如何证明圆的切线
证明直线是圆的切线，通常有的方法：
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．
【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30o．求证：DC是⊙O的切线．
思路：要想证明DC是⊙O的切线，只要我们连接OC，证明∠OCD＝90o即可．
证明：连接OC，BC．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90o．
∵∠CAB＝30o，∴BC＝AB＝OB．
∵BD＝OB，∴BC＝OD．∴∠OCD＝90o．
∴DC是⊙O的切线．
【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD＝90o时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD＝90o．
二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．
【例】如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．
思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．
证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠1＝∠2．
∵OC＝OA，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．
∴AC平分∠DAB．
【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例】如图，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．
思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC＝90o即可．
证明：连接OD．
∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．
∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．
又∵OB＝OD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC．
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90o．∴∠ODC＝90o．
∴DC是⊙O的切线．
【评析】本题综合运用了圆的切线的性质与判定定理．一定要注意区分这两个定理的题设与结论，注意在什么情况下可以用切线的性质定理，在什么情况下可以用切线的判定定理．希望同学们通过本题对这两个定理有进一步的认识．本题若作OD⊥CD，就判断出了CD与⊙O相切，这是错误的．这样做相当于还未探究、判断，就以经得出了结论，显然是错误的．
、已知直线与圆的公共点时只需连接该公共点和圆心，证明该半径垂直于已知直线
【例】如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？
解：AC是⊙O的切线．
理由：连接OC，
因为OC=OB，
所以∠OCB=∠B．
因为∠COD是△BOC的外角，
所以∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．
因为∠ACD=2∠B，
所以∠ACD=∠COD．
因为CD⊥AB于D，
所以∠DCO+∠COD=90°．
所以∠DCO+∠ACD=90°．
即OC⊥AC．
因为C为⊙O上的点，
所以AC是⊙O的切线．
【例】如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．
证明：连接OC，则OA=OC，
所以∠CAO=∠ACO，
因为AC平分∠EAB，
所以∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，
所以AE∥CO，
又AE⊥DE，
所以CO⊥DE，
所以DE是⊙O的切线．
、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径
【例】如图3，AO是△ABC的中线，⊙O与AB边相切于点D．
（）要使⊙O与AC边也相切，应增加条件_______________________．（任写一个）
（）增加条件后，请你证明⊙O与AC边相切．
解:（）答案不唯一，可以是∠B=∠C，AB=AC，∠BAO=∠CAO，AO⊥BC等．
（）增加条件∠B=∠C后，⊙O与AC边相切．
证明:连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．
因为⊙O与AB相切于点D，
所以∠BDO=∠CEO=90°．
因为AO是△ABC的中线，所以OB=OC．
又因为∠B=∠C，
所以△BDO≌△CEO，所以OE=OD．
因为OD是⊙O的半径，
所以OE是⊙O的半径．
所以⊙O与AC边相切．
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图3
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