高三数学运用逆向思维开展研究性学习的课例研究
同济二附中数学组卜荣利
一、研究背景
“研究性学习”课程开始实施已经一段时间了，要求各门学科都要渗透研究性学习的思想，研究性学习是指学生在教师指导下，从学习生活和社会生活中选择和确定研究专题，主动地获取知识、应用知识、解决问题的活动。它逆向思维是人们重要的一种思维方式。它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深入地进行探索，树立新思想，创立新形象。当大家都朝着一个固定的思维方向思考问题时，而你却独自朝相反的方向思索，这样的思维方式就叫逆向思维。30个球队参加全国足球锦标赛，比赛采用每输一场即淘汰的方法，且每场比赛都要决出胜负．试问一共要进行多少场比赛才能最后决出冠军队？
二、例题选讲
例1、（2005年上海高考）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明
例2、（自编）对于给定的负数，请你设计一个一次函数及一个常数，使得当且仅当时，函数的图象在轴的下方．
例3、（2005年福建高考）已知数列{an}满足a1=a,an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：
（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；
（Ⅱ）设数列{bn}满足b1=－1,bn+1=，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}
三、小结交流（略）
2、教学片断（略）
3、教研组评议
课题的引入还可以，但最好选用一个符合实际的真实的例子。“从结论入手”实质是利用逆向思维解题。三个例题总体难度较大，每个例题研究的不深不透，建议集中精力来研究例题1，在学生给出解法后，再进一步追问可不可以交换f(x)和g(x)，通过对f(x)和g(x)本质关系的揭示，尝试改变问题的条件或结论，不失时机的开展研究性学习。
4、自我反思
运用逆向思维在某些时候的确能起到事半功倍的效果。研究性学习也可以在课堂教学中开展，可以结合上海高考对研究性学习的要求，通过对问题的深入的研究，将原问题变为开放性的新问题，在研究中提高分析问题和解决问题的能力。
（二）第二次上课
1、教学设计
一、引入铺垫
解决数学问题要有思维方法，有些思维方法来源于生活实践．先看这样一个问题：2008年北京奥运会女子射箭个人赛共有64名参赛选手，比赛采用淘汰制，每赛一场淘汰一名选手．试问一共要进行多少场比赛才能最后决出冠军？
引例若，则满足此条件的一组函数可以是
预设：
二、问题解决
例题（2005年上海高考）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明
三、延伸探究
探索一：若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明
探索二：若①，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明
模仿例题，尝试将位置①的内容加以改变，提出新的问题，并予以解答。
四、小结交流（略）
2、教学片断
。。。。。。（PPT显示例题后）
师：如何设计函数，及一个的值？
生：可取f(x)=sinx+cosx,α=
师：你是怎么想到的？
生：因为cos2x=(sinx+cosx)(cosx-sinx).
师：这样满足要求吗？
生：这样g(x)=f(x+α)=sin(x+)+cos(x+)=cosx-sinx,
于是f(x)·f(x+α)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)=cos2x.满足要求.
师：思考一：取f(x)=cosx-sinx,如何？
生：不可以。
师：为什么？
生：因为f(x)和g(x)是有一定关系的，g(x)=f(x+α)中的α是的正数。
师：能否从图像的角度解释f(x)和g(x)的关系？
生：函数g(x)=f(x+α)的图像是将函数f(x)图像向左平移α个单位得到的。
师：完全正确。
。。。。。。
师：思考二：取f(x)=1-sinx,,如何？
生：可以。
。。。。。。（研究完解法一和解法二后）
师：还有其它解法吗？
生：。。。。。。
师：可以考虑转化为引例的形式。
生：
令，
则
于是f(x)·f(x+α)=cos2x.
