难点9指数函数、对数函数问题
指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.
●难点磁场
(★★★★★)设f(x)=log2,F(x)=+f(x).
(1)试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；
(2)若f(x)的反函数为f－1(x),证明：对任意的自然数n(n≥3),都有f－1(n)>;
(3)若F(x)的反函数F－1(x),证明：方程F－1(x)=0有惟一解.
●案例探究
［例1］已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.
(1)证明：点C、D和原点O在同一条直线上；
(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.
命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.
知识依托：(1)证明三点共线的方法：kOC=kOD.
(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A点坐标.
错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.
技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A的坐标.
(1)证明：设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知：x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1==3log8x2,所以OC的斜率：k1=,
OD的斜率：k2=，由此可知：k1=k2,即O、C、D在同一条直线上.
(2)解：由BC平行于x轴知：log2x1=log8x2即：log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.又x1>1,∴x1=,则点A的坐标为(，log8).
［例2］在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数n点Pn位于函数y=2000()x(0
(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；
(2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；
(3)设Cn=lg(bn)(n∈N),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由.
命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级
题目.
知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识.
错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口.
技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题.
解：(1)由题意知：an=n+,∴bn=2000().
(2)∵函数y=2000()x(0bn+1>bn+2.则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn,即()2+()－1>0,解得a<－5(1+)或a>5(－1).∴5(－1)
(3)∵5(－1)
∴bn=2000().数列{bn}是一个递减的正数数列，对每个自然数n≥2,Bn=bnBn－1.于是当bn≥1时，Bn
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题以及解决的方法有：
(1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用.
(2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.
(3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)定义在(－∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1),其中x∈(－∞,+∞),那么()
A.g(x)=x,h(x)=lg(10x+10－x+2)
B.g(x)=［lg(10x+1)+x］,h(x)=［lg(10x+1)－x］
C.g(x)=,h(x)=lg(10x+1)－
D.g(x)=－,h(x)=lg(10x+1)+
2.(★★★★)当a>1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图象只可能是()
二、填空题
3.(★★★★★)已知函数f(x)=.则f-－1(x－1)=_________.
4.(★★★★★)如图，开始时，桶1中有aL水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y=
ae－nt,那么桶2中水就是y2=a－ae－nt,假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，则再过_________分钟桶1中的水只有.
三、解答题
5.(★★★★)设函数f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x－2a,－y)是函数y=g(x)图象上的点.
(1)写出函数y=g(x)的解析式；
(2)若当x∈［a+2,a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1,试确定a的取值范围.
6.(★★★★)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x1,x2∈(0,+∞),判断［f(x1)+f(x2)］与f()的大小，并加以证明.
7.(★★★★★)已知函数x,y满足x≥1,y≥1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0且a≠1),求loga(xy)的取值范围.
8.(★★★★)设不等式2(logx)2+9(logx)+9≤0的解集为M，求当x∈M时函数f(x)=(log2)(log2)的最大、最小值.
参考答案
难点磁场
解：(1)由>0,且2－x≠0得F(x)的定义域为(－1，1)，设－1＜x1＜x2＜1,则
F(x2)－F(x1)=()+()
,
∵x2－x1>0,2－x1>0,2－x2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1.
因此F(x2)－F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(－1，1）上是增函数.
(2)证明：由y=f(x)=得：2y=,
∴f－1(x)=,∵f(x)的值域为R，∴f-－1(x)的定义域为R.
当n≥3时，f-1(n)>.
用数学归纳法易证2n>2n+1(n≥3),证略.
(3)证明：∵F(0)=,∴F－1()=0,∴x=是F－1(x)=0的一个根.假设F－1(x)=0还有一个解x0(x0≠),则F-1(x0)=0,于是F(0)=x0(x0≠).这是不可能的，故F-1(x)=0有惟一解.
歼灭难点训练
一、1.解析：由题意：g(x)+h(x)=lg(10x+1) ①
又g(－x)+h(－x)=lg(10－x+1).即－g(x)+h(x)=lg(10－x+1) ②
由①②得：g(x)=,h(x)=lg(10x+1)－.
答案：C
2.解析：当a>1时，函数y=logax的图象只能在A和C中选，又a>1时，y=(1－a)x为减函数.
答案：B
二、3.解析：容易求得f-－1(x)=,从而：
f－1(x－1)=
答案：
4.解析：由题意，5分钟后，y1=ae－nt,y2=a－ae－nt,y1=y2.∴n=ln2.设再过t分钟桶1中的水只有,则y1=ae－n(5+t)=,解得t=10.
答案：10
三、5.解：(1)设点Q的坐标为(x′,y′),则x′=x－2a,y′=－y.即x=x′+2a,y=－y′.
∵点P(x,y)在函数y=loga(x－3a)的图象上，∴－y′=loga(x′+2a－3a),即y′=loga,∴g(x)=loga.
(2)由题意得x－3a=(a+2)－3a=－2a+2>0;=>0,又a>0且a≠1,∴0＜a＜1,∵|f(x)－g(x)|=|loga(x－3a)－loga|=|loga(x2－4ax+3a2)|·|f(x)－g(x)|≤1,∴－1≤loga(x2－4ax+3a2)≤1,∵0＜a＜1,∴a+2>2a.f(x)=x2－4ax+3a2在［a+2,a+3］上为减函数，∴μ(x)=loga(x2－4ax+3a2)在［a+2,a+3］上为减函数，从而［μ(x)］max=μ(a+2)=loga(4－4a),［μ(x)］min=μ(a+3)=loga(9－6a),于是所求问题转化为求不等式组的解.
由loga(9－6a)≥－1解得0＜a≤,由loga(4－4a)≤1解得0＜a≤,
∴所求a的取值范围是0＜a≤.
6.解：f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,
∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤()2(当且仅当x1=x2时取“=”号)，
当a>1时，有logax1x2≤loga()2,
∴logax1x2≤loga()，(logax1+logax2)≤loga,
即f(x1)+f(x2)］≤f()(当且仅当x1=x2时取“=”号)
当0＜a＜1时，有logax1x2≥loga()2,
∴(logax1+logax2)≥loga,即［f(x1)+f(x2)］≥f()(当且仅当x1=x2时取“=”号）.
7.解：由已知等式得：loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax－1)2+(logay－1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐标系uOv内，圆弧(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0)与平行直线系v=－u+k有公共点，分两类讨论.
(1)当u≥0,v≥0时，即a>1时，结合判别式法与代点法得1+≤k≤2(1+);
(2)当u≤0,v≤0,即0＜a＜1时，同理得到2(1－)≤k≤1－.x综上，当a>1时，logaxy的最大值为2+2，最小值为1+；当0＜a＜1时，logaxy的最大值为1－，最小值为2－2.
8.解：∵2(x)2+9(x)+9≤0
∴(2x+3)(x+3)≤0.
∴－3≤x≤－.
即()－3≤x≤()
∴()≤x≤()－3,∴2≤x≤8
即M={x|x∈［2,8］}
又f(x)=(log2x－1)(log2x－3)=log22x－4log2x+3=(log2x－2)2－1.
∵2≤x≤8,∴≤log2x≤3
∴当log2x=2,即x=4时ymin=－1;当log2x=3,即x=8时，ymax=0.
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