数学“反思型”课堂教学的实践与认识
上海市普陀区王华
一、基本概念：（什么是“反思型”课堂教学？）
1．元认知：
所谓元认知，是指对自己认知过程和认知能力的认识，即反省认知（metacogrition）。包括元认知知识，元认知体验，元认知监控三个方面，其实质就是个体对认知活动的自我意识、自我控制。它在个体的整个智力活动中处于支配地位，通过自我监控，逐步培养自我调节的能力。反映在人的思维过程中就是通过“反思”，进行行为的调节。
2．反思：
反思(reflection)，在西方哲学中通常指精神的自我活动与内省的方法。洛克(J.loke)认为经验按其来源可分为感觉与反思（也译“反省”），前者即外部经验，后者即内部经验；反思是心灵以自己的活动作为对象而返观自照，是人们的思维活动与心理活动。黑格尔(G.W.F.Hegel)反思基本上有三种：(1)与“知性”混用；(2)与后思混用；(3)将统一体分裂为对立面的二重性活动，居于知性与理性之间。关于反思的系统研究起于杜威(J.Dewey)。杜威在其著作《我们如何思维》中指出：反思是“对任何信念或假定的知识形式，根据其支持理由和倾向得出进一步结论而进行的积极主动的、坚持不懈的细致缜密的思考”[]（）在杜威看来，序列(sepuence)与后果(consequence)是反思活动的核心，思想只有在逻辑有序并且包含对决策后果的考虑才能称得上是反思性的。反思既回顾假定与信念以确定它们是建立在逻辑上和证据上，也展望某一特定行为进程的意义或后果，它拒绝以表面价值接受任何事物，探讨“感觉的证据”和事物似乎存在的方式。反思行为是一种面对问题和反应问题的一种主人翁方式，是一种比逻辑的理性的问题解决更为复杂的过程，涉及思维、问题意识以及责任感、虚心和坚持不懈等个人品质。2]
反思：通俗的解释为：内省、自悟、自我批判，是人们在社会活动过程中对自我行为的一种自审，它具有理性的辨析、客观的批判、准确的认定，曾子曰“吾日必三省吾身”就有内省、自审之意。
反思是一种习惯和意识！
3．“反思型”教学
以改进教学行为和一定的道德价值观为中心，教师全面考虑教学问题，既关注教学又关注的原理性基础；既思考教学的目，又思考教学的工具；既探讨教学中的个人因素，又探讨教学的社会背景。反思教学。教学之前，有“的反思”，即根据特定的理论假说和教学实践经验为教学作的缜密计划与安排；教学之中，有“的反思”，教师在教学过程中对自己在活动中的思想、行为及依据进行反思；教学之后，有“的反思”这是师在教学行为完成之后对于想法、做法的反思。正因为对于教学活动有如此全面、系统、缜密的思考与计划，从而保证了教学的有效性。第，反思性教学以优化教学过程、提高教学效益为目的。如果说常规性教学的目标主要是“完成”教学任务，那么反思性教学千方百计追求的是“更好地”完成教学任务。反思性教学以教学实践过程为主要对象，对其施行计划、组织、监督、调节、控制、分析、评价，进而改进教学。同时，反思性教学借助对教学问题的探究和创造性的解决，使教学过程更优化，教学实践更具合理性。反思性教学具有强的“行动研究”的色彩，实质上是经验性学习的过程。经验性学习理论主张学习应该从经验、尤其是个体的问题性经验开始，促使学习者更多地参与到学习中，导致行为更有效的变化。建构在经验性学习理论基础上的反思性教学即起于具体经验。中师针对特定的教学问题，借助他人的经验、自己的经验以及各种理论原理进行分析，伴随问题意识和认知失调感的产生，进入反思环节，再通过问题分析、假设建构与验证假设等心理操作与实践操作完成反思活动。由此看来，反思性教学是一个实践的解决问题的过程，它通过实践经验的理性分析与思考探析其规律，使之逐步提升为清晰、明确的具有普遍指导意义的或知识。在此过程中，教师不再被当作课程知识与教育理念的消费者，只按照有效教学的行为标准，根据自己的价值观和假设，自主计划教学、监控教学、评价教学，艺术的、创造性地解决教学问题，发展专业能力。在此过程中，不再被当作课程知识与教育理念的，反思性教学注重开放、合作的环境创设。反思既依赖自我提问与问题单、行为记录反思教案或反思日记等个体性质的策略与技术手段，也依赖详细描述和交流反思等集体性的策略与技术手段，是一种典型的依托群体支持的个体活动。它不仅需要反思者有开放、负责和全心全意投入的心态，也要求有合作、协调和信任的环境创设。它既是一种自我批判的反省性活动，也是一种合作互动性质的交流活动。反思性教学批判性思维促进师重视其社会，使师能够分析、讨论、评估和改变他们自己的实践，对学持分析的态度；帮助他们认识到对环境的分析；鼓励成长承担起更大的责任人发言、与他人交流等活动中，发现自己的问题，及时回应。
