课时39．中考压轴题(2)
例1如图，已知直线l过点A(0，1)和B(1，0)，P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交l于点Q，交x轴于点M.
(1)直接写出直线l的解析式；
(2)设OP=t，△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当0＜t＜2时，S的最大值；
(3)直线l1过点A且与x轴平行，问在l1上是否存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由.
解：(1)y=1-x
(2)∵OP=t，∴Q点的横坐标为t
①当0＜t＜1，即0＜t＜2时，QM=1-t，
∴S△OPQ=t(1-t)
②当t≥2时，QM=|1-t|=t-1
∴S△OPQ=t(t-1)
∴
当0＜t＜1，即0＜t＜2时，
∴当t=1时，S最大值=
(3)由OA=OB=1，所以△OAB是等腰直角三角形，若在l1上存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ=QC，所以OQ=QC，又l1∥x轴，则C，O两点关于直线l对称，所以AC=OA=1，得C(1，1).
以下证∠PQC=90°：
证明：连CB，则四边形OACB是正方形.
①当点P在线段OB上，Q在线段AB上
(Q与B不重合)时，如图-1.
由对称性，得∠BCQ=∠QOP，∠QPO=∠QOP
∴∠QPB+∠QCB=∠QPB+∠QPO=180°
∴∠PQC=360°-(∠QPB+∠QCB+∠PBC)=90°
②当点P在线段OB的延长线上，如图-2、图-3.
∵∠QPB=∠QCB，∠1=∠2
∴∠PQC=∠PBC=90°
③当点Q与点B重合时，显然∠PQC=∠PBC=90°
综合所述∠PQC=90°
∴在l1上存在点C(1，1)，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形.
例2如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，线段OA绕原点O顺时针旋转120°后得到线段OB.
(1)直接写出点B的坐标；
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.
解：1，设抛物线的解析式为y=axx+2)
把B(1，=a×1×(1+2)
解得a
∴
(3)如图，抛物线的对称轴是直线x=1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.设直线AB为y=kx+b，解得
∴直线AB为当x=1时，，点C的坐标为1，如图，过P作y轴的平行线交AB于D
当x=时，△PAB的面积的最大值为，此时，).
例3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=2x-8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P0，k是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.
连PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
解：⊙P与x轴相切.
∵直线y=2x-8与x轴交于A4，0与y轴交于B0，8).
∴OA=4，OB=8题意，OP=k
∴PB=PA=8+k
在Rt△AOP中，OA=4，OP=k，PA=8+k∴k2+42=(8+k)2
解得k=-3
∴OP等于⊙P的半径⊙P与x轴相切
设⊙P与直线l交于C，D两点，连P1C，PD，
当圆心P在线段OB上时作PE⊥CD于E.
∵△PCD为正三角形∴DE=CD=，P1D=3，
∴P1E=
∵∠AOB=∠P1EB=90°，∠ABO=∠P1BE
∴△AOB∽△P1EB，
∴，即
∴P1B=
∴P1O=BO-P1B=8-
∴P1(0，-8)
∴
当圆心P在线段OB延长线上时同理可得P-8)
∴k=--8
∴当k=8或k=-8时，以P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.解：由题意可设抛物线的式为ya(x-2)2-1
∵点在抛物线上
∴3a(0-2)2-1，a=1
∴抛物线的式为y(x-2)2-1=x2-4x+3
(2)∵点M(x，y1)，N(x+1，y2)都在该抛物线上
∴y1y2=(x2-4x+3)-[(x+1)2-4(x+1)+3]=3-2x
当32x＞0，即时，y1＞y2
当32x=0，即时，y1y2
当32x＜0，即时，y1＜y2
令y0，即x24x+3=0，∴A(3，0)，B1，0)
∴D(，)
∴直线AC的函数关系式为yx+3
因为△是等腰直角三角形，所以，要使△DEF与△相似，△DEF也必须是等腰直角三角形由于EF∥OC，因此∠DEF45°，所以，在△DEF中只可能点D、F为直角顶点①当F为直角顶点时，DF⊥EF，此时△DEF∽△ACO，DF所在直线为y
由x24x+3=，解得，＞3(舍去将代入yx+3，得y
∴E(，②当D为直角顶点时，DF⊥AC，此时△DEF∽△OAC，由于点D为线段AC的中点，因此，DF所在直线过原点O，其为yx.
由x2-4x+3=x，得，＞3(舍去将代入yx+3，得y
∴E(，
例5如图，已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线顶点为D，求四边形ABDE的面积；
(3)△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。
解：∵抛物线与y轴交于点(0，3)
∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3(a≠0)
根据题意，得，解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3
(2)设对称轴与x轴的交点为F由y=x2+2x+3得顶点为1，4四边形ABDE=ABO+S梯形BOFD+SDFE
=AO·BO+(BO+DF)·OF+EF·DF
=×1×3+(3+4)×1+×2×4
=9
(3)△AOB∽△DBE
证明：连接BE，作BG⊥DF，则BG=DG=1=
∴BD===，
BE===3
DE===2
∵BD2+BE2=20，DE2=20
∴BD2+BE2=DE2
∴△BDE是直角三形
∴∠AOB=∠DBE=90°，且==
∴△AOB∽△DBE
例6如图，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为(2，4)，矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.
(1)求该抛物线ABCD以每秒1个单位长度的速度从图①所示的位置沿x轴的正方向匀速平行
移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒
(0≤t≤3)，直线AB与该抛物线的交点为N(如图②所示).
①当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意，可设抛物线y=a(x-2)2+4
∵抛物线经过O(0，0)
∴有a(0-2)2+4=0，解得a=-1
∴该抛物线y=-(x-2)2+4，即y=-x2+4x
(2)①点P不在直线ME上.
理由如下：
根据抛物线的对称性可知E点的坐标为(4，0)
又M的坐标为(2，4)，设直线ME的关系式为y=kx+b.
∴，解得
∴直线ME的关系式为y=-2x+8
由已知条件易得，当t=时，OA=AP=
∴P(，)
∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8
∴当t=时，点P不在直线ME上.
②S存在最大值.理由如下：
∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上
∴OA=AP=t
∴点P、N的坐标分别为(t，t)、(t，-t2+4t)
∴AN=-t2+4t(0≤t≤3)
∴AN-AP=(-t2+4t)-t=-t2+3t=t(3-t)≥0
∴PN=-t2+3t
㈠当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD.
∴S=CD·AD=×3×2=3
㈡当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形
∵PN∥CD，AD⊥CD
∴S=(CD+PN)·AD=[3+(-t2+3t)]×2=-t2+3t+3=-(t-)2+(0＜t＜3)
∵a=-1，0＜＜3
∴当t=时，S最大=
综上所述，当t=时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积有最大值，这个最大值为.
y
x
B
P
M
O
A
l
图②
P
x
y
O
A
B
3
D
x
y
O
A
B
C
x
y
O
A
B
F
E
y
x
O
D
C
B
A
图①
3
F
E
y
x
O
D
C
B
A
3
F
E
y
x
O
D
C
B
A
l1
Q
l
A
O
P
B
x
y
l1
图-1
Q
C
y
l
A
O
P
B
x
l1
图-3
Q
C
2
1
l
A
O
P
B
x
l1
图-2
Q
C
2
1
y
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