1.焦同学是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
（1）若测得（如图1），求的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
2.如图2所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1．0），B(-1.2)，D(3.0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到O/V，若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N。
（1）求抛物线的解析式
（2）抛物线上是否存在点P．使得PA=PC．若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理由。
（3）设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q在什么位置时有最大？并求出最大值。
3.已知抛物线的顶点是C（0，a）（a＞0,a为常数），并经过点（2a,2a）,点D(0，2a)为一定点．
⑴求含有常数a的抛物线的解析式；
⑵设点P是抛物线上任意一点，过P作PH⊥x轴，垂足是H，求证：PD=PH；
⑶设过原点O的直线与抛物线在第一象限相交于A、B两点，若DA=2DB，且,求a的值．
.将抛物线c1：y=-x2+沿x轴翻折，得抛物线c2,如图所示.
（1）请直接写出抛物线c2的表达式.
（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.
①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.
.（本题满分12分）如图1，抛物线y=ax2＋bx＋3经过A（－3，0），B（－1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=－2x＋9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点．问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1
A
B
C
D
O
E
N
M
x
y
图9
（3题图）
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