试卷类型:A
2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数学(理工农医类解析)
本试题卷共4页,三大题21小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项:
1答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.并将准考证
2B铅笔将答题卡上试卷类型B后的方框涂黑。
2选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3填空题和解答题用05毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区
4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试
一、选择题:本大题共l0小题.每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只
1.为虚数单位,则
A.B.C.D.
【答案】A
解析:因为,所以,故选A.
2.已知,,则
A.B.C.D.
【答案】A
解析:由已知.,所以,故选A.
3.已知函数,,若,则的取值范围为
A. B.
C.D.
【答案】B
解析:由条件得,则
,解得,,所以选B.
4.将两个顶点在抛物线上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为,则
A. B.C.D.
【答案】C
解析:根据抛物线的对称性,正三角形的两个
顶点一定关于x轴对称,且过焦点的两条直线
倾斜角分别为和,这时过焦点的直线
与抛物线最多只有两个交点,如图所以正三角形
的个数记为,,所以选C.
5.已知随机变量服从正态分布,且,则
A. B.C.D.
【答案】C
解析:
如图,正态分布的密度函数示意图所示,函数关于
直线对称,所以,并且
则
所以选C.
6.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足
,若,则
A. B.C.D.
【答案】B
解析:由条件,,即
,由此解得,,
所以,,所以选B.
7.如图,用三类不同的元件连接成一个系统,正常工作且至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知正常工作的概率依次为、、,则系统正常工作的概率为
A. B.C.D.
【答案】B
解析:至少有一个正常工作的概率为
,
系统正常工作概率为,所以选B.
8.已知向量a,b,且a⊥b.若满足不等式,则的取值范围为
A. B.C.D.
【答案】D
解析:因为a⊥b,,
则,满足不等式,
则点的可行域如图所示,
当经过点时,取得最大值3
当经过点时,取得最小值-3
所以选D.
9.若实数满足,且,则称与互补,记,那么是与互补
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要的条件
【答案】C
解析:若实数满足,且,则与至少有一个为0,不妨设,则;反之,若,
两边平方得,则与互补,故选C.
10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象成为衰变,假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量(单位:太贝克)与时间(单位:年)满足函数关系:,其中为时铯137的含量,已知时,铯137的含量的变化率是(太贝克/年),则
A.5太贝克B.太贝克C.太贝克D.150太贝克
【答案】D
解析:因为,则,解得,所以,那么(太贝克),所以选D.
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分请将答案填在答题卡对应题号的上,一题两空的题,其答案按先后次序填写答错位置,书写不清,模棱两可均不得分
展开式中的项的系数为.(结果用数值表示)
【答案】17
【解析】二项式展开式的通项公式为,令,含的项的系数为,故填17.
12.在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为.(结果用最简分数表示)
【答案】
解析:从这30瓶饮料中任取2瓶,设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A,从这30瓶饮料中任取2瓶,没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B,则A与B是对立事件,因为
,所以,所以填.
12.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为升.
【答案】
解析:设该数列的首项为,公差为,依题意
,即,解得,
则,所以应该填.
14.如图,直角坐标系所在的平面为,直角坐标系(其中轴与轴重合)所在的平面为,.
(Ⅰ)已知平面内有一点,
则点在平面内的射影的坐标为;
(Ⅱ)已知平面内的曲线的方程是
,则曲线在平面内的
射影的方程是.
【答案】,
解析:(Ⅰ)设点在平面内的射影的坐标为,
则点的纵坐标和纵坐标相同,
所以,过点作,垂足为,
连结,则,横坐标
,
所以点在平面内的射影的坐标为;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,所以代入曲线的方程
,得,所以射影的方程填.
15.给个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示:
由此推断,当时,黑色正方形互不相邻着色方案共有种,至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有种.(结果用数值表示)
【答案】
解析:设个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方案数为,由图可知,
,,
,
,
由此推断,,故黑色正方形互不相邻着色方案共有21种;由于给6个正方形着黑色或白色,每一个小正方形有2种方法,所以一共有种方法,由于黑色正方形互不相邻着色方案共有21种,所以至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有种着色方案,故分别填.
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.小题满分分的内角所对的边分别为.已知,,.
(Ⅰ)求的周长;
(Ⅱ)求的值.
本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识,同时考查基本运算能力
解析:(Ⅰ)∵
∴
∴的周长为.
(Ⅱ)∵,∴,
∴
∵,∴,故为锐角,
∴
∴.
17.小题满分分.(单位:千米/小时)是车流密度(单位:辆/千米)的函数..时,车流速度是车流密度的一次函数.时,求函数的表达式;
(Ⅱ)当车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)可以达到最大,并求出最大值.时,;当时,设,显然在是减函数,由已知得,解得
故函数的表达式为=
(Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得
当时,为增函数,故当时,其最大值为;
当时,,
当且仅当,即时,等号成立.时,在区间上取得最大值.时,在区间上取得最大值,
即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时.18.小题满分分如图,已知正三棱柱的各棱长都是4,是的中点,动点在侧棱上,且不与点重合.时,求证;
(Ⅱ)设二面角的大小为,的最小值.
19.(本小题满分13分)
已知数列的前项和为,且满足:,N,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若存在N,使得,,成等差数列,试判断:对于任意的N,且,,,是否成等差数列,并证明你的结论.
20.(本小题满分14分)
平面内与两定点,连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹,加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程,并讨论的形状与值得关系;
(Ⅱ)当时,对应的曲线为;对给定的,对应的曲线为,设、是的两个焦点。试问:在撒谎个,是否存在点,使得△的面积。若存在,求的值;若不存在,请说明理由。
21.(本小题满分14分)
(Ⅰ)已知函数,,求函数的最大值;
(Ⅱ)设…,均为正数,证明:
(1)若……,则…;
(2)若…=1,则……。
x
y
O
F
A
B
C
D
x
y
O
l2
4
2
l1
A2
A1
K
D(-1,0)
C(0,-1)
B(1,0)
A(0,1)
O
y
x
?P/
x/
O
C/
(y/)
y
x
?P/
x/
O
C/
(y/)
y
x
P
H
n=1
n=2
n=3
n=4
B1
C1
A1
E
C
B
A
|
|