第四章：信道及其容量§4.1信道分类§4.2离散无记忆信道§4.5信道的组合§4.6时间离散的无记忆连续信道§4.
7波形信道§4.1信道分类信道是传输信息的媒质或通道。（输入→信道→输出）说明（1）信道输入是随机过程。（2）信
道响应特性是条件概率P(输出值为y|输入值为x)，又称为转移概率。（3）信道输出是随机过程，输出的概率分布可以由输入的概率分布和
信道的响应特性得到。（全概率公式）（4）根据信道输入、信道响应特性、信道输出的情况，可将信道分类：离散信道（又称为数字信道）；连
续信道（又称为模拟信道）；特殊的连续信道——波形信道；恒参信道和随参信道；无记忆信道和有记忆信道；等等。§4.2离散无记忆信
道定义4.2.1和定义4.2.2(p104)如果（1）信道的输入为随机变量序列X1,X2,X3,…，其中每个随机变量
Xu的事件集合都是{0,1,…,K-1}，（2）信道的输出为随机变量序列Y1,Y2,Y3,…，其中每个随机变量Yu的
事件集合都是{0,1,…,J-1}，则称该信道为离散信道。如果更有（3）P((Y1Y2…YN)=(y1y2…yN)|(X
1X2…XN)=(x1x2…xN))=P(Y1=y1|X1=x1)P(Y2=y2|X2=x2)…P(YN=yN|XN=xN)，
则称该信道为离散无记忆信道（DMC）。如果更有（4）对任意x∈{0,1,…,K-1}，y∈{0,1,…,J-1}，任
意两个时刻u和v，还有P(Yu=y|Xu=x)=P(Yv=y|Xv=x)，则称该信道为离散无记忆平稳信道。§4.2离散无
记忆信道关于定义4.2.1和定义4.2.2的注解“离散”的含义是时间离散，事件离散。即：信道的输入、输出时刻是离散的，且输入随
机变量和输出随机变量都是离散型的随机变量。“无记忆”的含义是信道响应没有时间延迟，当时的输出只依赖于当时的输入。“平稳”的含义
是信道在不同时刻的响应特性是相同的。“离散无记忆平稳信道”是最简单的信道，信道在某一时刻u的响应特性P(Yu=y|Xu=x)；
x∈{0,1,…,K-1}，y∈{0,1,…,J-1}，就能很简单地计算出信道在任意时间段的响应特性。§4.2
离散无记忆信道一、有关DMC的容量定理（所说的DMC都是离散无记忆平稳信道）设DMC在某个时刻输入随机变量为X，输出随机
变量为Y。信道响应特性为转移概率矩阵[p(y|x)，x∈{0,1,…,K-1}，y∈{0,1,…,J-1}]，它
是一个K×J阶矩阵（其中p(y|x)=P(Y=y|X=x)）。X的概率分布为{x,q(x),x∈{0,1,…,K-1}
}。Y的概率分布为{y,w(y),y∈{0,1,…,J-1}}。以下的结论是我们已知的。§4.2离散无记忆信道
（1）转移概率矩阵的每一行都是一个概率向量。§4.2离散无记忆信道（2）对任意y∈{0,1,…,J-1}，由全
概率公式有§4.2离散无记忆信道（3）I(X;Y)是概率向量{q(x),x∈{0,1,…,K-1}}和转移概率矩
阵[p(y|x)，x∈{0,1,…,K-1}，y∈{0,1,…,J-1}]的函数。§4.2离散无记忆信道（4
）设转移概率矩阵[p(y|x)，x∈{0,1,…,K-1}，y∈{0,1,…,J-1}]确定，希望选择概率向量{q(x
),x∈{0,1,…,K-1}}使I(X;Y)达到最大。则见定理2.6.2。定义4.2.3(p105)离散无记
忆信道的信道容量定义为如下的C。达到信道容量的输入概率分布{x,q(x),x∈{0,1,…,K-1}}称为最佳输入分布。
其中§4.2离散无记忆信道定理4.2.2(p106)（1）输入概率分布{x,q(x),x∈{0,1,…,
K-1}}是最佳输入分布的充分必要条件为：对任何满足q(k)>0的k，都取一个相同的值；对任何满足q(k)=0的k，I(X
