6.23个重要分布与抽样定理一、3个重要分布二、正态总体下的抽样定理统计量是样本
的不含任何未知数的函数，它是一个随机变量。统计量的分布称为抽样分布。由于正态总体是最常见的
总体，因此这里主要讨论正态总体下的抽样分布.由于这些抽样分布的论证要用到较多的数学知识，故在本节中，我们主要给出有
关结论，以供应用.正态总体样本均值的分布设总体，是
的一个样本,则样本均值服从正态分布U—分布概率分布的分位数(分位点)使P{X≥x?}=?，定义对总体X和给
定的?(0?分位数或上侧临界值.如图.?x?oyxP{X≥x?}=?若存在数?1、?2，使P{X≥?1}=P{X≤?2
}则称?1、?2为X分布的双侧?分位数或双侧临界值.oyx?2?1双侧?分位数或双侧临界值的特例当X的分布关
于y轴对称时，则称为X分布的双侧?分位数或双侧临界值.如图.若存在使yxO
U—分布的上侧分位数对标准正态分布变量U～N(0,1)和给定?的，上?分位数是由：P{U≥u?}
=即P{U而P{U≥1.645}=0.05所以，u0.05=1.645.U—分布的双侧分位数的点u?/2为标准正态分布
的双侧?分位数.如图.u?/2可由P{U≥u?/2}=?/2对标准正态分布变量U～N(0,1)和给定?的，
称满足条件P{|U|≥u?/2}=?即?(u?/2)=1-?/2反查标准正态分布表得到，P{U≥1.96}=0
.025例如，求u0.05/2，得u0.05/2=1.96?(x)Ou?/2?/2-u?/2?/2x标准正
态分布的分位数在实际问题中，?常取0.1、0.05、0.01.常用到下面几个临界值：u0.05=1.645，
u0.01=2.326u0.025=1.96，u0.005=2.575数理统计中常用的分布除正态
分布外，还有三个非常有用的连续型分布，即?2分布t分布F分布数理统计的三大分布(都是连续型).它们都与正态分布有密切
的联系.在本章中特别要求掌握对正态分布、?2分布、t分布、F分布的一些结论的熟练运用.它们是后面各章的基础.——分布
定义设总体，是的一个样本,则称统计量
服从自由度为n的分布，记作自由度是指独立随机变量的个数，分布的密度函数为0135
7911131517x0.50.40.30.20.1n=1n=4n=10图5-4f(y)
其图形随自由度的不同而有所改变.分布密度函数的图形满足的数为?2分布的上?分位数或上侧临
界值，其中f(y)是?2-分布的概率密度.f(y)xO?图5-5显然，在自由度n取定以后，的
值只与?有关.例如，当n=21，?=0.05时，由附表5可查得，32.67即?2分布的上?分位数?2分布的双侧?分
位数把满足的数称为?2分布的双侧?分位数或双侧临界值.见图.f(x)xO图6-4显然，为?2分
布的上分位数.为?2分布的上分位数.如当n=8,?=0.05时，2.1817.53
?2分布的数学期望与方差（补充）设?2～?2(n)，则E(?2)=n，D(?2)=2n.?2分布的可加性设且
相互独立，则设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体X～N(?，?2)的样本，则证明由已知，有Xi～N(?，?
2)且X1，X2，…，Xn相互独立，则且各相互独立，由定义得定理5.1设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总
体X～N(?，?2)的样本，则(1)样本均值与样本方差S2相互独立；(
2)(5.8)(5.8)式的自由度为什么是n-1？从表面上看，是n个正态随机变量的平方和，但实际上它们不是独立的，它
们之间有一种线性约束关系：=0这表明，当这个n个正态随机变量中有n-1个取值给定时，剩下的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这n
项平方和中只有n-1项是独立的.所以(5.8)式的自由度是n-1.定理5.1设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体
X～N(?，?2)的样本，则(1)样本均值与样本方差S2相互独立；(2)
(5.8)与以下补充性质的结论比较：性质设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体X～N(?，?2)的
样本，则三、t分布定义5.4设随机变量X～N(0，1)，Y～?2(n)，
且X与Y相互独立，则称统计量服从自由度为n的t分布，记作t分布的概率密度函数为T～t(n).其形状类似标准正态分布的
概率密度的图形.当n较大时，t分布近似于标准正态分布.当n较大时，t分布近似于标准正态分布.一般说来，
当n>30时，t分布与标准正态分布N(0，1)就非常接近.但对较小的n值，t分布与标准正态分布之间有较大差异.
且P{|T|≥t0}≥P{|X|≥t0}，其中X～N(0，1)，即在t分布的尾部比在标准正态分布的尾部有着更大的概率.t分布
的数学期望与方差（补充）设T～t(n)，则E(T)=0，D(T)=定理5.2设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体X
～N(?，?2)的样本，则统计量证由于与S2相互独立，且由定义5.4得定理5.3设(X1，X2
，…，Xn1)和(Y1，Y2，…，Yn2)分别是来自正态总体N(?1，?2)和N(?2，?2)的样本，且它们相互独立，则统计
量其中、分别为两总体的样本方差.(证略).t分布的上?分位数对于给定的?(0n)为t分布的上?分位数或上侧临界值，其几何意义见图5-7.f(t)tOt?(n)?图5-7t分布的双侧?分位
数由于t分布的对称性，称满足条件的数t?/2(n)为t分布的双侧?分位数或双侧临界值，其几何意义如图5-8所示.f(t)
tOt?/2(n)?/2?/2-t?/2(n)图5-8例如，当n=15，?=0.05时，查t分布表得，t0
.05(15)=t0.05/2(15)=1.7532.131其中t0.05/2(15)由
P{t(15)≥t0.025(15)}=0.025查得.但当n>45时，如无详细表格可查，可以用标准正态分布代替
t分布查t?(n)的值.即t?(n)≈u?，n>45.一般的t分布临界值表中，详列至n=3
0，当n>30就用标准正态分布N(0,1)来近似.四、F分布服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，定义5.5
设随机变量X～?2(n1)、Y～?2(n2)，且与相互独立，则称随机变量记作
F～F(n1，n2).概率密度函数其中性质：若X～F(n1，n2)，则～F(n2，n1).F分布的上?分位数对于给定
的?(0)xO?图5-7F?(n1,n2)其中f(y)是F分布的概率密度.F分布的上?分位数F?(n1,n2
)的值可由F分布表查得.附表分?=0.1、?=0.05、?=0.01给出了F分布的上?分位数.当时n
1=2,n2=18时，有F0.01(2,18)=6.01当?较大时，可用下面公式查表时应先找到相应的?值的表.例
如，≈0.166F分布的双侧?分位数称满足条件为F分布的双侧?分位数的或双侧临界值.见图.显然，为F分布的上
分位数；为F分布的上分位数；图6-4f(y)xO?/2?/2定理5.4为正态总体的样本容量和样本方差；设为正态总体的样本容量和样本方差；且两个样本相互独立，则统计量证明由已知条件知且相互独立，由F分布的定义有小结 |
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