数列、极限和数学归纳法
安徽理（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是____________
(11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n项和.
【解析】由算法框图可知，若T＝105，则K＝14，继续执行循环体，这时k＝15，T>105，所以输出的k值为15.
（18）（本小题满分12分）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设求数列的前项和.
（本小题满分13分）本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.
解：（I）设构成等比数列，其中则
①，②
①×②并利用
（II）由题意和（I）中计算结果，知
另一方面，利用
得所以
安徽文（7）若数列的通项公式是,则
（A）15(B)12(C)(D)
（7）A【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题.
【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；
法二：，故.故选A.11.在等比数列中，若，，则公比________.
【解析】，，为首项，以2为公比的等比数列，。
20.若数列，，满足，），则称为E数列。记
（1）写出一个满足，且的E数列；
（2）若，，证明E数列是递增数列的充要条件是；
（3）对任意给定的整数，是否存在首项为的E数列？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。
解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）
（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以.
所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.
充分性，由于a2000—a1000≤1，
a2000—a1000≤1
……
a2—a1≤1
所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.
是递增数列.综上，结论得证。
（Ⅲ）令
因为
……
所以
因为
所以为偶数,
所以要使为偶数,
即4整除.
当
时，有
当的项满足，
当不能被4整除，此时不存在E数列An，
使得
北京文
（14）设,,，。记为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则；的所有可能取值为。6；6，7，8
（20）（本小题共13分）
若数列满足，则称为数列，记。
（I）写出一个数列满足；
（II）若，证明：数列是递增数列的充要条件是
（III）在的数列中，求使得=0成立的的最小值
解：（Ⅰ）0，1，，1，0是一具满足条件的E数列A5。
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）
（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以.
所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.
充分性，由于a2000—a1000≤1，
a2000—a1000≤1
……
a2—a1≤1
所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.
是递增数列.综上，结论得证。
（Ⅲ）
所以有：，，，…，；
相加得：，所以在的数列中，使得=0成立的的最小值为9。
福建理
16．(本小题满分13分)已知等比数列的公比，前3项和．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)若函数在处取得最大值，且最大值为，求函数的解析式．
解：(Ⅰ)由得，所以；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，因为函数最大值为3，所以，
又当时函数取得最大值，所以，因为，故，
所以函数的解析式为。
福建文17．（本小题满分12分）
数列{an}中，a1＝，a＝数列{an}；
数列{an}的前项和求的值。a1＝，a＝，所以an＝3－2n，解得k＝前9项的和等于前4项的和.若，则.
20.（本小题满分12分）
设数列满足,
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：对于一切正整数n,
广东文11．已知是递增等比数列，，则此数列的公比．2
20．（本小题满分14分）
设b>0,数列满足,．
求数列的通项公式；
证明：对于一切正整数,．
解：（1）
；；
（2）
，
，；
，。
湖北理12.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升.
【答案】
解析：设该数列的首项为，公差为，依题意
，即，解得，
则，所以应该填.
19.（本小题满分13分）
已知数列的前项和为，且满足：，N，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若存在N，使得，，成等差数列，试判断：对于任意的N，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论.
解：（Ⅰ）由已知：得，两式相减得，又
所以当时数列为：，0，0，0，…，
当时，由已知，所以，，于是
所以数列成等比数列，即当时
综上数列的通项公式为
（Ⅱ）对于任意的，且，，，成等差数列，证明如下：
当时由（Ⅰ）知，此时，，成等差数列；
当时，若存在N，使得，，成等差数列，则2=+
∴，由（Ⅰ）知数列的公比，于是对于任意的N，且，
；所以2=+即，，成等差数列；
综上：对于任意的，且，，，成等差数列。
湖北文17.（本小题满分12分）
成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、、。
(I)求数列的通项公式；
(II)数列的前n项和为，求证：数列是等比数列。
解：(I)设成等差数列的三个正数分别为；则；
数列中的、、依次为，则；
得或（舍），于是
(II)数列的前n项和，即
因此数列是公比为2的等比数列。
湖南文20．（本题满分13分）
某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．
（I）求第n年初M的价值的表达式；
（II）设若大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．
解析：（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列．
当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以
因此，第年初，M的价值的表达式为
(II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得
当时，
当时，
因为是递减数列，所以是递减数列，又
所以须在第9年初对M更新．
湖南理12、设是等差数列的前项和，且，则
答案：25
解析：由可得，所以。
江苏13.设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________.
