§2矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化§1特征值与特征向量、相似矩阵第五章矩阵的特征值与特征向量§2矩阵可对角
化的条件、实对称矩阵的对角化§2矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化一、矩阵可对角化的条件二、实对称矩
阵的对角化称矩阵A可对角化.定义1：矩阵A是一个阶方阵，若存在可逆矩阵，使为对角矩阵，即A与对角矩阵相似
，则一、矩阵可对角化的条件定理1：设矩阵A是一个阶方阵，则A可对角化有个线性无关的特征向量.
推论若n阶矩阵A有n个不同特征值，则A可对角化.定理2：设矩阵A是一个阶方阵，则A可对角化属于A的每个特征值
的线性无关特征向量的个数等于该特征值的重数.例1.设问为何值时，A可对角化？对角化的判断1°求出矩阵A的全部互
不相等的特征值2°对每一个特征值，求出齐次线性方程组步骤:的一个基础解系（此即A的属于的全部线性无关的特征向
量）.3°若全部基础解系所含向量个数之和等于n，则矩阵A可对角化；否则A不可对角化.4°以这些解向量为列，作一个n阶
方阵P，则P可逆，就是对角矩阵，对角矩阵对角线上元素是A的互不相等的特征值.例2.问A是否可
对角化？若可，求可逆矩阵P，使为对角矩阵.这里得A的特征值是2，2，-7.解:A的特征多项式为对于特征值2，求出齐
次线性方程组对于特征值－7，求出齐次方程组的一个基础解系:的一个基础解系:令则所以A可对角化.二、实对称矩
阵的对角化性质1设A是实对称矩阵，则A的特征值都是实数．证：设是A的任意一个特征值，则有非零向量满足其中
为的共轭复数，令又由A实对称，有由于是非零复向量，必有故考察等式，注（1）对称矩阵的特征值未必是实数
．（2）特征值皆为实数的实矩阵未必是实对称矩阵．（3）反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数． |
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