课时25．等腰三角形与直角三角形
【课前热身】
1．等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为_________.
2.在三角形中，有两边长为5和12，要使该三角形为直角三角形，则第三边为_________.
3.在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=2cm，则AB=_____cm.
4.如图，在△ABC中，ABAC，∠A50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC_____度.
5．如图，在△ABC中，ABAC，D为AC边上一点，且BDBC=AD．则∠A
(第4题)(第5题)(第6题)(第7题)
6．如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40o的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西0o的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距A．30海里B40海里C50海里D60海里
例2如图，在等边△ABC中，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，求证：BP=2PQ.
例3如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论.
【中考演练已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为3.已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD，请添加一个条件，使图中存在全等三角形.所添加的条件为____________，你得到的一对全等三角形是：△_________≌△________.
(第3题)（第4题）
4．如图，小雅家图中点处门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔图中点处在她家北偏东60度500处，那么水塔所在的位置到公路的距离1处，则∠EA1B=____度.
（第5题）（第6题）（第7题）
6.如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动），∠AON=60°，填空：
(1)当OP=_____时，△AOP为等边三角形；
(2)当OP=_____时，△AOP为直角三角形；
7.如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=61°，延长BC至E，使CE=AC，延长CB至D，使DB=AB，则∠DAE=_____.
8.如图的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n个等腰直角三角形的面积为_______.
(第8题)（第9题）
9.如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF=AP；⑤S四边形AEPF=S△ABC.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，上述结论中始终正确的序号有____________.
10.如图所示，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置.
(第10题)（第11题）
11.小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是()
A.4B.3C.2D.1
12.在下列四个命题，①等腰三角形两腰上的中线相等；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形两底角的平分线相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.其中正
确的个数为()
A.1B.2C.3D.4
13.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AE平分∠BAC，那么下列关系式中不成立的是()
A.∠B=∠CAEB.∠DEA=∠CEAC.∠B=∠BAED.AC=2EC
(第13题)（第14题）
14.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《沟股圆方图》，它是由四个全等三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图.如果大正方
形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边为b，那么(a+b)2的值是()
A.13B.19C.25D.169
15.等腰三角形一腰上的中线分原三角形周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为()
A．7B.11C.7或11D.不能确定
16.已知等腰△ABC腰AB上的高CD与另一腰AC的夹角为30°，则其顶角的度数为()
A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°
17.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则∠B的度数为()
A.65°B.25°C.65°或25°D.50°或130°
18.如图，四边形ABCD是正方形，在平面内，满足△PAB，△PBC，
△PCD，△PAD均为等腰三角形的点P的个数是()
A.1个B.4个C.8个D.9个
19．如图，已知在直角三角形中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．
(1)若∠BAC=30°，求证：AD=BD；
(2)若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数.
20.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．
(2)若PA:PB:PC=3:4:5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
21.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图1所示.请你在图2、图3中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长.
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