答案：.
解析：由题意：，
，而的最小值分别为1，2，3；.
本题主要考查综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力,考查抽象概括能力和推理能力，本题属难题.
20.（本小题满分16分）设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当n>k时，都成立.
（1）设M=｛1｝，，求的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列的通项公式.
答案:（1）即：
所以，n>1时，成等差，而，
（2）由题意：，
当时，由（1）（2）得：
由（3）（4）得：
由（1）（3）得：
由（2）（4）得：
由（7）（8）知：成等差，成等差；设公差分别为：
由（5）（6）得：
由（9）（10）得：成等差，设公差为d,
在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：
解析：本题主要考查数列的概念,通项与前n项和的关系,等差数列概念及基本性质、和与通项关系、集合概念、全称量词,转化与化归、考查分析探究及逻辑推理解决问题的能力，其中（1）是中等题，（2）是难题.
江西理5.已知数列的前项和满足：，且，那么
A.1B.9C.10D.55
【答案】A
【解析】，可得，，可得，同理可得，故选A
18.（本小题满分12分）
已知两个等比数列，，满足，，，.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若数列唯一，求的值.
【解析】（1）设的公比为，则，，
，由，，成等比数列得，
即，解得，
所以的通项公式或.
（2）设的公比为，则由，得
由得，故方程（）有两个不同的实根.
由唯一，知方程（）必有一根为0，代入（）得.
江西文5.设{}为等差数列，公差d=-2，为其前n项和.若，则=（）
A.18B.20C.22D.24
答案：B解析：
21.(本小题满分14分）
（1）已知两个等比数列，满足，
若数列唯一，求的值；
（2）是否存在两个等比数列，使得成公差为
的等差数列？若存在，求的通项公式；若存在，说明理由．
解：（1）要唯一，当公比时，由且，
，最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根）
，此时满足条件的a有无数多个，不符合。
当公比时，等比数列首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由，可推得符合
综上：。
（2）假设存在这样的等比数列，则由等差数列的性质可得：，整理得：
要使该式成立，则=或此时数列，公差为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列。
辽宁理17．（本小题满分12分）
已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）求数列的前n项和．的公差为d，由已知条件可得
解得故数列的通项公式为………………5分
（II）设数列，即，
所以，当时，
所以综上，数列………………12分
辽宁文5．若等比数列{an}满足anan+1=16n，则公比为A．2B．4C．8D．16
15Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，则a5=____________．
全国Ⅰ理
（17）（本小题满分12分）
等比数列的各项均为正数，且
（Ⅰ)求数列的通项公式；
（Ⅱ）设求数列的前n项和.
（17）解：（Ⅰ）得所以。
由条件可知a>0,故。
由得，所以。
故数列{an}的通项式为an=。
（Ⅱ?）=
故
所以数列的前n项和为
全国Ⅰ文（17）（本小题满分12分）
设等差数列满足，。
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求的前项和及使得最大的序号的值。
解：（Ⅰ）由及，得；
所以数列的通项公式为
（Ⅱ），所以时取得最大值。
全国Ⅱ理（4）设为等差数列的前项和，若，公差，，则
(A)8(B)7(C)6(D)5
【答案】：D
【命题意图】：本小题主要考查等差数列的通项公式及前项和公式等有关知识。
【解析】：，解得。
另外：本题也可用等差数列的前项和公式进行计算。
（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
设数列满足且.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，记，证明：.
【命题立意】：本小题主要考查数列的通项公式、等差数列的概念、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，
同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力。在解题过程中也渗透了化归与转化思想方法.难度较小，
学生易得分。
【解析】：（Ⅰ）由知数列是首项为，公差为1的等差数列。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
全国Ⅱ文(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)项和为,已知求和
【解析】设等比数列的公比为，由题
解得
所以
如果则
如果则
山东理
15.设函数,观察:
根据以上事实，由归纳推理可得：
当且时，.
【答案】
【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为,即,所以归纳出分母为的分母为,故当且时，.
20.（本小题满分12分）
等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.
【解析】（Ⅰ）由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.
