初三数学题集锦已知抛物线y=x2-4x+1，将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线．（1）求平移后的抛物线解析式；
（2）由抛物线对称轴知识我们已经知道：直线x=m，即为过点（m，0）平行于y轴的直线，类似地，直线y=m，即为过点（0，m）平行
于x轴的直线、请结合图象回答：当直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点，实数m的取值范围提示：（1）将已知的抛物线化为顶点式
，然后根据“左加右减，上加下减”的平移规律进行解答；（2）画出两个抛物线的大致图象，可以看出只有当直线y=m在直线y=-3上方时
，直线y=m与两个抛物线才有4个交点；（m=1除外，因为当m=1时，y=m与两条抛物线只有3个交点）：（1）由题意，得：y=x
2-4x+1=（x-2）2-3；向左平移4个单位，得y=（x+2）2-3；∴平移后抛物线的解析式为y=x2+4x+1；（2）
由（1）知，两抛物线的顶点坐标分别为（2，-3）和（-2，-3），与y轴的交点为（0，1）；由图象知，若直线y=m与两条抛物线有
且只有4个交点时，m＞-3且m≠1；对于任意实数t，抛物线y=x2+（2-t）x+t必经过一定点，这个点是（）A、（1，
0）B、（-1，0）C、（-1，3）D、（1，3）提示：通过对函数式的整理，使含t的项的系数为0，就可以求对任意实数t
，抛物线必经过一定点的坐标．解：∵y=x2+（2-t）x+t=x2+2x+t（1-x），∴当x=1时，y=1+2+0=
3，即点（1，3），∴抛物线y=x2+（2-t）x+t必经过一定点（1，3）．故选D．本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解
析式的关系，掌握函数上特殊点（1，0），（-1，0）与函数关系式的特殊关系．这是常见的解题方法．（2009?梅州）：①tan
∠EAB的值为（）②证明：FG是⊙O的切线；（2）BE能否与⊙O相切（若能，写出此时DE的长；若不能，填不能即可）．提示
（1）①在Rt△ADE中，已知了DE、AD的长，可求出∠DEA的正切值．由于∠DEA和∠EAB是两条平行线的内错角，因此它们的正
切值相等，由此得解；②连接OF，证OF⊥FG即可；由于O、F分别是AE、AB的中点，因此OF是△ABE的中位线，即OF∥BE，由
于FG⊥BE，可证得OF⊥FG，即可得出所证的结论；（2）先假设BE能与⊙O相切，则AE⊥BE，即∠AEB=90°；易证得△AD
E∽△ECB，可得：AD：DE=EC：CB；设DE的长为x，然后用x表示出CE的长，代入上面的比例关系中，可得出一个关于x的一元二
次方程，若BE能与⊙O相切，那么方程的解即为DE的长；若方程无解，则说明BE不可能与⊙O相切．解法：：（1）②法一：在矩形A
BCD中，AD=BC，∠ADE=∠BCE，又CE=DE，∴△ADE≌△BCE，得AE=BE，∠EAB=∠EBA，连接OF，则
OF=OA，∴∠OAF=∠OFA，∠OFA=∠EBA，∴OF∥EB，∵FG⊥BE，∴FG⊥OF，∴FG是⊙O的切线；（
法二：提示：连EF，DF，证四边形DFBE是平行四边形．）（2）法一：若BE能与⊙O相切，∵AE是⊙O的直径，∴AE⊥BE
，则∠DEA+∠BEC=90°，又∠EBC+∠BEC=90°，∴∠DEA=∠EBC，∴Rt△ADE∽Rt△CEB，∴，
设DE=x，则EC=5-x，AD=BC=3，得，整理得x2-5x+9=0，∵b2-4ac=25-36=-11＜0，∴该方程
无实数根，∴点E不存在，BE不能与⊙O相切；法二：若BE能与⊙O相切，因AE是⊙O的直径，则AE⊥BE，∠AEB=90°，设
DE=x，则EC=5-x，由勾股定理得：AE2+EB2=AB2，即（9+x2）+[（5-x）2+9]=25，整理得x2-5x+9
=0，∵b2-4ac=25-36=-11＜0，∴该方程无实数根，∴点E不存在，BE不能与⊙O相切．（法三：本题可以通过判断
以AB为直径的圆与DC是否有交点来求解）本题主要考查了圆周角定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形的应用等知识．
涉及的知识点较多，难度较大．随着句容近几年经济的快速发展，人民生活水平逐步提高，市场对鱼肉的需求量逐年增大．某农户计划投资养殖鱼
和生猪，根据市场调查与预测，养殖生猪的利润与投资量成正比例关系，如图①所示；养殖鱼的利润与投资量成二次函数关系，如图②所示（利润与