=k;Y)≤此相同的值。（2）此时此相同的值恰好就是信道容量C。（定理4.2.2实际上叙述了定理2.6.2的含义。）§4
.2离散无记忆信道注解给定一个DMC信道的响应特性，也就是说给定一个信道的转移概率矩阵[p(y|x)，x∈{0,1,…
,K-1}，y∈{0,1,…,J-1}]，达到信道容量时所对应的最佳输入分布是满足定理4.2.2条件的概率向量{q(x)
,x∈{0,1,…,K-1}}。其信道容量是每个使得q(k)>0的k所对应的半平均互信息量I(X=k;Y)。如果对
DMC信道没有任何简化，要计算最佳输入分布并不容易。但是，通常使用的DMC是很简单的（比如，以下的准对称信道和对称信道），最佳输入
分布很容易求出。§4.2离散无记忆信道二、对称DMC和准对称DMC的信道容量与最佳输入分布的计算定义4.2.4~5(
p108)设DMC的转移概率矩阵为若P的任一行是第一行的置换，则称信道是关于输入为对称的。若P的任一列是第一列的
置换，则称信道是关于输出为对称的。若信道是关于输入为对称的，又是关于输出为对称的，则称信道为对称信道。§4.2离散无记忆信
道命题1若DMC关于输入为对称的，则对任意k∈{0,1,…,K-1}都成立。证明{p(y|x)，y=0~
J-1}与{p(y|k)，y=0~J-1}互为置换，所以§4.2离散无记忆信道命题2若DMC关于输出为对称的，则当输
入分布等概时，输出分布等概。证明此时{p(y|x)，x=0~K-1}与{p(0|x)，x=0~K-1}互为置换。设q(x
)=1/K，x∈{0,1,…,K-1}。则§4.2离散无记忆信道定义4.2.6(p108)若DMC的转移概率矩阵
P的列的全体可分成若干个列子集，每个列子集所对应的P的子阵都满足以下两条性质：（1）任一行是第一行的置换，（2）任一列是第一列
的置换。则称信道为准对称信道。（特别若列子集只有一个，即转移概率矩阵P本身的任一行是第一行的置换，任一列是第一列的置换，则称信
道为对称信道。）例4.2.2准对称信道的例子。(见p108~109)§4.2离散无记忆信道几个简单的结论：
（1）准对称信道一定是关于输入为对称的。（2）对称信道不仅是关于输入为对称的，也是关于输出为对称的。（3）对称DMC当输入分布
等概时，输出分布等概。（4）准对称DMC当输入分布等概时，输出分布局部等概。（准对称DMC当输入分布等概时，若j和l属于转移概率
矩阵的同一个列子集，则wj=wl。）（5）对称信道未必有J=K。§4.2离散无记忆信道定理4.2.3(p109)对于
准对称DMC信道，（1）达到信道容量的最佳输入分布为等概分布；（2）信道容量为§4.2离散无记忆信道证明根据定理4
.2.2的含义，只需要证明：当输入分布为等概时，对任意k∈{0,1,…,K-1}，半平均互信息量I(X=k;Y)都取相同的
值。（此时，该相同的半平均互信息量I(X=k;Y)就是准对称信道容量C。）换句话说，只需要证明：当输入分布为等概时，对任意k∈
{0,1,…,K-1}，I(X=k;Y)与k无关。设转移概率矩阵P的列的全体被分成S个互不相交的列子集：{0,1,
…,J-1}=Y1∪Y2∪…∪YS；Y1、Y2、…、YS互不相交；对任意s∈{1,2,…,S}，列子集Ys所对应的子阵都
满足：任一行是第一行的置换，任一列是第一列的置换。自然有以下三个结论。§4.2离散无记忆信道结论一：准对称信道是关于输入为
对称的，所以对任意k∈{0,1,…,K-1}，结论二：对每个列子集Ys，结论三：对每个列子集Ys，取定ys∈Ys
。则对任意y∈Ys，§4.2离散无记忆信道于是§4.2离散无记忆信道于是§4.2离散无记忆信道此时有：达
到信道容量时的最佳输入分布为等概分布；对应的输出分布也是等概分布；信道容量是转移概率矩阵任何一行所对应的半平均互信息量，即§
