2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上所粘贴的条形码中准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名、考试科目是否一致。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。
3．考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：
样本数据的线性相关系数
锥体体积公式
其中其中为底面积，为高
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则复数
A． B． C． D．
2．若集合，则
A． B．
C． D．
3．若，则的定义域为
A． B． C． D．
4．若，则的解集为
A． B． C． D．
5．已知数列{的前项和满足：，且．那么
A．19 C． D．55
6变量与相对应的一组数据为（10，1），（11，2），（11，3），（12，），（13，）与相对应的一组数据为（105），（11，4），（11，3），（12，2）（13，1）表示变量Y与之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数则
A． B． C． D．
7观察下列各式：=3125，5625，=78125，…，则的末四位数字为
A．3125 B．5625 C．0625 D．8125
8．已知，，是三个相互平行的平面．平面，之间的距离为，平面，之间的距离为．直线与，，分别相交于，，那么“=”是“”的
A．充分不必要条件必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是
A．（，）B．（）∪（）
．[，]（，）∪（，+）
10．如右图，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点，N在大圆内所绘出的图形大致是,·=-2，则与的夹角为
12．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为
13．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是
14．若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A,B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是
三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分。本题共5分。
15．（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为
15．（2）（不等式选做题）对于实数,若的最大值为
四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
（1）求X的分布列；
（2）求此员工月工资的期望。
17．（本小题满分12分）
在中，角的对边分别是，已知．
（1）求的值；
（2）若，求边的值．
18．（本小题满分12分）
已知两个等比数列，满足．
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若数列唯一，求的值．
19．（本小题满分12分）
设
（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；
（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值．
20．（本小题满分13分）
是双曲线上一点，M,N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM,PN的斜率之积为．
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足,求的值．
21．（本小题满分14分）
（1）如图，对于任一给定的四面体,找出依次排列的四个相互平行的平面，，，，使得，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面，，，，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体的四个顶点满足：，求该正四面体的体积．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1—5DBACA6—10CDCBA
二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分。
11．
12．
13．10
14．
三、选做题：本大题5分。
15．（1）
（2）5
四、解答题：本大题共6小题，共75分。
16．（本小题满分12分）
解：（1）X的所有可能取值为：0，1，2，3，4
即
X 0 1 2 3 4 P （2）令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100，2800，3500
所以新录用员工月工资的期望为2280元.
17．（本小题满分12分）
解：（1）由已知得
即
由
同边平方得：
（2）由，
即
由
由余弦定理得
18．（本小题满分12分）
（1）设的公比为q，则
由成等比数列得
即
所以的通项公式为
（2）设的公比为q，则由
得
由，故方程（）有两个不同的实根
由唯一，知方程（）必有一根为0，代入（）得
19．（本小题满分12分）
解：（1）由
当
令
所以，当上存在单调递增区间
（2）令
所以上单调递减，在上单调递增
当在[1，4]上的最大值为
又
所以在[1，4]上的最小值为
得，从而在[1，4]上的最大值为
20．（本小题满分13分）
解：（1）点在双曲线上，
有
由题意又有
可得
（2）联立设
则………………（1）
设
又C为双曲线上一点，即
有
化简得：…………（2）
又在双曲线上，所以
由（1）式又有
得：
21．（本小题满分14分）
（1）如图所示，取A1A4的三等分点P2，P3，A1A3的中点M，
A2A4的中点N，过三点A2，P2，M作平面，过三点A3，
P3，N作平面，因为A2P2//NP3，A3P3//MP2，所以平面
//平面，再过点A1，A4分别作平面与平面
平行，那么四个平面依次相互平行，由线段
A1A4被平行平面截得的线段相等知，其中
每相邻两个平面间的距离相等，故为所求平面。
（2）解法一：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面，每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体A1A2A3A4就是满足题意的正四面体，设正四面体的棱长为a，以△A2A3A4的中心O为坐标原点，以直线A4O为y轴，直线OA1为z轴建立如图的右手直角坐标系，
令P2，P3为A1A4的三等分点，N为A2A4的中点，有
设平面A3P3N的法向量
有
所以，
因为相邻平面之间的距离为1，所以点A4到平面A3P3N的距离
解得，由此可得，边长为的正四面体A1A2A3A4满足条件。
所以所求正四面体的体积
解法二：如图，现将此正四面体A1A2A3A4置于一个正方体ABCD—A1B1C1D1中，（或者说，在正四面体的四个面外侧各镶嵌一个直角三棱锥，得到一个正方体），E1，F1分别是A1B1，C1D1的中点，EE1D1D和BB1F1F是两个平行平面，若其距离为1，则四面体A1A2A3A4即为满足条件的正四面体。右图是正方体的上底面，现设正方体的棱长为a，若A1M=MN=1，则有
据A1D1×A1E1=A1M×D1E1，得，
于是正四面体的棱长
其体积
（即等于一个棱长为a的正方体割去四个直角正三棱锥后的体积）
1
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