§3向量组的秩、向量空间简介第三章向量与向量空间§3向量组的秩、向量空间简介§2线性相关性的结论、极
大线性无关组§1n维向量的线性相关性§4向量的内积一、向量组的秩二、向量空间简介一、向量组的秩定义1
向量组的极大无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩，记作规定：零向量组的秩为0.定理1若一向量组的秩为r
,则该向量组中的任意r+1个向量都线性相关.推论若一向量组的秩为r,则该向量组中任意r个线性无关的向量
都是该向量组的极大无关组.定理2若向量组可由线性表示，则推论等
价的向量组的秩相同.定理3对任意向量组，有注：矩阵A的秩等于
它的列（行）向量组的秩.例1.设求向量组的秩和一个极大线性无关组，并用极大无关组表示其余向量.例
2.设向量组可由线性表示，
证明1）若矩阵A不可逆，则向量组线性相关.2）若线性无关，则
线性无关的充要条件是矩阵A可逆.1.基本概念二、向量空间简介设V是由n维向量组成的非空集合，若
则称V对于向量的加法和数乘两种运算封闭.定义2.设V是由n维向量组成的非空集合，若V对于向量的加法和数乘两种运算封闭，则
称V是一个向量空间.定理4：V是由n维向量组成的非空集合，则V是向量空间例3.判断下列集合是否为向量空间：例4.设
是n维向量组，则集合是一个向量空间，称为由生成的向量空间.定义3.则称是
的子空间.设V1,V2是两个向量空间，若注向量空间V至少有两个平凡子空间：零空间{0}及V本身，而其它的子空间
称为非平凡子空间．例5.若向量组可由线性表示，则
是的子空间.2.基变换与坐标变换定义4.向量空间V的一个极大线性无关组称为V的一个基，基所
含向量的个数称为V的维数，记作dimV.规定：零向量空间没有基，维数定义为0.是V的一个基的充要条件是i)线性无关；
判别.设是V中m个向量,则ii)V中任意向量都可由线性表示.
注.向量空间V的维数实际上就是向量组的秩.定理5：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r+1向量都线性相关.推论：设
V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r个线性无关的向量组都是V的一个基.V中任意向量可唯一表示为定义5.若
是向量空间V的一个基,则称数组为向量在基
下坐标.注：向量空间V中的向量在不同基下的坐标一般是不同的.（1）定义6设V是一个向量空间，为
V中的两个基，设①即，基变换则称矩阵为由基到基的过渡矩阵；称①或②为由基
到基的基变换公式．②（2）性质1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之
间的过渡矩阵．2）若由基过渡矩阵为A,则由基过渡矩阵为A-1.3
）若由基过渡矩阵为A,由基过渡矩阵为B，则由基过渡矩阵为AB. |
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