5.1.2垂线
学习目标:
理解垂线、垂线段的概念,会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
掌握点到直线的距离的概念,并会度量点到直线的距离。
掌握垂线的性质,并会利用所学知识进行简单的推理。
学习重点:垂线的定义及性质。
学习难点:垂线的画法
学具准备:相交线模型,三角尺,量角器
学习过程:
一、学前准备
1、预习疑难:。
2、填空:①如果∠α与∠β互为余角,∠α=37°,那么∠β=。
②已知∠1与∠2互为余角,∠1与∠3互为余角,那么∠2与∠3的关系是。
二、探索与思考
(一)垂线的定义
1、观察思考:转动相交线模型,观察两条直线所成的夹角的变化。当夹角变化
到°时,就是我们今天要研究的两条直线垂直。
2、定义:两条直线相交所成的四个角中,有一个角是时,这两条直线就互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的,它们的交点叫做。
3、符号表示:①如果直线AB、CD互相垂直,记作AB⊥CD,垂足为O。
②由两条直线垂直,可知四个角为直角。记为∵AB⊥CD(已知)
∴∠AOD=90°(垂直定义)
由两条直线交角为直角,可知两条直线互相垂直。记为∵∠AOD=90°(已知)
∴AB⊥CD(垂直定义)
4、总结:①垂直是相交。是相交的一种特殊情况。
②垂直是一种相互关系,即a⊥b,同时b⊥a
③当提到线段与线段,线段与射线,射线与射线,射线与直线的垂直情况时,是指它们所在的直线互相垂直。
5、生活中的垂直关系:日常生活中,两条直线互相垂直很常见,你能举出几个例子吗?
(二)垂线的性质一
垂线的画法有两种:利用或者。
探究:完成教材4页探究问题。
3、垂线性质:。
4、对应练习:教材5页练习1、2(在书上完成)
垂线的性质二
1、思考:在灌溉时,要把河中的水引到农田P处,如何挖渠能使渠道最短?
2、探究:上面思考问题可以转化为数学问题:“已知直线l和直线外一点P,连接点P到直线l上各点O,A1,A2,A3…,其中PO⊥l(我们称PO为点P到直线l的垂线段)。
请你比较线段PO,PA1,PA2,PA3…的长短,哪一条最短?
结论:。
简记为:。
对应练习:①修一条公路将村庄A、B与公路MN连接起来,怎样修
才能使所修的公路最短?画出线路图,并说明理由。
②教材6页练习
点到直线的距离:
1、定义:直线外一点到这条直线的,叫做点到直线的距离。
2、注意:定义中说的是“垂线段的长度”,而不是“垂线段”。因为,距离是一个数量,而“垂线段”是指一个具体的几何图形。
3、对应练习:如图,∠BCA=90°,CD⊥AB,垂足为D,则下列结论中正确的个数为()
①AC与BC互相垂直;②CD与BC互相垂直;③点B到AC的垂线段是线段AC;④点C到AB的距离是线段CD;⑤线段AC的长度是点A到BC的距离;⑥线段AC是点A到BC的距离。
A.2B.3C.4D.5
三、学习体会:
1、本节课你有哪些收获?你还有哪些疑惑?
2、预习时的疑难解决了吗?
四、自我检测:
选择题:
1.如图1所示,下列说法不正确的是()毛
A.点B到AC的垂线段是线段AB;B.点C到AB的垂线段是线段AC
C.线段AD是点D到BC的垂线段;D.线段BD是点B到AD的垂线段
(1)(2)
2.如图1所示,能表示点到直线(线段)的距离的线段有()
A.2条B.3条C.4条D.5条
3.下列说法正确的有()
①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;
④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.如图2所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=acm,BC=bcm,则BD的范围是()
A.大于acmB.小于bcm
C.大于acm或小于bcmD.大于bcm且小于acm
5.到直线L的距离等于2cm的点有()
A.0个B.1个;C.无数个D.无法确定
6.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到?直线m的距离为()
A.4cmB.2cm;C.小于2cmD.不大于2cm
(二)填空题:
1、如图4所示,直线AB与直线CD的位置关系是_______,记作_______,此时,∠AOD=∠_______=∠_______=∠_______=90°.
2、如图5,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC=6,那么点C到AB的距离是_______,点A到BC的距离是________,点B到CD的距离是_____,A、B两点的距离是_________.
(4)(5)(6)(7)(8)
3、如图6,在线段AB、AC、AD、AE、AF中AD最短.小明说垂线段最短,因此线段AD的长是点A到BF的距离,对小明的说法,你认为_________________.
4、如图7,AO⊥BO,O为垂足,直线CD过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________.
5、如图8,直线AB、CD相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE与直线AB的位置关系是_________.
五、拓展延伸
1、已知,如图,∠AOD为钝角,OC⊥OA,OB⊥OD
求证:∠AOB=∠COD
证明:∵OC⊥OA,OB⊥OD()
∴∠AOB+∠1=,
∠COD+∠1=90°(垂直的定义)
∴∠AOB=∠COD()
变式训练:如图OC⊥OA,OB⊥OD,O为垂足,若∠BOC=35°,则∠AOD=________.
2、已知:如图,直线AB,射线OC交于点O,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.试判断OD与OE的位置关系.
3、课本中水渠该怎么挖?在图上画出来.如果图中比例尺为1:100000,水渠大约要挖多长?
4、如图,分别画出点A、B、C到BC、AC、AB的垂线段,再量出A到BC、点B到AC、点C到AB的距离.
5、如图,直线AB,CD相交于O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠DOF=65°,求∠BOE和∠AOC的度数。
6、(2001.杭州中考题)如图7所示,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的村庄,设汽车行驶到P点位置时,离村庄M最近,行驶到Q点位置时,离村庄N最近,请你在AB上分别画出P,Q两点的位置.
N
M
D
B
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