（Ⅱ）因为=,所以
=-=-=
-,所以=-=-.
等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.
山东文没有新题
陕西理13．观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第个等式为.
【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论．行数、项数及其变化规律是解答本题的关键．
【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数，加数的个数是；等式右边都是完全平方数，
行数等号左边的项数
1=111
2+3+4=923
3+4+5+6+7=2535
4+5+6+7+8+9+10=4947
………………
所以，
即
【答案】
14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为（米）．
【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题．
【解】（方法一）设树苗放在第个树坑旁边（如图），
12……1920
那么各个树坑到第i个树坑距离的和是
，所以当或时，的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米.
（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是
，所以路程总和最小为2000米.
【答案】2000
19．（本小题满分12分）
如图，从点P1（0，0）作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点．再从做轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：；；…；，记点的坐标为（）．
（1）试求与的关系（）；
（2）求．
【分析】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与轴的交点坐标；（2）尝试求出通项的表达式，然后再求和．
【解】（1）设点的坐标是，∵，∴，
∴，在点处的切线方程是，
令，则（）．
（2）∵，，∴，
∴，于是有
，
即．
陕西文10．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（）
（A）①和（B）⑨和⑩(C)⑨和(D)⑩和
【分析】根据选项分别计算四种情形的路程和；或根据路程和的变化规律直接得出结论．
【解】选D（方法一）
选项 具体分析 结论 A ①和： 比较各个路程和可知D符合题意 B ⑨：
⑩：=2000 C ：=2000 D ⑩和：路程和都是2000
（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和进行比较即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是
，所以路程总和最小为2000米.
上海理
14.已知点O(0,0)、Q0(0,1)和点R0(3，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足.依次下去，得到，则.
18.设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形的面积（），则为等比数列的充要条件是（）
（A）是等比数列.
（B）或是等比数列.
（C）和均是等比数列.
（D）和均是等比数列，且公比相同.
22.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分）
已知数列和的通项公式分别为，（.将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列
（1）写出；
（2）求证：在数列中，但不在数列中的项恰为；
（3）求数列的通项公式.
22、⑴；
⑵①任意，设，则，即
②假设（矛盾），∴
∴在数列中、但不在数列中的项恰为。
⑶，
，，
∵
∴当时，依次有，……
∴
上海文
计算=
23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知数列和的通项公式分别为，（.将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列
（1）求三个最小的数，使它们既是数列中的项，又是数列中的项；
（2）数列中有多少项不是数列中的项？请说明理由；
（3）求数列的前项和.
23、解：⑴三项分别为。
⑵分别为
⑶，，，
∵
∴。
。
四川理
8．数列的首项为，为等差数列且若则，，则（A）0（B）3（C）8（D）11为等差数列，解得，，即，故，，，…，，相加得，故，选B．
11．定义在上的函数满足，当时，设在上的最大值为，且的前项和为，则（A）3（B）（C）2（D）
，∴当时，，当时，；当时，，；当时，，则，，选D．
20．（本小题共12分）
设d为非零实数，（）．
（Ⅰ）写出a1，a2,，a3并判断{an}是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；
（Ⅱ）设bn=ndan（），求数列{bn}的前n项和Sn．（Ⅰ），，．
当，时，∵，因此
∴
．
由此可见，当时，∵，故{an}是以为首项，为公比的等比数列；
当时，，（），{an}不是等比数列（Ⅱ）（Ⅰ），从而，
①
当时，．
当时，①两边同乘以得
②
①，②式相减可得：
．
化简即得．综上，．
数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1an+1=3Sn（n?≥1），则a=
（A）3×??44（B）3×??44+1C）44 （D）44+1
an+1=3Sn，得an=3Sn－1（n?≥?2），相减得an+1－an=3(Sn－Sn－1)=3an，则an+1=4an（n?≥?2），a1=1，a2=3，则a6=a2·44=3×44，选A．
20．（本小题共12分）
已知是以为首项，q为公比的等比数列，为它的前n项和．
（Ⅰ）当、、成等差数列时，求q的值；
（Ⅱ）当、、成等差数列时，求证：对任意自然数，、、也成等差数列．（Ⅰ），因此，，．
当、、成等差数列时，．
化简得．解得．
（Ⅱ），则的每项，此时、、成等差数列．，由、、成等差数列，即．
整理得．因此，．
所以，、、也成等差数列．是首项为的等比数列，是的前项和，且．则的前项和为（）．
Ａ．或Ｂ．或
Ｃ．Ｄ．
【解】设数列的公比为，由可知．于是又，
于是，即，因为，则．
数列的首项为，公比为，则前项和．故选Ｃ．
22．（本小题满分分）在数列中，，且对任意，成等差数列，其公差为．
（Ⅰ）若，证明成等比数列；
（Ⅱ）若对任意，成等比数列，其公比为．
(ⅰ)设,证明是等差数列;
(ⅱ)若,证明.