在数学学习中，反思的意义就在于：[4]
1．沟通新旧知识的联系，促进知识的同化和迁移
例1如图：已知：AD∥BC∥OF，求证：+=①
分析：将证明的结论变形为：+=1后，我们就能发现相似三角形的基本图形。
思考1：如图：将原图形反折，同样应该与上面类似的结论。
+=②
思考2：如果将两个图形重叠，会有什么样的结论？
将①、②两式均作变形，可得：
+=2③
思考3：这个结论又和前面学过的什么定理有关？
记得梯形中位线定理吗？
EF=(AD+BC)④
将④式变形，得：+=2⑤
在这个过程中，有观察、比较、联想、提问、归纳，通过这样的反思活动，是否对其他知识的学习有所启发？
2．拓宽思路，优化解法，完善思维过程，扩大问题的思维量
解决数学问题一般经过四个步骤：①对问题情景的认识；②思想方法的探求；③解题行动的实施；④解题后的反思。也即波利亚（G.Polya）《怎样解题》表中的四步：①理解题目——②拟定方案——③问题解决——④反思回顾[4]
（1）反思解题方法：一题多解之意不在“多”，而在于对各种解法进行较深刻的分析并加以提炼，从中体会解法的特点及优劣。
例2某地一次花展，将花盆摆成三角形状，若每边有n（n≥3）盆花，设花盆的总数为y，写出y与n的关系式。
解法1：每边有n盆花，3边共有3n盆花，其中重复（在三角形的每个顶点处）了三处，即关系式为：y=3n—3；
解法2：如图：我们将出现重复的去掉（第一层、最后一层），中间的两列分别有n—2盆花，则y=2（n-2）+n+1=3n—3；
解法3：如图：我们从左面将花盆图案分割为三部分，他们的花盆数分别是：n—2，n—1，n。他们的和为y=3n—3。
或按照等差数列求和，得S==3n—3
分析：一个简单的问题，有这么多解法，解法1思维简单，体现集合意识；解法2分类讨论；解法3分割求和，但不太容易想到。
例3如图：已知，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB+DC=BC，E为AD的中点，求证：BE⊥CE。
解法1：构造等腰三角形；
解法2：利用中位线定理；
解法3：三角形中两锐角互余。
此题还有结论：BE、CE分别平分∠ABC、与∠BCD。
问题的拓宽：五个条件（）取两个，可以编十个问题！
在学习圆的知识后，相关的问题如图所示
（2）反思解题过程：解题必须遵循“最简”原则
例2解法3用等差数列求和，就有点“小题大做”了！
波利亚（G.Polya）在《怎样解题》一书中指出：一个教师必须理解这些，并使他的学生深刻地认识到：没有任何一个题目是彻底完成了的，总还有些事情可以做，在经过充分的研究和洞察之后，我们可以将任何解题方法加以改进，而且无论如何，我们总可以深化我们对答案的理解！
（3）反思解题错误：解题出错是难以避免的，关键是如何最小化，如何能够发现错误，这是一种高级思维活动，也是反思要解决的主要问题。出错后，应分析错误原因，产生错误的问题本质，建立个人的“错误档案”，整理、归类，注明错误出在何处？产生的原因是什么？怎样得出正确解法？
例4若实数a、b满足a+3a+1=0，b+3b+1=0，求+的值。
解：由题意可知：a、b是方程x+3x+1=0的两根，
所以，a+b=--3，ab=1，①
原式==—3
检查：所求形式是两个非负数的和，怎么会出现负值？（找出错误）回头看，发现由①式说明，a、b均为负值！出现错误的原因是运算没有考虑a、b的取值。（找出错误原因）
原式=+==—（--3）=3②
再检查：这样做就对了吗？a、b是否可以相等？（提出疑虑，进行质疑）当a=b时，原式=2（进一步发现问题！）
正确的答案：分类讨论：当a=b时，原式=2；当a≠b时，此时a、b是方程x+3x+1=0的两根，原式=3。
3．培养有效的学习方法，建立最佳的纠错手段
参与学习的有效行为和意识的四步曲——渴望、质疑、活动、自控——新渴求，新目标，新一轮的质疑、活动、自控。循环往复。
为什么作题总出错？——数学概念没有搞清楚！——如何进行数学概念的学习？这一点往往是被教师或学生容易忽略的！
低级水平——对概念的理解丢三拉四，记不住结论成立的条件！
一般水平——能够完整的用语言表述概念，并能简单运用；
高级水平——能够完整的用语言表述概念，真正理解概念的内涵和外延，并且能够进行应用。
4．有利于数学思想方法的形成与应用