4.2离散无记忆信道§4.2离散无记忆信道定义4.2.7（p111）特殊的对称DMC：模K加性噪声信道。设
DMC的输入随机变量为X，X的所有事件为{0,1,…,K-1}；DMC的噪声随机变量为Z，Z的所有事件为{0,1,…
,K-1}；DMC的输出随机变量为Y，Y的所有事件为{0,1,…,K-1}；X与Z相互独立；Y=X+Z(modK)。
称此DMC为模K加性噪声信道。此时，p(y|x)=P(Y=y|X=x)=P(X+Z(modK)=y|X=x)=P(x+Z(
modK)=y|X=x)=P(Z=y-x(modK)|X=x)=P(Z=y-x(modK))。§4.2离散无记忆信道这就
是说，如果记P(Z=z)=sz，则转移概率矩阵为§4.2离散无记忆信道显然模K加性噪声信道是对称DMC。信道容量为§4
.2离散无记忆信道三、一般DMC的信道容量与最佳输入分布的计算（p112）（当DMC不是准对称信道时，求解信道容量和最
佳输入分布并不容易）若DMC的转移概率矩阵P是可逆方阵（此时K=J）。则可以先假设最佳输入分布{q(x),x∈{0,1,
…,K-1}}中每个概率q(x)都满足q(x)>0。在这个假设下，求出信道容量C；然后求出最佳输入分布对应的“最佳输出分布
”{w(y),y∈{0,1,…,K-1}}；然后求出最佳输入分布{q(x),x∈{0,1,…,K-1}}。
§4.2离散无记忆信道此时，§4.2离散无记忆信道§4.2离散无记忆信道这是K个未知量{β0,β1,…
,βK-1}={C+logw(0),C+logw(1),…,C+logw(K-1)}的线性方程组，系数矩阵是可逆方阵，
因此唯一解出{β0,β1,…,βK-1}为§4.2离散无记忆信道求出了{β0,β1,…,βK-1}={C
+logw(0),C+logw(1),…,C+logw(K-1)}，还不能确定C和{w(0),w(1),…,w(K-
1)}的值。但是我们还有另一个等式：w(0)+w(1)+…+w(K-1)=1。于是§4.2离散无记忆信道求出了信道容
量C，立即得到了“最佳输出分布”{w(y),y∈{0,1,…,K-1}}和对应的最佳输入分布{q(x),x∈{0,1
,…,K-1}}。§4.2离散无记忆信道例设DMC的输入事件为{0,1}，输出事件为{0,1}，转移概率矩阵为
求信道容量和最佳输入分布。先假设最佳输入分布{q(0),q(1)}满足q(0)>0，q(1)>0。因此§4.2离散
无记忆信道因此§4.2离散无记忆信道例特殊的DMC，称为Z信道：输入事件为{0,1}，输出事件为{0,1}，转移
概率矩阵为其中0<ε<1。求信道容量和最佳输入分布。先假设最佳输入分布{q(0),q(1)}满足q(0)>0，q(1)
>0。因此§4.2离散无记忆信道容易验证：q(1)>0；q(0)+q(1)=1。需要验证：q(0)>0。§4.5
信道的组合总设有如下两个DMC，分别称为信道1和信道2。信道1的输入事件为全体x，共有K个输入事件；信道1的输出事件为全
体y，共有J个输出事件；信道1的转移概率矩阵为[p1(y|x)]K×J；信道1的信道容量为C1，最佳输入分布为{x,q1(x
)}。信道2的输入事件为全体u，共有N个输入事件；信道2的输出事件为全体v，共有M个输出事件；信道2的转移概率矩阵为[p2(
v|u)]N×M；信道2的信道容量为C2，最佳输入分布为{u,q2(u)}。§4.5信道的组合定义4.5.1（p12
1）信道的输入事件为全体(x,u)，共有KN个输入事件；信道的输出事件为全体(y,v)，共有JM个输出事件；转移概率
矩阵为[p((y,v)|(x,u))](KN)×(JM)，其中p((y,v)|(x,u))=p1(y|x)p2(v|
