1.2事件的概率及其性质生活中的数字排列彩票买一注7位数中彩票的概率是？？？小概率事件的存在小概率事件的意
义：飞机、火车、汽车的故障率都是小概率事件，小概率事件在一次试验中一般认为不会发生，但是试验次数多就会必然发生。布丰的投针试验
公元1777年的一天，法国科学家D·布丰（D·buffon1707～1788）的家里宾客满堂，原来他们是应主
人的邀请前来观看一次奇特试验的。试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着
他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过
，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主便，一个个加入了试验的行列。一把小针扔
完了，把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这
里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数704的比值为3.142。”说到这
里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值！”众宾哗然，一时议论纷纷，
个个感到莫名其妙；“圆周率π？这可是与圆半点也不沾边的呀！”4，包括甲，乙在内的10个人随机地排成一行，求甲与乙相邻的概率。
若这10个人随机地排成一圈，又如何呢？解总的基本事件数为排成行时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为排成圈
时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为所求概率为规范性：Ｐ(Ω)=1给定一个随机
试验，Ω是它的样本空间，对于任意一个事件Ａ，赋予一个实数，如果满足下列三条公理，则称为事件A的概率.
概率的公理化定义非负性：Ｐ(Ａ)≥0可列可加性：两两互不相容时一、频率与概率的统计定义二、古典概型三、几
何概率四、概率的公理化定义随机事件的频率FrequencyA=“出现正面”随机试验抛掷一枚均匀的硬币试验总次数n
将硬币抛掷n次随机事件事件A出现次数m出现正面m次随机事件的频率抛掷硬币的试验历史纪录试验者0
.01810.518110612048德摩根0.00690.506920484040蒲丰0.0002
0.49981499430000维尼0.00050.50051201224000皮尔逊0.00160.
5016601912000皮尔逊0.00210.4979497910000费勒随机试验在
大量重复的试验中其结果呈现某种规律性，而频率的稳定性正是这种规律性的表现。随机事件A在相同条件下重复多次时，事件
A发生的频率在一个固定的数值p附近摆动，随试验次数的增加更加明显频率和概率频率的稳定性事件的概率事件A
的频率稳定在数值p，说明了数值p可以用来刻划事件Ａ发生可能性大小，可以规定为事件A的概率对任意事件Ａ，在相同
的条件下重复进行n次试验，事件Ａ发生的频率m/n，随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数附近摆动那么称p为事件Ａ的概率
概率的统计定义当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频率近似的代替事件A的概率再分析一个例子，
为检查某种小麦的发芽情况，从一大批种子中抽取10批种子做发芽试验，其结果如表1-2：发芽率发芽粒数种子粒数2
5107013031070015002000
30002496011628263913
391806271510.80.90.8570.8920.91
00.9130.8930.9030.905从表1-2可看出，发芽率在0.9附近摆动，随着
n的增大，将逐渐稳定在0.9这个数值上.概率的统计定义频率稳定于概率
性质（1）（2）（3）若A，B互斥，则有限性每次试验
中，每一种可能结果的发生的可能性相同，即其中古典概率模型每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即样本空间Ω
是个有限集等可能性设试验结果共有n个基本事件ω1，ω2，...，ωn，而且这些事件的发生具有相同的可能
性古典概型的概率计算确定试验的基本事件总数事件Ａ由其中的m个基本事件组成确定事件A包含的基本事件数
抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数,求“出现的点数是不小于3的偶数”的概率．Ａ=“出现的点数是不小于3的偶数”古典概率的计
算：抛掷骰子事件A试验抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数样本空间={4，6}Ω={1，2，3，4，5，6}n=6m
=2事件A的概率设在100件产品中，有4件次品，其余均为正品．古典概率的计算：正品率和次品率n＝100
这批产品的次品率任取3件，全是正品的概率任取3件，刚好两件正品的概率mA＝4古典概率的计算：有放回抽样和无放回抽样
设在10件产品中，有2件次品，8件正品．A=“第一次抽取正品，第二次抽取次品”第一次抽取后，产品放回去第
一次抽取后，产品不放回去古典概率的计算：投球入盒把3个小球随机地投入5个盒内。设球与盒都是可识别的。A=
“指定的三个盒内各有一球B=“存在三个盒，其中各有一球abcde古典概率的计算：生日问题某班
有50个学生，求他们的生日各不相同的概率（设一年365天）分析此问题可以用投球入盒模型来模拟50个学生365天50个小球
365个盒子相似地有分房问题房子盒子人小球生日问题模型某班有n个学生，设一年N天,则他
们的生日各不相同的概率为至少有两人生日相同的概率为0.970.890.710.510.410.1250
4030232010N古典概率的计算：抽签10个学生，以抽签的方式分配3张音乐会入场券，抽取
10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.求A={第五个抽签的学生抽到入场券}的概率。基本事件总数A事件总数第五个学生抽
到入场券另外9个学生抽取剩下9张＝0.192古典概率的计算：数字排列用1，2，3，4，5这五个数字
构成三位数没有相同数字的三位数的概率没有相同数字的三位偶数的概率个位百位十位匹配
问题某人写了4封信和4个信封，现随机地将信装入信封中，求全部装对的概率。解设“全部装对”为事件A
总的基本事件数为4！A所包含的基本事件数为1所以??概率的古典定义性质（1）（2
）（3）若A，B互斥，则几何概型GeometricProbability将古典概型中的有限性
推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型。事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中测度--------指长度、
面积或体积特点有一个可度量的几何图形S试验E看成在S中随机地投掷一点一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀
地刻有[0,5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度位于区间[2,3]上的概率。几何
概型的计算甲乙二人相约定6:00-6:30在预定地点会面，先到的人要等候另一人10分钟后，方可离开。求甲乙二人
能会面的概率，假定他们在6:00-6:30内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的。几何概型的计算：会面问题解设甲乙
二人到达预定地点的时刻分别为x及y（分钟）,则二人会面30301010yx几何概型的计算：布丰投针问题
设平面上画着一些有相等距离2a（a>0）的平行线，向此平面上投一枚质地匀称的长为2l（l交的概率。θd2al解设针的中点离较近直线的距离为d，针与较近直线的交角为θ。则d与θ的可取值为0
π几何概型性质（1）（2）（3）若A，B互斥，则一楼房共15层，
假设电梯在一楼启动时有10名乘客，且乘客在各层下电梯是等可能的。试求下列事件的概率：A1={10个人在同一层下}；A2={10
人在不同的楼层下}；A3={10人都在第15层下}；A4={10人恰有4人在第8层下}。总的基本事件数：各事件含有的基
本事件数分别为：A1A2A3A4
1解所以，各事件的概率为：………..1、从五双大小型号不同的鞋子中任意抽取四只，问能
凑成两双的概率是多少？总的基本事件数：有利事件数：解设“能凑成两双鞋”为事件A所以，所求概率为
2，一个圆的所有内接三角形中，问是锐角三角形的概率是多少？ABCOr解以A为起点，逆时针方向为正，B至A的曲线距离为x，C至A的曲线距离为y，则?ABC为锐角三角形或2，一个圆的所有内接三角形中，问是锐角三角形的概率是多少？?ABC为锐角三角形或解……..所求概率为直角三角形？钝角三角形？？3，掷两颗骰子，求事件“至少有一颗出现6点”，“点数之和为8”的概率。解总的基本事件数为事件A“至少出现一个6点”所包含的基本事件数为事件B“点数之和为8”所包含的样本点为所以 |
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