目的——以优化教学过程、提高教学效益为目的（1）主体的比较：先有主体的独立思考——师生的交流与比较；生生的交流与比较；学生预习中对知识的理解与教师讲解时的差异，自己学会的知识与他人回答问题时对知识理解的差异，他人回答问题时对自己的启发，自己回答问题后别人的反应及老师的点评对自己的启发，自己练习与老师提示或同学板书时的差异。……
例6已知：AB=8，以AB为直径的半圆圆心为O，作OC⊥AB于O，以OC为直径的圆为⊙O，求与⊙O、⊙O及OB都相切的⊙O的半径r的长。
1．解题遇到困难时的反思：
学生甲：如图，在所作辅助线下，由勾股定理可得：OD=8r，PD=，CP=
由射影定理、相似三角形等得到许多的恒等式，r求不出来！（思维受阻）
教师：以上得出的等式都与r有关，说明这些线段与r有依存关系，但不能确定r的大小，在此图中，⊙O的大小实际上控制了⊙O及⊙O的大小！所以解决这个问题，所作辅助线必须与⊙O有关。（启发学生调整原来的思路）考虑作辅助线OO，在Rt△OOD中，运用勾股定理求出r=1
2．解题后关于基本图形的反思：
此题适当作出辅助线后，可以得到许多基本图形！解题后要进行反思联想，找出本题与其他问题的关系，实际上，就是发现了这个图形的本质属性。
3．关于问题一般化的反思：
（2）主体与客体的比较：主体自身已有知识与课堂学习中所呈现的知识比较。如个人生活中的经验与课堂学习知识的冲突，自己的知识与课本知识的差异。
（3）客体与客体的比较：知识与知识的比较
3．回应
（1）回应与应答：应答是最低层次的回应，基本没有主体的主动思维，带有较大的被动性：回应应该是一种积极的思考，它将别人的信息与自己所掌握的（已建构的）知识经过对比、整理后所作出的一种回答。
（2）一般的回应：在老师的启发或他人的帮助下，自己所获得的行为表现，带有自己的意识，但发表的见解多半带有与别人雷同的内容，缺乏独到的创意。
（3）高级的回应：对于所接触的信息，以一种批判的思维进行善意的审视，不轻易的附和别人的意见，但所发表的意见均为带有明显的个性特色，往往是具有创造性的见地，给人以新的感觉！（如：课堂上出现的主动提问、解题过程中的另辟蹊径、对老师的讲授提出的不同看法）
三者的关系：一个人在学习中，首先认真应答，不断的进行反思——质疑——调控——更新，逐步建立一般回应，当知识积累到一定的程度，个体经历了较多的质疑、纠错、新认识并已获得大量的实践经验后，可能就会具有高级回应能力！这是一个渐进的过程，所谓专家型教师与一般型教师的区别也就是这种回应的水平不同。
4．概括
（1）总结：同化、顺应
（2）发现自己的不足：
（3）评价：
（4）提出新的目标：
总之，反思性课堂教学包括两个方面，一是反思“教”的过程，二是反思“学”的过程。反思性教学要求教师在“改善教”的同时，着力于学生“学会学”，并把两者统一起来。
教师反思教：全面提高学生的素质，优化发展学生的个性。教师首先能够并敢于进行反思教学，才能促使学生学会学习，学会进行反思性学习。
学生反思学：反思性学习不仅是对学习过程的一般性回顾（学了哪些东西），更是涉及到知识、策略、情感、过程等学习过程的方方面面的因素。例如，平均数的学习，就不仅是平均数的计算公式和一般方法，关于平均数的使用意义的体验，解决实际问题中的广泛使用价值，以及老师教的过程中的举例、解释等等。
（二）“反思型”课堂教学的结构：
1．在课堂教学所采取的措施：
目标（明确）——交流（经验）——比较（分析）——冲突（内省）——概括（重新认识、同化、顺应）——顿悟（验证）
（反映一定的个性化教与学）
2．整个教学过程是一个不断反思、改进的循环往复的过程，是一个创新的过程：从思维的意义上看，“反思型”课堂教学使得“问题——尝试——反思——新问题——调整——再反思”得以展开和实现，其中贯穿始终的是师生的积极“反思”。
3．“反思型”课堂教学的表现形式：
方式一：课前预习，师生共同讨论，自主学习，自主评价；
方式二：出示目标，师生互动，自主讲评，自评小结，互评目标达成；
方式三：工作单教学，问题驱动，师生交流，合作学习；
例7一次函数教学案例
研究课题23．1一次函数（1）
一、学习目标
1、理解一次函数的概念，理解一次函数和正比例函数之间的联系和区别．
2、会根据问题情景求解一次函数的解析式以及定义域；能初步利用一次函数解析式解决一些实际问题．
3、经历设定目标（提出问题）、比较、回应、产生新目标（提出新问题）的反思性“教”与“学”的过程，增强反思意识，提高反思思维能力．
4、在动手尝试、合作交流中获得成功的快乐，增强学习数学的兴趣和信心．
二、教学重点、难点
重点：根据问题情景求解一次函数的解析式以及定义域．
