难点14数列综合应用问题
纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.
●难点磁场
(★★★★★)已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值－(t＞0),f(1)=0.
(1)求y=f(x)的表达式；
(2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］为多项式，n∈N),试用t表示an和bn；
(3)设圆Cn的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn、Sn.
●案例探究
［例1］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属★★★★★级题目.
知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.
错解分析：(1)问an、bn实际上是两个数列的前n项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.
技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.
解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－)万元，…第n年投入为800×(1－)n－1万元，所以，n年内的总投入为
an=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1=800×(1－)k－1
=4000×［1－()n］
第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+)，…，第n年旅游业收入400×(1+)n－1万元.所以，n年内的旅游业总收入为
bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)k－1=400×()k－1.
=1600×［()n－1］
(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0，即：
1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.
∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.
［例2］已知Sn=1++…+,(n∈N)设f(n)=S2n+1－Sn+1,试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式：f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立.
命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.
知识依托：本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙.
错解分析：本题学生很容易求f(n)的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理.
技巧与方法：解决本题的关键是把f(n)(n∈N)看作是n的函数，此时不等式的恒成立就转化为：函数f(n)的最小值大于［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2.
解：∵Sn=1++…+.(n∈N)
∴f(n+1)＞f(n)
∴f(n)是关于n的增函数
∴f(n)min=f(2)=
∴要使一切大于1的自然数n，不等式
f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立
只要＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2成立即可
由得m＞1且m≠2
此时设［logm(m－1)］2=t则t＞0
于是解得0＜t＜1
由此得0＜［logm(m－1)］2＜1
解得m＞且m≠2.
●锦囊妙计
1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.
2.纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关：
(1)事理关：需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力.
(2)文理关：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.
(3)事理关：在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★★)已知二次函数y=a(a+1)x2－(2a+1)x+1，当a=1，2，…，n，…时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2，…,dn,…,则(d1+d2+…+dn)的值是()
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
2.(★★★★★)在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是_________.
3.(★★★★)从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精_________升.
4.(★★★★★)据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十·五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元.
三、解答题
5.(★★★★★)已知数列{an}满足条件：a1=1,a2=r(r＞0),且{anan+1}是公比为q(q＞0)的等比数列，设bn=a2n－1+a2n(n=1,2,…).
(1)求出使不等式anan+1+an+1an+2＞an+2an+3(n∈N)成立的q的取值范围；
(2)求bn和，其中Sn=b1+b2+…+bn；
(3)设r=219.2－1，q=，求数列{}的最大项和最小项的值.
6.(★★★★★)某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.
(1)设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金金额，试求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必证明)；
(2)证明ak＞ak+1(k=1,2,…,n－1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
(3)发展基金与n和b有关，记为Pn(b),对常数b，当n变化时，求Pn(b).
7.(★★★★)据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：
(1)2001年回收废旧物资多少吨？
(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？
(3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地？
8.(★★★★★)已知点的序列An(xn，0),n∈N,其中x1=0,x2=a(a＞0),A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，….
(1)写出xn与xn－1、xn－2之间关系式(n≥3);
(2)设an=xn+1－xn，计算a1,a2,a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明；
(3)求xn.
参考答案
难点磁场
解：(1)设f(x)=a(x－)2－，由f(1)=0得a=1.
∴f(x)=x2－(t+2)x+t+1.
(2)将f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得：
(x－1)［x－(t+1)］g(x)+anx+bn=xn+1，上式对任意的x∈R都成立，取x=1和x=t+1分别代入上式得：
且t≠0，解得an=［(t+1)n+1－1］，bn=［1－(t+1n)
(3)由于圆的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，又由(2)知an+bn=1，故圆Cn的圆心On在直线x+y=1上，又圆Cn与圆Cn+1相切，故有rn+rn+1=｜an+1－an｜=(t+1)n+1
设{rn}的公比为q，则
②÷①得q==t+1，代入①得rn=
∴Sn=π(r12+r22+…+rn2)=［(t+1)2n－1］
歼灭难点训练
一、1.解析：当a=n时y=n(n+1)x2－(2n+1)x+1
由｜x1－x2｜=，得dn=，∴d1+d2+…+dn
答案：A
二、2.解析：由1,x1,x2,4依次成等差数列得：2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3.又由1，y1,y2,8依次成等比数列，得y12=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4,
∴P1(2,2),P2(3,4).∴=(3,4)
∴
答案：1
3.解析：第一次容器中有纯酒精a－b即a(1－)升，第二次有纯酒精a(1－)－，即a(1－)2升，故第n次有纯酒精a(1－)n升.
答案：a(1－)n
4.解析：从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，∴a5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元).
答案：120000
三、
5.解：(1)由题意得rqn－1+rqn＞rqn+1.由题设r＞0,q＞0,故从上式可得：q2－q－1＜0，解得＜q＜,因q＞0,故0＜q＜;
(2)∵.b1=1+r≠0，所以{bn}是首项为1+r，公比为q的等比数列，从而bn=(1+r)qn-1.
当q=1时，Sn=n(1+r),
,从上式可知，当n－20.2＞0，即n≥21(n∈N)时，Cn随n的增大而减小，故
1＜Cn≤C21=1+=2.25 ①
当n－20.2＜0，即n≤20(n∈N)时，Cn也随n的增大而减小，故1＞Cn≥C20=1+=－4 ②
综合①②两式知，对任意的自然数n有C20≤Cn≤C21,故{Cn}的最大项C21=2.25，最小项C20=－4.
6.解：(1)第1位职工的奖金a1=，第2位职工的奖金a2=(1－)b，第3位职工的奖金a3=(1－)2b，…，第k位职工的奖金ak=(1－)k－1b;
(2)ak－ak+1=(1－)k－1b＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则.
(3)设fk(b)表示奖金发给第k位职工后所剩余数，则f1(b)=(1－)b,f2(b)=(1－)2b,…,fk(b)=(1－)kb.得Pn(b)=fn(b)=(1－)nb,
故.
7.解：设an表示第n年的废旧物资回收量，Sn表示前n年废旧物资回收总量，则数列{an}是以10为首项，1+20%为公比的等比数列.
(1)a6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨)
(2)S6==99.2992≈99.3(万吨)
∴从1996年到2000年共节约开采矿石20×99.3≈1986(万吨)
(3）由于从1996年到2001年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2(万吨)，
∴从1996年到2001年共节约：
≈3平方公里.
8.解：(1)当n≥3时，xn=;
由此推测an=(－)n-1a(n∈N)
证法一：因为a1=a＞0,且
(n≥2)
所以an=(－)n-1a.
证法二：用数学归纳法证明：
(ⅰ)当n=1时，a1=x2－x1=a=(－)0a,公式成立；
(ⅱ)假设当n=k时，公式成立，即ak=(－)k－1a成立.
那么当n=k+1时，
ak+1=xk+2－xk+1=
据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任意n∈N，公式an=(－)n-1a成立.
(3)当n≥3时，有xn=(xn－xn－1)+(xn－1－xn－2)+…+(x2－x1)+x1
=an－1+an－2+…+a1,
由(2)知{an}是公比为－的等比数列，所以a.
①
②
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