只能移动1根火柴棒，因此数字不能改变，我们只好移
动加减号，使左边变成得数，右边变成算式。我们试着把“=”变为“－”，多出的这根火柴棒使“－”变成“=”，等式成立。[
例3]你能移动两根小棒，使下面的等式成立吗？分析：等式右边结果是8，可使左边变成9-1或7+1，9-1算式难以出现9，可选择7+1，这样经移动算式变为：[例4]移动两根小棒，使下面的等式成立。分析：四个1相加，结果是141，和太大了，因此要想办法使和变小，加数变大，这样把141后面“1”拿到前面加数中任何一个“1”的前面，等式就成立。[例5]试一试最少移动几根小棒，使下面的等式成立。分析：四个11相加，结果是224，和太大了，因此要想办法使加数变大，这样分别把两个11里面都拿一个“1”到前面加数中，变成两个“111”，这样等式就成立了。第十四讲填符号组算式小朋友们，你听过“江南四大才子”之一祝枝山的故事吗？他写得一手好字。有一次过年，一个人请祝枝山写了一张条幅：“今年正好晦气全无财帛进门。”主人一看：“今年正好晦气，全无财帛进门。差一点气昏过去，”大骂祝枝山是个“大混蛋”。祝枝山不慌不忙，笑嘻嘻地说：“你听我念：‘今年正好，晦气全无，财帛进门。’这是多么好的好彩。”主人一听，马上转怒为喜。古人的断句，体现了标点符号的作用。数学中的运算符号也能发挥类似的作用。典型例题例【1】在下面4个4中间，添上适当的运算符号＋、－、×、÷和（），组成3个不同的算式，使得数都是2。4444444＝24＝24444＝2分析由题意，可以在4之间添加运算符号和括号，而题中没有一个运算符号，而只能采用逐一试验的方法，找到正确答案。解如果在第1个4后面添＋号，后3个4不能得到2；如果第1个4后面是一号，4－2＝2，很容易想到：（4＋4）÷4＝2。所以4－（4＋4）÷4＝2。如果第1个4后面是×号，4×4＝16，由于16÷8＝2。容易想到：4×4÷（4＋4）＝2。如果第1个4后面是÷号，4÷4＝1，由于1＋1＝2，容易得到：4÷4＋4÷4＝2。例【2】在批改作业时，张老师发现小明抄题时丢了括号，但结果是正确的。请你给小明的算式添上括号：4＋28÷4－2×3－1＝4分析根据题意，错误的算式是丢了括号。只能按先乘除，再加减的运算顺序来计算。因此括号添在乘除法的两侧是毫无意义的，所添的括号要能够改变运算顺序。所以，括号应添在含有加减运算的两边。解从左往右看，在4＋28两侧试添括号，计算得32，再除以4得8。小明的算式就变为8－2×3－1＝4。如果把括号加在8－2的两侧，计算结果大于4，只能把括号加在3－1的两侧。很容易得到：8－2×（3－1）＝4。正确的算式应为：（4＋28）÷4－2×（3－1）＝4例【3】12在下面的数字之间添上运算符号，使等式成立。3456789＝6分析由题意，8个地方要添运算符号，有用逐一试验的方法很难找到答案。分析写成的结果，由于60＝2×30＝3×20＝4×15＝5×12＝6×10，因此可以把算式中的数分成两个部分，使两个部分的乘积等于60。在分的过程中，应先考虑较大的数，再考虑较小的数。解把7□8□9分成一组，在它们之间添加号和减号，可得7＋8－9＝6。剩下的1□2□3□4□5□6为一组，添上运算符号，结果要得10。再看较大的数4□5□6，可得4＋5－6＝3。于是得到1＋2×3＋4＋5－6＝10。所以正确算式为（11＋2×3＋4×5－6）×（7＋8－9）＝60。想一想：如果把6□7□8□9分成一组呢？例【4】88在下面算式适当的地方添上加号，使等式成立。888888＝1000分析在8个8之间的适当的地方添上加号，运算符号是确定的，关键要选择添加号的位置。可以考虑在加数中凑出一个较接近1000的数是888，再考虑余下的5个8怎样安排就行了。解888888＋888＝1000，余下的5个8可以8＋88＋888＝1000。88只要再相加就拿出2个8组成88，得到8因为1000－（88＋888）＝24，剩下的8行了，答案是：8＋8＋8＋88＋888＝1000。例【5】123在下面式子的适当地方添上＋、－、×，使等式成立。45678＝1分析这题等号左边的数字较多，而等号右边的得数是最小的自然数1。可以考虑在等号左边最后一个数字8前面添“一”号，这时等1344552634567－8＝1；再考虑式应为12237＝9；可考虑在7前面添＋号，等式应为123456＋7＝9；用前面的方法，只要让12345－6＝2；这时让16＝2，考虑12345＝8就行了，考虑12解35＋5＝8。则只需1234＝3即可，1＋2×3－4＝3。1＋2×3－4＋5－6＋7－8＝1小结根据题目给定的条件和要求添运算符号和括号，没有固定的法则。解决这类问题，一般的方法有试验法、凑整法、逆推法。如果题中的数字较简单，可以采用试验的方法，找到答案，如例1、例2；如果题中结果较大，可以把数字先分组，然后每组再试验，如例3。