难点：利用一次函数解析式解决实际问题．
三、教学过程
（一）课前预习，尝试探究
★自主尝试
预习工作单
生活中充满着许许多多变化的量，函数是刻画变量之间关系的常用模型．什么叫做函数呢？八年级第一学期数学课本中这样描述：“一般地，设在某个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x在某个允许取值范围内的每一个确定值，按照某一个对应法则，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．”
我们已经学习了正比例函数和反比例函数，并且能够用解析法、列表法和图象法表示一些简单函数关系．
问题1某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米时，价格为y元．问y与x是否存在函数关系？如果存在是，指出它们是一个什么函数；如果不存在，说明理由．
问题2某种弹簧的自然长度为3厘米。在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5厘米．
（1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表：
x（千克） 0 1 2 3 4 5
y（厘米）
（2）你能写出y关于x的函数关系式吗？它们是一个正比例函数吗？
问题3用60米长的铁丝网围成一个长方形的小花园（如图），问：这个长方形花园的长与宽之间能构成一个函数关系吗？怎样写出它们的函数解析式？
★合作交流（展示台）
1、师生在课堂上交流三个问题的解答情况（教师适时组织学生纠正中交流中出现的问题）。
2、教师进一步提出如下的问题（师生对话）．
（1）比较问题1，问题2和问题3中所得的函数解析式，它们有何相同点？
☆函数y是用自变量x的一次整式表示的；具有以上特征的函数，函数的解析式都可以表示为y＝kx＋b（k、,b是常数，k≠0）的形式．
（2）问题1中所得函数的解析式与形式y＝kx＋b（k≠0）进行比较，有何联系？
☆当b＝0时，形式y＝kx＋b（k≠0）简化为形式y＝kx（k≠0），我们可以把正比例函数看作形式y＝kx＋b（k≠0）的特殊情况．
3、教师归纳
☆从以上的探究中我们发现，正比例函数是形如y＝kx＋b（k≠0）的函数的特殊情况，形如y＝kx＋b（k≠0）的函数在实际生活中有着广泛的应用，我们把形如y＝kx＋b（k、,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数．
板书一次函数：y＝kx＋b（k、,b是常数，k≠0）．
今天这节课，我们的任务就是初步认识一次函数．
（二）出示目标，反思归纳（投影）
1、一次函数举例
☆一次函数的例子有很多，比如y=2x+3，y＝150－5x，y=－0.5x+2，等，请学生任意写出几个一次函数．
2、一次函数的定义域
☆一次函数y＝kx＋b（k≠0）的定义域：一切实数．
☆问题3中，函数y＝－x＋30的定义域是一切实数吗？
在实际问题中，函数的定义域要考虑到让实际问题有意义．
3、一次函数与正比例函数的关系
☆问题1中，正比例函数y＝2.2x是不是一次函数；问题2中，一次函数y＝0.5x+3是不是正比例函数？
（三）问题驱动，实践回应（投影）
1、写出下列各题中y与x的函数关系式，并判断：y与x是否为的一次函数？是否为正比例函数？（口答）
（1）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；
（2）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）；
（3）汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的关系．
2、已知A、B两地相距30千米，B、C两地相距48千米．某人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发，经过B地到达C地．设此人骑行时间为x（时），离B地距离为y（千米）．（口答）
（1）当此人在A、B两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x取值范围；
（2）当此人在B、C两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x的取值范围．
