§3克拉默法则§3.6线性方程组解的结构第四章线性方程组§1消元法、线性方程组解的判定与解的性
质§2线性方程组解的结构§3克拉默法则一、克拉默法则二、克拉默法则的应用引入对方程组当
时，有唯一解其中在三元一次线性方程组求解时有类似结果即有方程组当
时，有唯一解其中自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的个数很多的线性方
程组——如n元一次线性方程组它的解是否也有类似的结论呢？一、克拉默法则定理1如果线性方程组（1）的系数矩阵的行列式
，则方程组(１)有唯一解其中是把行列式中第列所得的一个n级行列式，即的元素用方程组（1）的常数项
代换例1：解线性方程组解：方程组的系数行列式∴方程组有唯一解（3，－4，－1，1）. 例
2：设曲线通过四点求系数
撇开求解公式，可得下面的定理定理2如果线性方程组（1）有解，则（1）有唯一解的充要条件是系数行列
式（1）有无限多个解的充要条件是系数行列式（2）对于齐次线性方程组（2）的除零解外的解（若还有的话）称为非零解．
一定是它的解，称之为零解．定理3齐次线性方程组（2）必有解，且（2）只有零解的充要条件是系数行列式（2）有非零解
的充要条件是系数行列式．例3：问λ取何值时，齐次线性方程组有非零解?解:若方程组有非零解，则∴当
时，方程组有非零解．．例4：问λ取何值时，齐次线性方程组有非零解?解:若方程组有非零解，则∴当
时，方程组有非零解．例5设有方程组问λ取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限
多个解？并在有无限多个解时求其通解.解法一:对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵（1）当λ≠0且λ≠－3时，
R(A)=R()=3，方程组有唯一解；（2）当λ=0时，R(A)=1，R()=2，方程组无解；（3）当λ=－3时，R(
A)=R()=2，方程组有无限多个解.由此便得通解解法二:因系数矩阵A为方阵，故方程有唯一解的充分必要条件是系数
行列式|A|≠0.而因此，当λ≠0且λ≠－3时，方程组有唯一解. |
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