师：很好
。。。。。。
师：思考三：取f(x)=cosx-1,如何？
生：不可以。
。。。。。。
师：以上用解法一和解法二完成了例题的解答，但解答过程中我们也留下了两个缺憾，就是思考一和思考三，这些都在命题者的设计当中。现在假设你是命题者，能否来弥补一下这两个缺憾？也就是说，你能否通过改变命题的条件，使得解答者按照思考一或思考三也能完成题目的解答？
。。。。。。（思考讨论中）
预设1：f(x+α)变为；
[解：令]
预设2：f(x+α)变为；
[解：令]
。。。。。。
3、教研组评议
课题引入切合实际，引例设计承上启下，例题逐句分段显示有利于理解题意，几何画板演示图像的平移效果直观明显，思考一、思考二和思考三是对问题的深度挖掘，开放性的问题设计是开展研究性学习的有效途径。
4、教研员的点评-------与刘达老师的交流
刘：卜老师，首先感谢您为我们呈现了一堂非常精彩的高三数学复习课。对于本堂课的教学设计，能否请您先为大家来介绍一下设计思路和教学目标？
卜：本课是高三复习课。其目的是通过对一个三角函数问题的解决与深入研究，让学生进一步加深对三角公式、三角函数图像与性质的理解和应用，并体验运用逆向构造的思维策略开展研究性学习的数学问题研究和解决的过程。
我对本节课的教学目标是这样设计的：
1、研究并解决一个三角函数问题，进一步加深对三角公式内在联系的理解；
2、在问题的探究和解决过程中，体验逆向构造、化归转化、数形结合等数学思想方法，体验研究数学问题的一些基本策略；
3、进一步形成研究性学习的方式、养成质疑求真的科学态度．
本节课的教学重点：三角函数性质的再认识与逆向构造方法在解题中的运用．
本节课的教学难点：对问题的本质属性的剖析和问题的拓展研究．
刘：回顾本节课，我觉得您的教学流程比较清晰地呈现出了三个主要环节：
引入铺垫——这一步分了两个层面
（1）思维策略：从北京奥运会女子射箭个人赛的比赛赛制来研究比赛场次（逆向思维）；
（2）思想方法：通过一个简单的三角问题，为之后的高考题的解决提供方法上的参考（构造因式）；
问题解决——师生共同解决一个三角函数的综合问题；
延伸探究——通过对原问题的深入挖掘，逐步引导学生进一步提出新的问题加以研究和解决。
应当说，这些环节之间也是环环相扣的，我觉得这种设计思想既突出了问题解决过程中的思维策略，又有效地为高三学生提升数学问题解决的能力提供了助推。
卜：是的。
例如我在设计情境问题的时候所选择的射箭比赛场次问题本身就是一个可体现“逆向思维”策略优势的例子。大多数学生是从正面思考问题的，而若我们从淘汰赛赛制的特点出发，很容易发现“比赛一场即淘汰一人”的特点，于是逆向思维就变得迅速而有效了。
刘：而且还为之后的问题作了思维层面的孕伏。我觉得引例也有类似的作用啊！
卜：您说得对。其实引例也很关键。因为学生的常规思维多数只考虑两倍角正弦公式，但我通过介绍一些进一步的变形，拓展了学生的思维空间。这样，也会之后问题的延伸探究埋下了伏笔。
刘：是啊。不过，引例和之后的三角函数问题还是有思维上的落差的。
卜：对。引例的解答可以非常开放。其中和两个因式之间不需要形成某种特定关联。而那道高考题非常关键的一点是：我们所构造的和之间必须满足条件：，。从我过去的经验来看，我校的不少高三学生对此问题的独立解决还是有一定困难的。
刘：我也有同感。这道试题的难点不仅在于知识点的综合，更在于需要学生合理运用数学思想方法和思维策略去开放性地构造符合条件的函数。而这种导向和我们二期课改所倡导的“转变学生学习方式，在学科的学习过程中积极渗透研究性学习方式”是吻合的。我觉得这节课的设计思想已较好地体现了课改理念，既重视数学学科的严谨性、又激活了学生的创新思维。在高三数学教学中，这样的教学对我们高三的数学老师都是一种启迪。
