§4向量的内积第三章向量与向量空间§2线性相关性的结论、极大线性无关组§3向量组的秩、向量空间简介§
1n维向量的线性相关性§4向量的内积一、向量内积的概念与基本性质§4向量的内积二、标准正交基与正交矩阵定
义1．设有n维向量注：内积可用矩阵乘积表示为令称为内积.一、向量内积的概念与基本性质内积的
基本性质当且仅当时,向量的长度定义2称为向量的长度.特别地，当时，称
为单位向量.4)三角不等式3)柯西－布涅亚柯夫斯基不等式5）非零向量的单位化：设
为任意两非零向量，的夹角定义为向量的夹角定义3：①零向量与任意向量正交.注：②
即.设为任意两个向
量，若内积则称与正交或互相垂直，记作定义4：例1.证明勾股定理证：例2.已知试求解
：又通常称为与的距离，记作若非零向量两两正交，则称若
则是正交向量组.定理1：正交向量组必是线性无关向量组.定义5：之为正交向量组.若正交向
量组中每个向量都是单位向量，则称之为标准正交向量组.证：设非零向量两两正交.令则
由知故线性无关.注.向量空间中正交向量组所含向量个数不超过向量空间的维数.二、标准正交基和
正交矩阵1.标准正交基的定义定义6.设是向量空间V的一个基①若
是正交向量组，则称是V的一组正交基.②若
是标准正交向量组，则称是V的一组标准正交基.注：
由正交基的每个向量单位化，得到标准正交基.2.标准正交基的作用设为V的一个标准正交基，则(i)设
有(ii)这里(iii)化成正交基先把V的基再单位化得标准正交基3.标准正交基的构造─
施密特(Schimidt)正交化过程例3.把化成单位正交的向量组.解：令正交化再单位化即为所求．设
与是维向量空间Rn的两个标准正交基，它们之间过渡矩阵是即
4.标准正交基间的基变换或由于是标准正交基，所以 |
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