2008年高考理科数学试题及参考答案（天津卷)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
是虚数单位，
(A)(B)1(C)(D)
（2）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为
(A)2(B)3(C)4(D)5
（3）设函数，则是
(A)最小正周期为的奇函数(B)最小正周期为的偶函数
(C)最小正周期为的奇函数(D)最小正周期为的偶函数
（4）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是
(A)(B)
(C)(D)
（5）设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为
(A)6(B)2(C)(D)
（6）设集合，则的取值范围是
(A)(B)
(C)或(D)或
（7）设函数的反函数为，则
(A)在其定义域上是增函数且最大值为1
(B)在其定义域上是减函数且最小值为0
(C)在其定义域上是减函数且最大值为1
(D)在其定义域上是增函数且最小值为0
（8）已知函数，则不等式的解集是
(A)(B)
(C)(D)
（9）已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令
，则
(A)(B)(C)(D)
（10）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有
(A)1344种(B)1248种(C)1056种(D)960种
第Ⅱ卷
注意事项：
1答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上
3本卷共12小题，共100分。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）
的二项展开式中，的系数是（用数字作答）.
（12）一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为.
（13）已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称.直线与圆C相交于两点，且,则圆C的方程为.
（14）如图，在平行四边形中，，
则.
（15）已知数列中，，则.
（16）设，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为.
三、解答题（本题共6道大题，满分76分）
.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
（18）（本小题满分12分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.
（Ⅰ）求乙投球的命中率；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形.
已知.
（Ⅰ）证明平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角的大小.
（20）（本小题满分12分）
已知函数，其中.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.
（21）（本小题满分14分）
已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是.
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.
（22）（本小题满分14分）
在数列与中，，数列的前项和满足
,为与的等比中项，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列与的通项公式；
（Ⅲ）设.证明：.
参考答案
选择题：
（1）A（2）D（3）B（4）C（5）B
（6）A（7）D（8）C（9）A（10）B
填空题：
（11）40（12）24（13）
（14）3（15）（16）
三、解答题：
（17）
解：（Ⅰ）因为，所以，于是
（Ⅱ）因为，故
所以
（18）
解：
（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B
由题意得
解得或（舍去），所以乙投球的命中率为
（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知
可能的取值为0，1，2，3，故
的分布列为
0 1 2 3 的数学期望
（19）
解：（Ⅰ）证明：在中，由题设可得
于是.在矩形中，.又，
所以平面.
（Ⅱ）证明：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.
在中，由余弦定理得
由（Ⅰ）知平面，平面，
所以，因而，于是是直角三角形，故
所以异面直线与所成的角的大小为.
（Ⅲ）解：过点P做于H，过点H做于E，连结PE
因为平面，平面，所以.又，
因而平面，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，
，从而是二面角的平面角。
由题设可得，
于是再中，
所以二面角的大小为．
（20）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解：，由导数的几何意义得，于是．
由切点在直线上可得，解得．
所以函数的解析式为．
（Ⅱ）解：．
当时，显然（）．这时在，上内是增函数．
当时，令，解得．
当变化时，，的变化情况如下表：
＋ 0 － － 0 ＋ ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ 所以在，内是增函数，在，内是减函数．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．
从而得，所以满足条件的的取值范围是．
（21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．
（Ⅰ）解：设双曲线的方程为（）．由题设得
，解得，所以双曲线方程为．
（Ⅱ）解：设直线的方程为（）．点，的坐标满足方程组
将①式代入②式，得，整理得．
此方程有两个一等实根，于是，且．整理得．③
由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足
，．
从而线段的垂直平分线方程为．
此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，．
将上式代入③式得，整理得，．
解得或．
所以的取值范围是．
（22）本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分
（Ⅰ）解：由题设有，，解得．由题设又有，，解得．
（Ⅱ）解法一：由题设，，，及，，进一步可得，，，，猜想，，．
先证，．
当时，，等式成立．当时用数学归纳法证明如下：
（1当时，，等式成立．
（2）假设时等式成立，即，．
由题设，
①的两边分别减去②的两边，整理得，从而
．
这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立．
综上所述，等式对任何的都成立
再用数学归纳法证明，．
（1）当时，，等式成立．
（2）假设当时等式成立，即，那么
．
这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的都成立．
解法二：由题设
①的两边分别减去②的两边，整理得，．所以
，
，
……
，．
将以上各式左右两端分别相乘，得，
由（Ⅰ）并化简得，．
止式对也成立．
由题设有，所以，即，．
令，则，即．由得，．所以，即，．
解法：由题设有，，所以
，
，
……
，．
将以上各式左右两端分别相乘，得，化简得
，．
由（Ⅰ），上式对也成立．所以，．
上式对时也成立．
以下同解法二，可得，．
（Ⅲ）证明：．
当，时，
．
注意到，故
．
当，时，
当，时，
．
当，时，
．
所以．
从而时，有
总之，当时有，即．
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