2009年中国数学奥林匹克试题与解答
(2009年1月11日．设A，D分别是边PB，PC上的点，连接AC，BD，相交于点O.过点O分别作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，线段BC，AD的中点分别为M，N．
（1）若A，B，C，D四点共圆，求证：；
（2）若，是否一定有A，B，C，D四点共圆？证明你的结论．
解（1）设Q，R分别是OB，OC的中点，连接EQ，MQ，FR，MR，则
，
又OQMR是平行四边形，
所以，
由题设A，B，C，D四点共圆，
所以，
于是，
所以，
故，
所以EM＝FM，
同理可得EN＝FN，
所以．
（2）答案是否定的．
当AD∥BC时，由于，所以A，B，C，D四点不共圆，但此时仍然有，证明如下：
如图2所示，设S，Q分别是OA，OB的中点，连接ES，EQ，MQ，NS，则
，
所以．①
又，
所以．②
而AD∥BC，所以，③
由①，②，③得．
因为，
，
即，
所以～，
故（由②）．
同理可得，，
所以，
从而．
二、求所有的素数对（p，q），使得．
解：若，不妨设，则，故．
由Fermat小定理，，得，即．易验证素数对不合要求，，合乎要求．
若为奇数且，不妨设，则，故．
当时素数对合乎要求，当时，由Fermat小定理有，故．由于为奇素数，而626的奇素因子只有313，所以．经检验素数对合乎要求．
若都不等于2和5，则有，故
．①
由Fermat小定理，得，②
故由①，②得
．③
设，，其中为正整数．
若，则由②，③易知
，
这与矛盾！所以．
同理有，矛盾！即此时不存在合乎要求的．
综上所述，所有满足题目要求的素数对为
，，，，，及．
三、设m，n是给定的整数，，是一个正2n+1边形，．求顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数．
解先证一个引理：顶点在P中的凸m边形至多有两个锐角，且有两个锐角时，这两个锐角必相邻．
事实上，设这个凸边形为，只考虑至少有一个锐角的情况，此时不妨设，
则，
更有．
而+，故其中至多一个为锐角，这就证明了引理．
由引理知，若凸边形中恰有两个内角是锐角，则它们对应的顶点相邻．
在凸边形中，设顶点与为两个相邻顶点，且在这两个顶点处的内角均为锐角．设与的劣弧上包含了的条边（），这样的在固定时恰有对．
（1）若凸边形的其余个顶点全在劣弧上，而劣弧上有个中的点，此时这个顶点的取法数为．
（2）若凸边形的其余个顶点全在优弧上，取，的对径点，，由于凸边形在顶点，处的内角为锐角，所以，其余的个顶点全在劣弧上，而劣弧上恰有个中的点，此时这个顶点的取法数为．
所以，满足题设的凸边形的个数为
．
四、给定整数，实数满足．求的最小值．
解不妨设，则对，有
，
所以
．
当n为奇数时，．
当n为偶数时，
．
所以，当n为奇数时，，当n为偶数时，，等号均在时成立．
因此，的最小值为（n为奇数），或者（n为偶数）．
五、凸边形中的每条边和每条对角线都被染为n种颜色中的一种颜色．问：对怎样的n，存在一种染色方式，使得对于这n种颜色中的任何3种不同颜色，都能找到一个三角形，其顶点为多边形的顶点，且它的3条边分别被染为这3种颜色？
解当为奇数时，存在合乎要求的染法；当为偶数时，不存在所述的染法。
每3个顶点形成一个三角形，三角形的个数为个，而颜色的三三搭配也刚好有种，所以本题相当于要求不同的三角形对应于不同的颜色组合，即形成一一对应．
我们将多边形的边与对角线都称为线段．对于每一种颜色，其余的颜色形成种搭配，所以每种颜色的线段（边或对角线）都应出现在个三角形中，这表明在合乎要求的染法中，各种颜色的线段条数相等．所以每种颜色的线段都应当有条．
当为偶数时，不是整数，所以不可能存在合乎条件的染法．下设为奇数，我们来给出一种染法，并证明它满足题中条件．自某个顶点开始，按顺时针方向将凸边形的各个顶点依次记为．对于，按理解顶点．再将种颜色分别记为颜色．
将边染为颜色，其中．再对每个，都将线段（对角线）染为颜色，其中．于是每种颜色的线段都刚好有条．注意，在我们的染色方法之下，线段与同色，当且仅当
．①
因此，对任何，任何，线段都不与同色．换言之，如果
．②
则线段都不与同色．
任取两个三角形和，如果它们之间至多只有一条边同色，当然它们不对应相同的颜色组合．如果它们之间有两条边分别同色，我们来证明第3条边必不同颜色．为确定起见，不妨设与同色．
情形1：如果与也同色，则由①知
，
，
将二式相减，得，故由②知不与同色．
情形2：如果与也同色，则亦由①知
，
，
将二式相减，亦得，亦由②知与不同色．总之，与对应不同的颜色组合．
六、给定整数，证明：存在n个互不相同的正整数组成的集合S，使得对S的任意两个不同的非空子集A，B，数
与
是互素的合数．（这里与分别表示有限数集的所有元素之和及元素个数．）
证我们用表示有限数集X中元素的算术平均．
第一步，我们证明，正整数的n元集合具有下述性质：对的任意两个不同的非空子集A，B，有．
证明：对任意，，设正整数k满足
，①
并设l是使的最小正整数．我们首先证明必有．
事实上，设是A中最大的数，则由，易知A中至多有个元素，即，故．又由的定义知，故由①知．特别地有．
此外，显然，故由l的定义可知．于是我们有．
若，则；否则有，则
．
由于是A中最大元，故上式表明．结合即知．
现在，若有的两个不同的非空子集A，B，使得，则由上述证明知，故，但这等式两边分别是A，B的元素和，利用易知必须A=B，矛盾．
第二步，设K是一个固定的正整数，，我们证明，对任何正整数x，正整数的n元集合具有下述性质：对的任意两个不同的非空子集A，B，数与是两个互素的整数．
事实上，由的定义易知，有的两个子集，满足，，且
．②
显然及都是整数，故由上式知与都是正整数．
现在设正整数d是与的一个公约数，则是d的倍数，
故由②可知，但由K的选取及的构作可知，是小于K的非零整数，故它是的约数，从而．再结合及②可知d=1，故与互素．
第三步，我们证明，可选择正整数x，使得中的数都是合数．由于素数有无穷多个，
故可选择n个互不相同且均大于K的素数．将中元素记为，
则，且（对），
故由中国剩余定理可知，同余方程组
，
有正整数解．
任取这样一个解x，则相应的集合中每一项显然都是合数．结合第二步的结果，这一n元集合满足问题的全部要求．
-1-
|
|
