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2011年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学理试题
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式
P（A+B）=PA．+PB．
如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径
P（A·B）=PA．·PB．球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么
在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径
第一部分（选择题共60分）注意事项：
1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。
2．本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11．5，15．5）2[15．5,19．5）4[19．5，23．5）9[23．5,27．5）18
[27．5，31．5）1l[31．5，35．5）12[35．5．39．5）7[39．5,43．5）3
根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是
A．B．C．D．
2复数=
A．B．C．0D．
3．，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
A．，B．，
C．，，共面
D．，，共点，，共面
4如图，正六边形ABCDEF中，=
A．0B．C．D．
5函数，在点处有定义是在点处连续的
A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件
6．在ABC中．．则A的取值范围是
A．（0，]B．[，）．（0，]D．[，）
7．已知是R上的奇函数，且当时，，则的反函数的图像大致是
8．数列的首项为，为等差数列且．若则，，则
A．0B．3C．8D．11
9．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．用的每甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计派用两类卡车的车辆数，可得最大利A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元
10．在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为
A．B．C．D．
11．已知定义在上的函数满足，当时，．设在上的最大值为，且的前项和为，则
A．3B．C．2D．
12．在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过的平行四边形的个数为，则
A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．计算．
14．双曲线P到左准线的距离是．
15．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是．
16．函数的定义域为A，若时总有
为单函数．例如，函数=2x+1（）是单函数．下列命题：
函数=（xR）是单函数；
若为单函数，
若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；
函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．
其中的真命题是．（写出所有真命题的编号）
三、解答题17．（本小题共12分）
已知函数
（1）求的最小正周期和最小值；
（2）已知，求证：
18．（本小题共12分）
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时。
（Ⅰ）求甲、乙所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望；
19．（本小题共l2分）
如图，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1．D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA．
（I）求证：CD=C1D：
（II）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求点C到平面B1DP的距离．
20．（本小题共12分）
设为非零实数，
（1）写出并判断是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；
（II）设，求数列的前n项和．
21．（本小题共l2分）
椭圆有两顶点A（-1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．
（I）当|CD|=时，求直线l的方程；
（II）当点P异于A、B两点时，求证：为定值。
22．（本小题共l4分）
已知函数
（I）设函数，求的单调区间与极值；
（Ⅱ）设，解关于的方程
（Ⅲ）试比较与的大小．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、答案：B
解析：从到共有22，所以。
2、答案：A
解析：
3、答案：B
解析：A答案还有异面或者相交，C、D不一定
4、答案D
解析：
5、答案：B
解析：连续必定有定义，有定义不一定连续。
6答案：C
解析：由题意正弦定理
7．答案：A
解析：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域。
当，故选A
8B
解析：由已知知由叠加法
9．答案：C
解析：由题意设派甲，乙辆，则利润，得约束条件画出可行域在的点代入目标函数
10．解析：由已知的割线的坐标
,设直线方程为，则又
解析：由题意,在上，
12．答案：D
基本事件：其中面积为的平行四边形的个数其中面积为的平行四边形的个数为其中面积为的平行四边形的个数其中面积为的平行四边形的个数其中面积为的平行四边形的个数；其中面积为的平行四边形的个数其中面积为的平行四边形的个数其中面积为的平行四边形的个数
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13答案：
解析：
14答案：
解析：，点显然在双曲线右支上，点到左焦点的距离为14，所以
15答案：
解析：时，，则
16答案：②③④
解析：①错，，②③④正确。
三、解答题
17解析：
（2）
18解析：
（1）所付费用相同即为元。设付0元为，付2元为，付4元为
则所付费用相同的概率为
（2）设甲，乙两个所付的费用之和为，可为
分布列
19．解析：（1）连接交于,,
,又为的中点，中点，,,D为的中点。
（2）由题意,过B作,连接，则,为二面角的平面角。在中，,则
（3）因为，所以,
,
在中，，
20解析：（1）
因为为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列。
（2）
（2）（1）
21．解析：由已知可得椭圆方程为，设的方程为为的斜率。
则
的方程为
22解析：
（1），
令
所以是其极小值点，极小值为。是其极大值点，极大值为
（2）；
由
时方程无解
时
方程的根为
（3）
则
11
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