u)。则称该信道为信道1与信道2的积信道。（又称该信道为信道1与信道2的独立并行信道）（在物理上，积信道是两个信道的并行使用）
§4.5信道的组合定理4.5.1（p122）积信道的信道容量为C=C1+C2，最佳输入分布为{(x,u),q
(x,u)}，其中q(x,u)=q1(x)q2(u)。证明此时§4.5信道的组合§4.5信道的组合§4.5
信道的组合所以I((XU)=(xu);(YV))=I(X=x;Y)+I(U=u;V)。注意到对任何满足q1(x)>
0的x，I(X=x;Y)=C1；对任何满足q1(x)=0的x，I(X=x;Y)≤C1；对任何满足q2(u)>0的u，I
(U=u;V)=C2；对任何满足q2(u)=0的u，I(U=u;V)≤C2。于是对任何满足q1(x)q2(u)>0的
(xu)，I((XU)=(xu);(YV))=C1+C2；对任何满足q1(x)q2(u)=0的(xu)，I((XU)=(x
u);(YV))≤C1+C2。根据定理4.2.2(p84)，积信道的信道容量为C=C1+C2，最佳输入分布为{(x,u
),q1(x)q2(u)}。§4.5信道的组合定义4.5.2（p123）信道的输入事件为全体{x}∪{u}，其中{
x}与{u}不相交；共有K+N个输入事件；信道的输出事件为全体{y}∪{v}，其中{y}与{v}不相交；共有J+M个输出事件；
信道的转移概率矩阵为则称该信道为信道1与信道2的和信道。§4.5信道的组合定理4.5.2（p123）（证略
）§4.5信道的组合定义4.5.3（p124）构造一个信道，使得该信道的输入是信道1的输入；信道1的输出再输入信道
2；信道2的输出就是该信道的输出。则称该信道为信道1与信道2的级连信道（串联信道）。请注意：此时信道1的输出事件全体恰好
是信道2的输入事件全体，即{y}={u}，J=N。§4.5信道的组合注：（1）级连信道的转移概率矩阵为[p(v|x)
]K×M=[p1(y|x)]K×J[p2(v|y)]J×M，即这一结果来自于全概率公式和马尔可夫性。（2）级连信道的
信道容量C满足C≤min{C1,C2}。这一结果也容易证明。§4.5信道的组合例设信道1的转移概率矩阵为其中
0概率矩阵为级连信道的信道容量为§4.5信道的组合（3）令自级连的次数N→+∞，则级连信道的转移概率矩阵趋向于
信道容量趋向于0。§4.6时间离散的无记忆连续信道定义设（1）信道的输入为随机变量序列X1,X2,X3,
…，其中每个随机变量Xu都是连续型的随机变量。（2）信道的输出为随机变量序列Y1,Y2,Y3,…，其中每个随机变量Yu都
是连续型的随机变量。（3）转移概率密度f((Y1Y2…YN)=(y1y2…yN)|(X1X2…XN)=(x1x2…xN
))=f(Y1=y1|X1=x1)f(Y2=y2|X2=x2)…f(YN=yN|XN=xN)，则称该信道为时间离散的无记忆连续
信道。如果进一步有（4）f(Yn=y|Xn=x)=f(Ym=y|Xm=x)，（此时简记为fY|X(y|x)）则称该信道为平稳的
（恒参的）时间离散的无记忆连续信道。§4.6时间离散的无记忆连续信道设平稳的（恒参的）时间离散的无记忆连续信道，其一元转移
概率密度为fY|X(y|x)。设一元输入概率密度为fX(x)。因此一元输出概率密度为如下的fY(y)，输入、输出平均互信息量为如下
的I(X;Y)。§4.6时间离散的无记忆连续信道一、可加噪声信道定义4.6.1（p101的变形）设平稳的（恒参的）
时间离散的无记忆连续信道为：输入随机变量为X；噪声随机变量为Z；X与Z相互独立；输出随机变量为Y=X+Z。则称该信道为可加噪声
信道。注：此时fY|X(y|x)=f(Y=y|X=x)=f(X+Z=y|X=x)=f(x+Z=y|X=x)=f(Z=y-x|
