2.4随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布随机变量的函数的分布
在许多实际问题中,常常需要研究随机变量的函数的分布问题,例:☆测量圆轴截面的直径d,而关心的却是截面积：d为随机变量,
S就是随机变量d的函数。的分布。☆在统计物理中,已知分子的运动速度x的分布,求其动能：背景一般地，设y=
g(x)是一元实函数，X是一个随机变量，若X的取值在函数y=g(x)的定义域内，则Y=g(X)也为一随机变量。随机变量的函数随
机变量密度函数分布函数密度函数分布函数若X为离散型随机变量,其分布律为Xx1x2
x3．．．．．．．xn．．．．pkp1p2p3．．．．．
．．pn．．．．则随机变量X的函数Y=g(X)的分布律为Yg(x1)g(x2)g(x3)．．．
．．g(xn)．．．．pkp1p2p3．．．
．．pn．．．．如果g(xi)与g(xj)相同，此时将两项合并，对应概率相加．离散随机变量的函数的分布设随
机变量X的分布律为求Y=2X2+1的分布律．解例由题设可得如下表格X－101
2pk0.20.30.40.10.10.40.30.2概率931
3Y=2x2+1210-1x所以，y=2x2+1的分布律为y139
pk0.30.60.1解由题设可得如下表格设圆半径X的分布律为求周长及
面积的分布律．例X9.51010.511pk0.060.5
0.40.0422π21π20π19π周长0.040.40.50.06概率121π
110.25π100π90.25π面积1110.5109.5x解22π21π20π19π周长0.0
40.40.50.06概率所以，周长的分布律为0.040.40.50.06概率121π110.25π
100π90.25π面积面积的分布律为设X为一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)。y=
g(x)为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度函数(1)求Y的分布函数FY(y)根据分布函数的定义(2)
对FY(y)求导，得到fY(y)连续型随机变量的函数的分布一般方法设随机变量X的密度函数为求随机变量Y=2X+8
的概率密度。先求Y=2X+8的分布函数FY(y).解（1）（2）求Y=2X+8的概率密度解先求分布函数FY
(y)。设随机变量X服从正态分布求的概率密度。当时，所以，当
时，所以，推论定理正态分布的线性函数仍服从正态分布正态分布的标准化设X~N（0，1），其概率密度为
：则概率密度函数为：此时称Y服从自由度为1的分布,记作结论：若则 |
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