7.1点估计第七章 参数估计点估计估计量的评选标准区间估计一、矩估计法二、极大似然估计法数理统计问题：如
何选取样本来对总体的种种统计特征作出判断。参数估计问题：知道随机变量（总体）的分布类型，但确切的形式不知道，根据样本
来估计总体的参数，这类问题称为参数估计。参数估计的类型——点估计、区间估计参数?的估计量设总体的分布函数为F(x,
?)（?未知），X1，X2，…，Xn为样本，构造一个统计量来估计参数
?，则称为参数?的估计量。将样本观测值代入
，得到的值称为参数?的估计值。
点估计（pointestimation)：如果构造一个统计量
来作为参数?的估计量，则称为参数?的点估计。区间估计（intervalestimation）：如果构造两个统计量
而用来作为参数?可能取值范围的估计，称为参数?的区间估计。参数的点估计点估计的方法：数字特征法、矩
法、极大似然法。样本的数字特征法：以样本的数字特征作为相应总体数字特征的估计量。以样本均值作为总体均值的点估
计量，即点估计值点估计值以样本方差作为总体方差的点估计量，即例1一批钢件的20个样品的屈服点
（t/cm2）为4.985.115.205.205.115.005.355.61
4.885.275.385.485.275.234.965.154.77
5.355.385.54试估计该批钢件的平均屈服点及其方差。解由数字特征法，得屈服点及方差的估计值为定义
设为随机变量，若存在,则称为的阶原点矩，记作
；若存在，则称为的
阶中心矩，记作样本的阶原点矩，记作样本的阶中心矩，记作
阶矩的概念参数的矩法估计矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量，即若总体X的分
布函数中含有m个参数?1,?2,…,?m,总体的k阶矩μk或νk存在，则或参数的矩法估计或得m个方
程构成方程组，解得的即为参数的矩估计量，代入样本观测值，即得参数的矩估计值。
矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量，即例2设某总体X的数学期望为EX=?，方差DX=?2，X1，X2，…，Xn为
样本，试求?和?2的矩估计量。解总体的k阶原点矩为样本的k阶原点矩为由矩法估计，应有所以结论：不管总
体X服从何种分布，总体期望和方差的矩估计量分别为样本均值、样本方差，即估计值为例3设X1，X2，…，Xn为总体X的样
本，试求下列总体分布参数的矩估计量。解（1）由于（2）由于所以参数?和?2的矩估计量为所以得参
数p的矩估计量为例3设X1，X2，…，Xn为总体X的样本，试求下列总体分布参数的矩估计量：解（3）由于
所以参数?的矩估计量为可见：同一个参数的矩估计量可以不同。所以统计量存在“优、劣”之分。或一阶矩
二阶矩例4设总体X服从[0，?]上的均匀分布，?>0，求?的矩估计量，X1，X2，…，Xn为X的一个样本。
解由于所以由矩法估计，得解得区间长度的矩估计量为解由于所以由矩法估计，得解得所以，参数的矩估计量为例5对容量为n的子样，求下列密度函数中参数的矩估计量。 |
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