难点16三角函数式的化简与求值
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.
●难点磁场
(★★★★★)已知＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值_________.
●案例探究
［例1］不查表求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值.
命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.
知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.
错解分析：公式不熟，计算易出错.
技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.
解法一：sin220°+cos280°+sin220°cos80°
=(1－cos40°)+(1+cos160°)+sin20°cos80°
=1－cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)
=1－cos40°+(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)
=1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220°
=1－cos40°－(1－cos40°)=
解法二：设x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°
y=cos220°+sin280°－cos20°sin80°，则
x+y=1+1－sin60°=，x－y=－cos40°+cos160°+sin100°
=－2sin100°sin60°+sin100°=0
∴x=y=，即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°=.
［例2］设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值.
命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目
知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.
错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.
技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.
解：由y=2(cosx－)2－及cosx∈［－1，1］得：
f(a)
∵f(a)=,∴1－4a=a=［2,+∞
故－－2a－1=，解得：a=－1，此时，
y=2(cosx+)2+，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5.
［例3］已知函数f(x)=2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值；
(3)若当x∈［，］时，f(x)的反函数为f－1(x)，求f-－1(1)的值.
命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.
知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.
错解分析：在求f-－1(1)的值时易走弯路.
技巧与方法：等价转化，逆向思维.
解：(1)f(x)=2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx
=2cosx(sinxcos+cosxsin)－sin2x+sinxcosx
=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)
∴f(x)的最小正周期T=π
(2)当2x+=2kπ－，即x=kπ－(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.
(3)令2sin(2x+)=1，又x∈［］,
∴2x+∈［,］,∴2x+=，则
x=，故f-－1(1)=.
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：
1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.
2.技巧与方法：
1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式.
2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.
3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.
4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★★)已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈
(－)，则tan的值是()
A. B.－2 C. D.或－2
二、填空题
2.(★★★★)已知sinα=，α∈(，π)，tan(π－β)=，则tan(α－2β)=_________.
3.(★★★★★)设α∈()，β∈(0，)，cos(α－)=，sin(+β)=，则sin(α+β)=_________.
三、解答题
4.不查表求值:
5.已知cos(+x)=，(＜x＜)，求的值.
6.(★★★★★)已知α－β=π，且α≠kπ(k∈Z).求的最大值及最大值时的条件.
7.(★★★★★)如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积.
8.(★★★★★)已知cosα+sinβ=，sinα+cosβ的取值范围是D，x∈D，求函数y=的最小值，并求取得最小值时x
的值.
参考答案
难点磁场
解法一：∵＜β＜α＜,∴0＜α－β＜.π＜α+β＜,
∴sin(α－β)=
∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］
=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)
解法二：∵sin(α－β)=,cos(α+β)=－,
∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－
sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－
∴sin2α=
歼灭难点训练
一、1.解析：∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0.
tanα+tanβ=3a+1＞0,又α、β∈(－,)∴α、β∈(－,θ),则∈(－,0),又tan(α+β)=,
整理得2tan2=0.解得tan=－2.
答案：B
2.解析：∵sinα=,α∈(,π),∴cosα=－
则tanα=－,又tan(π－β)=可得tanβ=－,
答案：
3.解析：α∈(),α－∈(0,),又cos(α－)=.
答案：
三、4.答案：2
（k∈Z）,（k∈Z）
∴当即（k∈Z）时,的最小值为－1.
7.解：以OA为x轴.O为原点，建立平面直角坐标系，并设P的坐标为(cosθ,sinθ)，则
｜PS｜=sinθ.直线OB的方程为y=x，直线PQ的方程为y=sinθ.联立解之得Q(sinθ；sinθ)，所以｜PQ｜=cosθ－sinθ.
于是SPQRS=sinθ(cosθ－sinθ)=(sinθcosθ－sin2θ)=(sin2θ－)=(sin2θ+cos2θ－)=sin(2θ+)－.
∵0＜θ＜,∴＜2θ+＜π.∴＜sin(2θ+)≤1.
∴sin(2θ+)=1时，PQRS面积最大，且最大面积是，此时，θ=，点P为的中点，P().
8.解：设u=sinα+cosβ.则u2+()2=(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u2≤1,－1≤u≤1.即D=［－1,1］,设t=,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤.x=.
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