收稿日期：2008-03-04
作者简介：黎军(1972-)，男，路桥讲师
研究方向：工程测量技术及专业教学
由于GPSRTK技术、全站仪极坐标放样技
术及便携式计算机在线路测设中的广泛应用，使
得基于整条线路统一坐标系的坐标测设法成为线
路放样测量的主要方法。在公路中线坐标计算中，
交点法是通常采用的传统方法，但这种方法在计
算不同的曲线上时需用到不同的公式，这为计算
带来不便，也增加了计算编程的难度，在带缓和
曲线的小半径圆曲线或是卵形曲线上的坐标计算
时，如公式选用不当就会出现较大计算误差。相
较而言，采用线元法不仅能用单一公式解决不同
曲线线形或直线上的坐标计算问题，使编程大大
简化，并且能达到足够高的计算精度，尤其在计
算第二缓和曲线和卵形曲线时显得优势明显，因
此在工程实践中得到了越来越广泛的采用。
1线元法的概念
公路平面线形由直线及曲线组成。曲线又根
据具体形式分为标准曲线、复曲线、S形曲线或
其他各种形式的复杂线形。但各种各样的线形总
是由直线、圆曲线及缓和曲线(回旋线)组合而成
的，故称直线段、圆曲线和缓和曲线为组成平面
线形的单元，即“线元”，它是构成公路平面线
形的基本元素。一条复杂多变的公路平面线形总
是由若干个线元首尾相连而构成的。一旦各个线
元确定，公路的平面线形也就随之而定。
线元法(亦称积木法)，它是将组合复杂的公
路平面线形“化整为零”，分解成若干个线形单
元。若已知路线平面曲线的起点信息如坐标、切
线方向和曲率半径，则从起点处开始设置任何一
单元，沿任何方向延伸，此单元终点的信息如坐
标、切线方位角、曲线半径都可以计算出来，同
时，将其作为下一单元起点的相同信息加以利
用。如此逐个单元往下计算，似同搭积木一样，
文章编号:1671-8496-(2008)02-0020-03
详解用线元法计算公路中线坐标
黎军
(广东省交通高级技工学校，广东广州510507)
摘要：阐明了线元法的概念及意义，介绍了利用线元法计算公路中线坐标的过程及Gauss-Legendre公式
的计算方法。
关键词：线元；线元法；公路中线坐标；曲率；切线方位角；Gauss-Legendre公式
中图分类号：U412.2文献标识码：A
ExplaintheMethodofCalculationtheCoordinatesofthe
CenterLineofRoadbyLinearElementMethod
LIJun
(GuangdongProvincialSeniorCommunicationsTechnicalSchool,Guangzhou510520,China)
Abstract:Thedefinitionandsignificanceoflinearelementmethodisclarified.Theprocessofcalculationthecoordi-
natesofthecenterlineofroadandthemethodofcalculationtheGauss-Legendreformulabylinearelementmethodis
introduced,too.
Keywords:linearelement;linearelementmethod;thecoordinatesofthecenterlineofroad;curvature;tangentazimuth;
Gauss-Legendreformula
第7卷第2期广东交通职业技术学院学报Vol.7No.2
2008年6月JOURNALOFGUANGDONGCOMMUNICATIONSPOLYTECHNICJune2008
第2期黎军：详解用线元法计算公路中线坐标
各个单元首尾连接，构成一条连续完整的公路平
面线形。
如图1所示，某立交匝道一卵形曲线(卵形
曲线相关参数见图，其计算略)，若要用线元法
计算卵形曲线中桩坐标，首先要将卵形曲线分解
为若干个线元，图中曲率数据按照线元划分整理
于表1：
线元法的解算常用到数值积分当中的两个公
式：复化辛卜生公式、Gauss-Legendre公式，两
个公式来计算近似积分值，求出公路中线坐标。
这两个公式各自导出的通用公式都可以说是计算
公路中线坐标的万能公式，可解决任意曲线的计
算问题，能够具有很高的精度。本文将对5节点
Gauss-Legendre通用公式进行介绍。
2线元法计算参数
线元法计算参数有：线元起点里程、起点曲
率、起点坐标、起点处切线方位角、线元终点里
程、终点曲率。
线元法计算是以每一单独线元为计算对象，
依次往前计算，如图1，先计算ZH~HY1(第一线
元)的中线坐标，才能对下一线元进行计算，以
保证下一线元(HY1~YH1段)具备足够的已知参数
(HY1的坐标及切线方位角)。
3曲线上点位切线方位角的计算
如图2，设回旋曲线起点A的曲率为!
A
，其
里程为Z
A
；回旋曲线终点B的曲率为!
B
，其里程
为Z
B
，Ax''y''为以A为坐标原点、以A点切线为x''
轴的局部坐标系；AXY为线路统一坐标系。
由于回旋曲线上各点曲率半径R
i
和该点离曲
线起点的距离l
i
成反比，故此任意点的曲率为：
!
i
=1/R
i
=l
i
/c(c为常数)
由上式可知，回旋曲线任意点的曲率按线性
变化，由此回旋曲线上里程为Z
i
点的曲率为：
!
i
=!
A
+
!
B
-!
A
Z
B
-Z
A
(Z
i
-Z
A
)(1)
式中：当曲线右偏时，!
A
，!
B
取正；当曲线
左偏时!
A
，!
B
取负。
在图2中有：
d"=
1
R
i
dl=!
i
dl
"
i
=
Z
i
Z
A
!