X=x)=f(Z=y-x)=fZ(y-x)；f(X,Y)(x,y)=fX(x)fY|X(y|x)=fX(x)fZ(y-x)
；§4.6时间离散的无记忆连续信道§4.6时间离散的无记忆连续信道例4.6.1（p126）高斯可加噪声信道，
§4.6时间离散的无记忆连续信道二、平均功率受限的可加噪声信道定义（p127的变形）对于可加噪声信道，限定：其信号功率
不超过S，其噪声功率等于σ2，此时信噪比不超过(S/σ2)。在此限定之下，输入、输出平均互信息量的最大值C称为平均功率受限的信道容
量。§4.6时间离散的无记忆连续信道定理4.6.1（p127）设可加噪声信道，限定：其信号功率不超过S，其噪声功率为σ
2，此时信噪比不超过(S/σ2)。则§4.7波形信道定义4.7.1（p106）信道的输入是一般的随机过程{X(t),
t≥0}；信道的输出是一般的随机过程{Y(t),t≥0}。称此信道为波形信道。定义4.7.2（p106）信道的输入是一个
随机过程{X(t),t≥0}；信道的噪声是一个随机过程{Z(t),t≥0}；两个随机过程{X(t),t≥0}与{Z(t)
,t≥0}相互独立；信道的输出是Y(t)=X(t)+Z(t),t≥0。这种特殊的波形信道称为可加噪声信道。§4.7
波形信道在实际应用中，总是对波形信道进行采样，采样信道是时间离散的信道。其输入是随机变量序列X1,X2,X3,…，其输
出是随机变量序列Y1,Y2,Y3,…，但信道一般不是无记忆的。采样信道单位时间的容量为§4.7波形信道定理4
.7.1（p133）可加噪声信道输入平均功率不超过S，噪声的双边功率谱密度为N0/2，频带限制在[0,W]时，信道容量为解释
频带限制在[0,W]时，单位时间的采样次数为2W。“输入平均功率S”是单位时间的输入所做的功，因此每次采样时输入所做的功为S/
2W。“噪声的双边功率谱密度N0/2”本来指的是固定频率成分的噪声的功率。但是有以下两个因素：（1）噪声为白噪声，不同频率成分
的噪声的功率相同。（2）单位时间内2W次采样得到了2W个不同的噪声频率成分（！），每个噪声频率成分的功率相同，它们的和就是单位时
间内噪声所做的功，即噪声功率。换句话说，每次采样时噪声所做的功=每个噪声频率成分的功率=N0/2。综上所述，每次采样的“信噪比”
为(S/(2W))/(N0/2)，习题课4.1计算由下述转移概率矩阵给定的DMC的容量。习题课该信道为对称DMC，达
到信道容量的最佳输入分布是等概分布，对应的输出分布也是等概分布，信道容量C是由转移矩阵任何一行所计算出来的“半平均互信息量”：该
信道为对称DMC，达到信道容量的最佳输入分布是等概分布，对应的输出分布也是等概分布，信道容量C是由转移矩阵任何一行所计算出来的“半
平均互信息量”：该信道为和信道，和信道的输入事件为{0，1，m}，和信道的输出事件也为{0，1，m}。其中两个分信道分别如下：
习题课习题课4.3求图P.4.3中DMC的容量及最佳输入分布。习题课习题课(a)困难：（1）本题中的DMC不是
准对称信道，不能用简单的方法计算信道容量与最佳输入分布。（2）如果采用一般信道容量与最佳输入分布的计算方法（见p112），本
题的计算量比较大，并且所求出的“最佳输入分布”中有的概率是负值。技巧：观察与猜测。设最佳输入分布为{q(0),q(1),q(
2)}。我们猜想q(0)=q(2)=1/2，q(1)=0，因此应有以下的等式&不等式：I(X=0;Y)=I(X=2;Y)≥I
(X=1;Y)。如果经过验证，以上的等式&不等式确实成立，则我们的猜想是正确的，而且此时信道容量为C=I(X=0;Y)=I
(X=2;Y)。习题课验证过程：首先求出对应的最佳输出分布为{w(0),w(1),w(2)}。根据全概率公式，习题课