学生提问：
3、我国去年个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于800元（包括800元）的部分不收税；月收入超过800元但低于1300元（包括1300元）的部分征收5%的所得税……如某人月收入1160元，他应缴个人工资、薪金所得税为（1160－800）?5%=18元．（展示）
（1）当月收入大于800元而又小于1300元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）某人月收入为960元，他应缴所得税多少元？
（3）如果某人本月缴纳所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金是多少元？
（四）师生互动，评价小结（投影）
小结提纲：
1、什么叫做一次函数？一次函数的定义域应如何确定？
2、一次函数和正比例函数之间有何关系？
3、对于这节课的学习，你有什么疑问，或着有什么新的收获？
4、今天这节课，你学习的心情怎样？对老师或者同学的学习表现，你有什么好的建议？
（五）课后复习，拓展改进（投影）
1、等腰三角形的周长是16，求：
（1）腰长y与底边x的函数关系式，并求定义域；
（2）底边y与腰长x的函数关系式，并求定义域．
2、已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）y与x之间是什么函数关系；
（3）求x＝2.5时，y的值．
（完）
反思性教学以完美、愉悦的解决教学问题为基本点，努力使学生在学习活动中获得个人的体验，提高个人的创造力。
教学目标：重视反思批判能力的培养；
教学内容：重视实践知识的获得与积累；
教学形式：重视师范及学生的亲身体验与活动；
教学环境：注重协调、合作的氛围。
4．反思意识和反思能力。
反思是学习和思维的一个重要的环节和方面，反思能力是分析能力的核心之一，是综合、概括、判断能力的基础。使自己不再停留在简单地解释教育现象上，而是更关注知识发生、发展的更深层原因以及交往当中的各种心理感受。比如，或是改变学习过程中的价值判断，或是改善自身的情绪。
分类 时间 内容 性质 反思类型
课前反思 教育情景反思 判断性反思 即时反思 课堂教学反思 分析性反思 课后反思 理论反思 合作性反思 阶段性反思 综合反思 对比性反思
（三）关于“反思型”课堂教学的评价：
（立足学生的学，师生共同关注）
①目的是否达到？（问题是否解决）
②内容是否理解？
③方法是否合理？
④过程是否流畅？
⑤情绪是否饱满？
⑥合作是否快乐？学习是否有意义？等等。
（四）“反思型”课堂教学的常用语言：
你是怎样想的？老师（或他的）想法与你的想法有什么不同？你的想法与他人的想法有什么不同？刚才你是怎么做的？如果……那么会怎么样？你认为出现什么错误了？你认为哪个答案更好？[5]
（五）学生“反思型”学习的建议：
建立学习档案；——自己设定的学习目标，好的习题解法或学习方法，出错解题等。
听课反思；——从老师讲解或同学回答中反思思考问题的方法，学会捕捉引起反思的问题或提出具有反思性的见解。
3．解题反思；——结论的正确性的检验或提出质疑；是否还有其他解法或更佳解法；能否对问题的题设或结论进行变式；能否将当前的命题推广到一般情形；进一步考虑问题题设的完备性及结论的精确性。[6]
4．写数学学习日记；——课堂上教师师范解题过程中自己想到的，但未与教师交流的问题；作业中对某些习题不同解法的探讨；学习情感、体验的感受
[举例]
综上所述，反思性教学作为发展中的一种理论，尽管其思想体系还不成熟，但是它的价值却不容质疑。反思不仅是沟通教育理论与实践行为的桥梁，把我们从长期理论与实践背反的困扰中解救出来，更为重要的是它使一个教师从技术的奴役者演进成教育“思想者”，引导教师走向解放与专业自主的大道。[1]罗伯特·哈钦斯.西方名著入门（哲学）[M].北京：商务印书馆，1995.郭英/谢名春反思性教学与高等师范教育的改革[3]肖川主编《教师与新课程共成长》上海教育出版社2004.8[4]黄尉“培养学生反思能力的实践与认识”《数学通报》2005。11
[5]《《全日制义务教育数学课程标准》（初中阶段）的理解与实践》青岛出版社
[6]曹勇兵“转变学生学习方式的途径”《数学通报》2005年12期，
[7]章建跃《中学生数学学科自我监控能力》华东示范大学出版社。
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