凑整法常用于题中数字较多、结果较复杂的时候。这时要先凑出一个与结果较接近的数，然后再对算式中算式的数字做适当的安排，即增加或减少，使等式成立，如例4、例5。最短路线在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。比如：邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能够走最近的路而达到目的地，等等。这样的问题，就是我们所要研究学习的“最短路线问题”。典型例题例[1]假如直线AB是一条公路，公路两旁有甲乙两个村子，如下图1。现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短。问：车站应该建在什么地方？甲甲B乙图1AA乙图2B分析如果只考虑甲村的人距离公路AB最近，只要由甲村向公路AB画一条垂直线，交AB于C点，那么C点是甲村到公路AB最近的点，但是乙村到C点就较远了。反过来，由乙村向公路AB画垂线，交AB于D点，那么D点是乙村到公路AB最近的点。但是这时甲村到公路AB的D点又远了。因为本题要求我们在公路AB上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的人到这个车站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验：两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这条直线与公路AB交点P，就是所求的公共汽车站的建站点了（图2）。解用直线把甲村、乙村连起来。因为甲村乙村在公路的两侧，所以这条连线必与公路AB有一个交点，设这个交点为P，那么在P点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。例[2]一个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示各段街道的千米数。他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？124213分析选择最短的路线最合理。那么，什么路线最短呢？一笔画路线应该是最短的。邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问题，就是从偶点出发，回到偶点。因此，要能一笔把路线画出来，必须途径的各点全是偶点。但是图中有8个奇点，显然邮递员要走遍所有街道而又不走重复的路是不可能的。要使邮递员从邮局出发，仍回到邮局，必须使8个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点。如果有不同的添法，就还要考虑哪一种添法能使总路程最短。为使8个奇点变成偶点，我们可以用图4的4种方法走重复的路12421132421线。3(a)1242112(b)42133图4中添虚线的地方，就是重复走的路线。重复走的路程分别为：（a）3×4=12（千米）（b）3×2＋2×2=10（千米）（c）2×4=8（千米）（d）3×2＋4×2=14（千米）当然，重复走的路程最短，总路程就最短。从上面的计算不难找出最合理的路线了。解邮递员应按图4（c）所示的路线走，这条路重复的路程最短，所以最合理。全程为：（1＋2＋4＋2＋1）×2＋3×6＋2×4=20＋18＋8=46（千米）例[3]图5中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有街道。小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校的北小明家方向而走冤枉路。那么小明从家到学校可以有多少条不同的路线？分析为了叙述的方便，我们在各交叉点标上字母（见图6）。A小明家BEFFFDE我们从小明家出发，顺序往前推。由于从小明家到A、B、C、D各处都是沿直线行走，所以都只有一种走法。我们分别在交叉点处标上“1”。而从小明家到E处，就有先到A或先到D的两种走法，正好是两个对角上标的数1+1的和。从小明家到F点，则有3条路线，又正好是两个对角上标的数1+2的和。标在各交叉点的数，就是依次顺序推出的到各交叉点能有多少种不同的路线的数。从中我们可以看出，每个格内上右角与下左角两个对角上的数的和，正好等于下右角上的数。解小明家ABC从小明家到学校有13条不同的路线。如图7所示。北1121314小结寻找最短路线，不应该走“回头路”。要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，既要做到不重复数，也不漏数。对比较复杂图7的图形，可以借助图表来寻找路线。