其次验证等式&不等式“I(X=0;Y)=I(X=2;Y)≥I(X=1;Y)”是否成立。习题课等式&不等式“I(X=0;
Y)=I(X=2;Y)≥I(X=1;Y)”成立。因此{q(0),q(1),q(2)}={1/2,0,1/2}确实是
最佳输入分布。此时信道容量为C=I(X=0;Y)=I(X=2;Y)=3/4习题课问题一：凭什么猜想q(0)=q(2)
？答转移概率矩阵的形状具有某种对称性，似乎应该有q(0)=q(2)。因此I(X=0;Y)=I(X=2;Y)。问题
二：凭什么猜想q(1)=0？答理由1：转移概率矩阵的中间行为（1/3,1/3,1/3）。这说明，当输入值为1时，输出值取0
、1、2是等概的。换句话说，当输入值为1时，得不到输出值的消息。因此，q(1)似乎应该很小。理由2：已知I(X=0;Y)=I(
X=2;Y)。如果假设q(1)=0，只需要验证“I(X=0;Y)≥I(X=1;Y)”；而如果假设q(1)>0，则需要验证“I
(X=0;Y)=I(X=1;Y)”。前者更容易验证。问题三：为什么不猜想“最佳输入分布”中的两个概率等于0？答如果“最
佳输入分布”中的两个概率等于0，则第三个概率等于1。此时输入随机变量X实际上是一个常数，其平均自信息量（熵）等于0。因此0≤I(X
;Y)≤H(X)=0，即“信道容量”为C=I(X;Y)=0，矛盾。(b)这是准对称信道。因此最佳输入分布为{q(0),q(
1),q(2)}={1/3,1/3,1/3}，对应的最佳输出分布为习题课此时信道容量为习题课4.8一PCM语音
通信系统，若信号带宽为W=4000Hz，采样频率为2W，且采用8级幅度量化，各级出现的概率为1/2，1/4，1/8，1/16，1/
32，1/64，1/128，1/128。试求所需的信息速率(bits/s)。（这是什么类型的习题？似乎与信道及信道容量没有关系
）[4.8的解答]每次采样获得的信息量，是随机变量的平均自信息量（熵），为(1/2)×log2+(1/4)×log4+(1
/8)×log8+(1/16)×log16+(1/32)×log32+(1/64)×log64+(1/128)×log128+(
1/128)×log128=(1/2)+(2/4)+(3/8)+(4/16)+(5/32)+(6/64)+(7/128)+(7
/128)=127/64(bits)。信息速率为127/64(bits)×8000=15875(bits/s)。习题课4
.12若要以R=105bit/s的速率通过一个带宽为8kHz、信噪比为31的连续信道传送，可否实现?[4.12的解答]连续信道的带宽为8kHz，说明该连续信道可以通过采样频率不超过16kHz的采样，变成一个“时间离散的无记忆连续信道”。进一步简化：我们把该“时间离散的无记忆连续信道”看作是一个“高斯可加噪声信道”(p126)。因此，在每次采样中传送的信息量为(1/2)log(1+31)=(5/2)(bits)。带宽为8kHz，说明每秒种的采样次数不能超过16kHz。因此，每秒种传送的信息量不能超过(5/2)(bits)×16k=40k(bits/s)。40k<105，因此不能实现R=105bit/s的信息速率。“功率”本来表示单位时间所做的功。但是这里却变成了一次（输入、噪声、输出）所做的功。不过这种变化并不影响信噪比的值。问题：似乎信道没有给定？（1）平均功率受限的信道容量为（2）当且仅当信道为高斯可加噪声信道（X~N(λ,S)，Z~N(μ,σ2)）时，输入、输出平均互信息量达到该C。西安电子科技大学§4.2离散无记忆信道例4.2.3特殊的对称DMC：KSC（p109）其中0
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