!
i
d
"
$
#
$
%
l
(2)
将式(1)代入式(2)得:"
i
=(!
i
+!
A
)(Z
i
-Z
A
)
90
!
(3)
若已知回旋曲线起点A切线坐标方位角#
A
，
则里程为Z
i
点切线坐标方位角为#
i
=#
A
+"
i
，即：
#
i
=#
A
+(!
i
+!
A
)(Z
i
-Z
A
)
90
!
(4)
公式(1)、(4)说明：一段缓和曲线上若已知
起点、终点的里程及曲率，并已知起点的切线坐
标方位角，便可求得该段缓和曲线上任一里程处
的切线方位角，用公式求得的终点处的切线方位
角就可以作为下一线元的起点数据，从而达到继
续往前推算的目的。
4用Gauss-Legendre公式计算曲线中桩
坐标
线元编号曲线类型起终点起终点曲率
①缓ZH～HY10～1/50
②圆HY1～YH11/50～1/50
③缓YH1～HY21/50～1/75
④圆HY2～YH21/75～1/75
⑤缓YH2～HZ1/75～0
表1某卵形曲线参数值
21
广东交通职业技术学院学报第7卷
Gauss-Legendre公式与其它数值积分公式相
比，具有节形式简单、更便于计算机编程的特
点，且5节点Gauss-Legendre公式能以足够高的
精度满足各种线路构形的坐标计算，可以说是计
算曲线中桩坐标的万能通用公式，公式的推导在
此不作论述，本文只介绍该公式的具体运用，公
式如下：
X=X
A
+l
5
i=1
!Ricos
[!
A
+("
A
V
i
l+
"
AB
V
i
2
2L
s
l
2
)
180
!
]
Y=Y
A
+l
5
i=1
!Risin
[!
A
+("
A
V
i
l+
"
AB
V
i
2
2L
s
l
2
)
180
!
"
$
$
#
$
$
%
]
(5)
式中：
X、Y———线元上所求任意点坐标；
l———任意点到线元起点的弧长，即Z
i
-Z
A
；
X
A
、Y
A
———线元起点的坐标；
!
A
———线元起点的切线方位角；
L
s
———线元的长度，即Z
B
-Z
A
；
"
A
、"
B
———起终点曲率(左偏时取“-”号，
右偏取“+”号)；
"
AB
———线元起终点曲率之差，即"
B
-"
A
。
公式表明，只要知道线元起点在线路坐标系
中的坐标、方位角以及起终点的弧长及曲率差，
就能唯一确定距起点一定弧长的点的坐标值。
为了明晰运用该公式进行编程计算的思路，
算例如下：
如图1，设已推算得第三线元起点YH
1
坐标
(9910.603,10136.791)，切线方位角205°24''33.6"。
现用Gauss-Legendre公式来计算+240坐标。
解：由图可知：+240所在线元起终点曲率
"
A
=1/50，"
B
=1/75
起终点里程Z
A
=223.715，Z
B
=271.881，所求
点里程=240
l=240-223.71=16.285(m)
L
s
=271.881-223.715=48.166(m)
"
AB
=1/75-1/50=-0.006666666667
R
i
、V
i
数值直接代入公式，计算过程如表2
所示。
其中：
R
1
=R
5
=0.1184634425
R
2
=R
4
=0.2393143352
R
3
=0.2844444444
V
1
=1-V
5
=0.0469100770
V
2
=1-V
4
=0.2307653449
V
3
=0.
&
$
$
$
#
$
$
$
%
5
5结论
用线元法能解决路线上任意线形的中线坐标
计算问题，同时在计算中线坐标过程中，能利用
文中的公式(1)、(4)计算出中线点位的切线方位
角，进而可以很容易地算出法线方位角及边桩坐
标，这样就使得路线中桩、边桩坐标的共同计算
变得简便易行，方便编程的优点也使它在目前的
工程实践中能够得到越来越广泛的采用。
参考文献：
[1]张延楷.高速公路线形设计[M].上海：同济大学出版
社，1997.
[2]李全信.线路中边桩坐标计算的通用Gauss-Legendr公
式[J].工程勘察，2002(3).
00
1-0.1062169691-0.05245514927
2-0.2079593159-0.1184224122
3-0.2344826034-0.1610172371
4-0.1856084274-0.1510657562
5-0.08770276126-0.0796355001
0
-0.8219700771-0.5625977647
R
i
cos[!
A
+("
A
V
i
l+
"
AB
V
i
2
2L
s
l
2
)
180
!
]=
R
i
cos[205°24''33.6"+(
16.285
50
V
i
+
-0.006666666667V
i
2
2×48.166
16.285
2
)
180
!
]
R
i
sin[!
A
+("
A
V
i
l+
"
AB
V
i
2
2L
s
l
2
)
180
!
]=
R
i
sin[205°24''33.6"+(
16.285
50
V
i
+
-0.006666666667V
i
2
2×48.166
16.285
2
)
180
!
]
i
X=X
A
+l
5
i=1
!Ricos
[!
A
+("
A
V
i
l+
"
AB
V
i
2
2L
s
l
2
)
180
!
]
=9910.603+16.285×(-0.8219700771)=9897.2172(m)
Y=Y
A
+l
5
i=1
!Risin
[!
A
+("
A
V
i
l+
"
AB
V
i
2
2L
s
l
2
)
180
!
]
=10136.791+16.285×(-0.5625977647)=10127.6291(m)
!
表2用Gauss-Legendre公式计算曲线中桩坐标
22
|
|