投资量的单位：万元）（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（4分）xyO121P(1,2)图①（2）如果该农户准备以共计
8万元资金投入养殖鱼和生猪，假设他将其中的t万元投入养殖鱼，剩下的资金全部投入养殖生猪，请你运用所学的知识帮助该农户得出他至少可以
获得的利润是多少？该农户能否获得最大的利润？若能，请求出最大利润是多少？若不能，请说明理由。（5分）解：（1）y1=2x（2分）
y2=―x2（4分）（2）设所获总利润为y万元，则y=t2＋2(8－t)=t2－2t＋16（0≤t≤8)
（6分）∵＞0当t=2时，y=14（8分）由0≤t≤8，根据增减性，当x
=8时，y=32（9分）∴农场至少获得14万元，当将8万元全部用于养殖鱼时，最多获得32万元。如图，P
A为⊙O的切线，A为切点.过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E.（1）
求证：PB为⊙O的切线；（2）若tan∠ABE=，求sinE的值.(1)连接OA.∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO=90°
∵OA=OB,OP⊥AB于C,???????∴BC=CA,PB=PA∴△PBO≌△PAO,???∴∠PBO=∠PAO=90
°∴PB为⊙O的切线(2)连接AD,∵BD是直径，∠BAD=90°由(1)知∠BCO=90°,∴AD∥OP?∴△ADE
∽△POE?∴EA/EP=AD/OP由AD∥OC得AD=2OC∵tan∠ABE＝1/2,∴OC/BC=1/2.设OC=t,
则BC=2t,AD=2t∵△PBC∽△BOC?∴PC=2BC=4t,OP=5t∴EA/EP=AD/OP=2/5???可设E
A=2m.EP=5m,则PA=3m∵PA=PB??∴PB=3m,?????∴sinE=3/5如图，在平行四边形ABCD中，
AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD，一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥
AD．（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；（2）设直线PM在运动过程中扫过平行四边形ABCD的
面积为Scm2，求S关于t的函数关系．提示（1）在三角形AEP中，AP=2，∠A=60°，利用三角函数可求出AE和PE，即可求
出面积；（2）①此题应分情况讨论，因为两个动点运动速度不同，所以有点P与点Q都在AB上运动、点P在BC上运动点Q仍在AB上运动、
点P和点Q都在BC上运动三种情况，在每种情况下可利用三角函数分别求出我们所需要的值，进而求解．②在①的基础上，首先①求出函数关系
式之后，根据t的取值范围不同函数最大值也不同．：（1）当点P运动2秒时，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=．（2
分）∴S△APE=（4分）（2）①当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，如图所示：设PM与AD交于点G，QN与A
D交于点F，则AQ=t，AF=，QF=AP=t+2，AG=1+，PG=+t．∴此时两平行线截平行四边形ABC
D的面积为S=（8分）当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动．如图所示：设PM与DC交于点
G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，DF=4-，QF=t，BP=t-6，CP=10-t，PG=而B
D=4，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=．（10分）当8≤t≤10时，
点P和点Q都在BC上运动．设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=20-2t，QF=（20-2t），CP=10-t，PG=．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=此题解答需数形结合，把函数知识和几何知识紧密联系在一起，难易程度适中．Oxy1212图②Q(2,2)xyO121P(1,2)图①12 |
|
