2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数,则实数=
A．-4或-2 B．-4或2 C．-2或4 D．-2或2
2．把复数的共轭复数记作，i为虚数单位，若=
A．3-i B．3+i C．1+3i D．3
3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
4．下列命题中错误的是
A．如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
B．如果平面α不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
C．如果平面，平面，，那么
D．如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
5．设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是
A．14 B．16 C．17 D．19
6．若，，，，则
A． B． C． D．
7．若为实数，则“”是的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则
A． B． C． D．
9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率
A． B． C． D
10．设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）．记集合S=若，分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是
A．=1且=0 B．
C．=2且=2 D．=2且=3
非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分
11．若函数为偶函数，则实数=。
12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是。
13．设二项式（x-）6（a>0）的展开式中X的系数为A,常数项为B，
若B=4A，则a的值是。
14．若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的
平行四边形的面积为，则α与β的夹角的取值范围是。
15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙丙公司面试的概率为，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X为该毕业生得到面试得公司个数。若，则随机变量X的数学期望
16．设为实数，若则的最大值是．。
17．设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若;则点的坐标是．
三、解答题;本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分）在中，角所对的边分别为a,b,c．
已知且．
（Ⅰ）当时，求的值；
（Ⅱ）若角为锐角，求p的取值范围；
19．（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项为a（）,设数列的前n项和为，且，，成等比数列
（1）求数列的通项公式及
（2）记，，当时，试比较与的大小．
20．（本题满分15分）
如图，在三棱锥中，，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。
21．（本题满分15分）
已知抛物线:＝，圆:的圆心为点M
（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程
22．（本题满分14分）
设函数
（I）若的极值点，求实数；
（II）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立，注：为自然对数的底数。
参考答案
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
BADDBCACBD
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。
11．012．513．214．15．16．17．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。
18．本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。
（I）解：由题设并利用正弦定理，得
解得
（II）解：由余弦定理，
因为，
由题设知
19．本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。满分14分。
（I）解：设等差数列的公差为d，由
得
因为，所以所以
（II）解：因为，所以
因为，所以
当，
即
所以，当
当
20．本题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。
方法一：
（I）证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，
建立空间直角坐标系O—xyz
则，
，由此可得，所以
，即
（II）解：设
设平面BMC的法向量，
平面APC的法向量
由
得
即
由即
得
由
解得，故AM=3。
综上所述，存在点M符合题意，AM=3。
方法二：
（I）证明：由AB=AC，D是BC的中点，得
又平面ABC，得
因为，所以平面PAD，
故
（II）解：如图，在平面PAB内作于M，连CM，
由（I）中知，得平面BMC，
又平面APC，所以平面BMC平面APC。
在
在，
在
所以
在
又
从而PM，所以AM=PA-PM=3。
综上所述，存在点M符合题意，AM=3。
21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。
（I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：
所以圆心M（0，4）到准线的距离是
（II）解：设，
则题意得，
设过点P的圆C2的切线方程为，
即 ①
则
即，
设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，所以
将①代入
由于是此方程的根，
故，所以
由，得，
解得
即点P的坐标为，
所以直线的方程为
22．本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力。满分14分。
（I）解：求导得
因为的极值点，
所以
解得经检验，符合题意，
所以
（II）解：①当时，对于任意的实数a，恒有成立；
②当时，由题意，首先有，
解得，
由（I）知
令
且
又内单调递增
所以函数内有唯一零点，
记此零点为
从而，当时，
当
当时，
即内单调递增，在内单调递减，
在内单调递增。
所以要使恒成立，只要
成立。
由，知
（3）
将（3）代入（1）得
又，注意到函数内单调递增，
故。
再由（3）以及函数内单调递增，可得
由（2）解得，
所以
综上，a的取值范围是
1
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