§3矩阵的初等变换与初等矩阵第二章矩阵§2可逆矩阵与逆矩阵§1矩阵的概念与运算§4矩阵的秩与矩阵的分块
§3矩阵的初等变换与初等矩阵习题课一、矩阵的初等变换二、初等矩阵三、用初等变换求矩阵的逆1)用非零数k乘矩阵的
某一行（列）；2)把矩阵的某行(列)的k倍加到另一行(列)；3)互换矩阵中两行(列)的位置．一、矩阵的初等变换定义1
下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：矩阵A经初等行(列)变换变成矩阵B，一般地A≠B．若矩阵B可由A经过一系列
初等变换得到，则称A与B等价的．①矩阵的等价关系具有：反身性、对称性、传递性.矩阵的等价定义2注：1、如果矩阵A的
任一行从第一个元素起至该行的行阶梯形矩阵与行最简形矩阵第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全为0，则它的下面各行也全为0，
则称矩阵A为行阶梯形矩阵．2、满足下面条件的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵.(2)这些非零元素所在列的其余元素都是0.(1
)各非零行的第一个非零元素都是1；定理1任意一个矩阵总可以经过一系列初等行变换化成行阶梯形矩阵，并进而化为行最简形矩阵．
定理2任一矩阵A都与一形式为的矩阵等价，称之为A的标准形.其中r是行阶梯形矩阵非零行的行数.
由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.定义二、初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵:
(换法矩阵)(倍法矩阵)以数乘单位矩阵的第i行得
初等矩阵(消法矩阵)1初等矩阵皆可逆，且其逆仍为初等矩阵.初等矩阵的性质2引理对任一矩阵作一初等行(列)变换
相当于对左(右)乘一个相应的初等矩阵．:对换的两行；:对换的两列．：用
非零数乘的第行；：用非零数乘的第列．：的第行乘以加到第行;
：的第列乘以加到第列．1)矩阵A，B等价存在初等矩阵使2)n阶方阵
A可逆A的标准形为单位矩阵E.A与单位矩阵E等价.即3)n阶方阵A可逆A能表成一些初等矩阵的积,推论1推论2存
在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使两个矩阵A，B等价由此得“定理”的另一种叙述：对任一
矩阵A，存在可逆矩阵,使
，可逆矩阵可经一系列初等行(列)变换化成单位矩阵.三、利用初等变换求矩阵的逆原理:解例１ |
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