§4矩阵的秩与分块矩阵第二章矩阵§2可逆矩阵与逆矩阵§1矩阵的概念与运算§4矩阵的秩与分块矩阵§3
矩阵的初等变换与初等矩阵习题课一、矩阵的秩二、分块矩阵及其运算定义1一、矩阵的秩在一个m×n矩阵A中任意选定
k行k列个元素按原来次序所组成的k级行列式，称为矩阵位于这些行和列的交点上的A的一个k阶子式．注矩阵A
的k级子式共有个.个阶子式不等于0，且所有阶子式等于0．定义2（矩阵秩的定义）若矩阵
中有一①就是A的最高阶非零子式的阶数.零矩阵的秩规定为0.则称矩阵的秩为，记为②
的所有阶子式等于0；有一个阶子式不为0.
矩阵秩的性质与求法定义3设，若则称A为降秩矩阵；则称A为满秩矩阵.性质1定理1
A可逆的充要条件是A为满秩矩阵：A不可逆的充要条件是A为降秩矩阵.例1求下列矩阵的秩定理2初等变换不改变矩阵的秩.
行阶梯形矩阵的秩等于其中非零行的行数．方法用初等行变换化A为行阶梯阵J，等于中非零行的行数.例2求下列矩
阵的秩(1)解：对矩阵A作初等行变换化成行阶梯形由阶梯形矩阵有三个非零行可知则3阶子式便是A的一个最高阶非零子式.
性质5性质3若可逆，则性质2则性质4性质6性质7则二、分块矩阵
及其运算定义设A是一个矩阵，在A的行或列之间加上一些线，把这个矩阵分成若干小块．用这种方法被分成若干小块的矩阵叫做一个分块
矩阵．每一个分块的方法叫做A的一种分法．1、加法设A,B是两个矩阵，对它们分块矩阵的运算用同样的分法分块
:其中子块与为同型矩阵，则2、数量乘法设分块矩阵则3、乘法把矩阵分块成设分块矩阵则
4、转置例1设解则又于是例2设证明：D可逆，并求其逆．其中A,B分别为k级和
r级可逆矩阵，C为证∴D可逆.设逆阵于是即注 |
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