【解】（Ⅰ）解法1．由题设可得，．
所以
．
因为，所以．
从而由成等差数列，其公差为得．
于是．
因此，，所以，
于是当时，对任意，成等比数列．
解法2．用数学归纳法．
(1)当时，因为成公差为的等差数列，及，则．
当时，因为成公差为的等差数列，及，则．
由，，所以成等比数列．
所以当时，结论成立；
(2)假设对于结论成立，即
成公差为等差数列，成等比数列，
设，则，，
又由题设成公差为等差数列，
则，
因此，解得．
于是，．
．
再由题设成公差为等差数列，
及，
则．
因为，，，
所以，，
于是成等比数列．于是对结论成立，
由(1)，(2)，对对任意,结论成立．
（Ⅱ）(ⅰ)证法1．成等差数列，成等比数列,
则,即．因为,可知,
从而，即，
所以是等差数列，且公差为．
证法2．,
,所以.
．
因为,可知,于是．
所以是等差数列，且公差为．
(ⅱ)证法1．．
从而，，
因此，，
，．
(1)当为偶数时，设．
若，则，满足；
若，则
．
所以，所以，．
(2)当为奇数时，设．
．
所以，所以，．
由(1)，(2)可知，对任意，．
证法2．．从而．
所以，由，可得．
于是由（Ⅰ）知，．以下同证法１．
天津文
15．设是等比数列，公比，为的前项和．记，，设为数列的最大项，则．
【解】．
设，则，，，
．
，
因为函数在时，取得最小值，
所以在时取得最大值．
此时，解得．即为数列的最大项，则．
22．（本小题满分分）在数列中，，且对任意，成等差数列，其公差为．
（Ⅰ）证明成等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）记．证明．
【解】（Ⅰ）由题设可知，，，，，，所以．因此成等比数列．
（Ⅱ）由题设可得，．
所以
=．因为，所以．
从而由成等差数列，其公差为得．
所以，数列的通项公式为
（或．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，．
下面对分为奇数和偶数讨论．
(1)当为偶数时，设．
若，则，满足；
若，则
．
所以，所以，．
(2)当为奇数时，设．
．
所以，所以，．
由(1)，(2)可知，对任意，．
浙江理19．（本题满分14分）满足：且（）
（）为等比数列，并求数列的通项公式；
（）（）。
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）
故即数列为等比数列，……3分
，……7分
（Ⅱ）……………………………………8分
。
浙江文（17）若数列中的最大项是第项，则=_______________。（19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列，且，，成等比数列．
（Ⅰ）的通项公式；
（Ⅱ），试比较与的大小．
（19）本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式，等比数列的求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力。满分14分。
（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，由题意可知
即，从而
因为故通项公式
（Ⅱ）解：记
所以
从而，当时，；当
重庆理（3）已知，则D
（A）(B)2(C)3(D)6
（11）在等差数列中，，则__________74
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
设实数数列的前项和，满足
（Ⅰ）若成等比数列，求和；
（Ⅱ）求证：对有
解：（Ⅰ）由题意，因为所以；
由；
（Ⅱ）易见，所以；
从而时有：
因为，且，所以；
要证，只要证，
即证此式显然成立，
所以时有。
最后证，若不然，，又，故
即，矛盾，所以（）。
重庆文(16)(本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分.)
设是公比为正数的等比数列，,.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和.
解：(Ⅰ)设等比数列的公比为，由,得，即
或（舍去），所以数列的通项公式为；
(Ⅱ)。
2011高考数学分类汇编
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江苏常州郑邦锁整理
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