高三数学复习课的有效性并不在于题做得越多越好，而在于数学双基与能力之间有效地融合。这节课设计的亮点就在于此。在延伸探究的环节，教师将之前问题解决过程中的两个“不成功”的例子作为契机，启发学生变换条件，深入地开展问题的再研究。从课堂的表现来看，很多学生已能通过问题解决所积累的思想方法和解题策略，尝试变换条件，提出一些新的问题，并自主地加以解决。当学生的学习方式实现了转变之后，学生的提出的问题与思考，一定也会让您感到惊喜的吧？
卜：的确是这样。例如：f(x+α)变为
刘：当然，对于教学过程，您的课还有两个方面给我留下了较深的印象。
关注教学行为的细节设计。有几个细节能体现出来：
我觉得您在那道试题的呈现方法上很有特点。您将问题与条件通过课件设计，一步一步地呈现给学生。这个过程其实是要进一步启发学生既要注意引例提供的解题经验，又要注意新问题的异同。
对于多媒体的运用，这堂课几何画板的使用也十分有效，启发学生用函数图像的观点认识和两个因式之间关系的本质。
本节课板书的结构也看出了卜老师的匠心。虽然在问题解决过程中出现了两种思路暂时不符合问题的条件，但您保留了学生的思考，并呈现在黑板上。这么做，一方面体现了对学生提出的想法的尊重；另一方面，在启发学生延伸探究之初，又巧妙地提供了切入的素材。
关注学生的学习活动，并给予积极评价。虽然这是高三的课堂，但老师还是给学生提供了较为充足的思考和交流的时间。由于整个问题的开放性比较强，所以学生也会出现多种不同的思考，所以课堂上学生呈现了多种解题思路。虽然有的思路暂时无法解决问题，但这些思路又与教师的预设相对应，成为一种新的生成。因此，问题的探究过程中，几乎每个学生都有其独特的收获。而您也充分给予了学生肯定和鼓励。
卜：谢谢您的肯定。这些环节的确让我体会到“课堂教学的有效性”不仅在于问题预设的有效性；同时也不能忽略教学过程设计的有效性。两者相辅相成，缺一不可。今天的课也让我对“如何提升高三数学教学的有效性”更多了一些实践经验。当然，也让我对高三数学课堂教学研究的兴趣更浓了。
刘：这是一个好现象啊。随着新教材的全面实施，我们的确应当多用一些新的视角来看待高三的教学、看待上海高考评价的新动向。毕竟高考是一种评价方式，它应当符合课程标准的目标要求。所以，我相信只要真正把握好课改理念、把握好高中数学课程的三维目标的本质，我们的教学才不会陷入应试教育的泥沼。好，再次感谢您和您的学生为大家呈现的一堂值得回味、值得借鉴的好课，祝您的学生在明年的高考中取得好成绩。
卜：谢谢。
三、研究体会
1、可以在高三数学课堂教学中开展研究性学习
2009年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学科考试说明中关于数学探究与创新能力有明确论述。实践证明在高三数学课堂教学中，在遵循教学规律的基础上，采用生动活泼，富有启发、探索、创新的教学方法，充分激发学生的求知欲，培养学生的学习兴趣，是提高课堂教学效果和培养学生研究能力的重要途径。求知欲是人们思考研究问题的内在动力，学生的求知欲越高，他的主动探索精神越强，就能主动积极进行思维，去寻找问题的答案。教师在教学中可采用引趣、激疑、悬念、讨论等多种途径，活跃课堂气氛，调动学生的学习热情和求知欲望，以有效地开展研究性学习。
2、逆向思维是开展研究性学习的有效方法之一
有些数学问题从正面解决比较困难，如果我们换个角度思考，即从问题的结论出发，采用逆向思维的方法运用相关知识去解决问题，有时会获得意想不到的效果．在数学教学中，学生学习和掌握的许多概念、公式、定理、法则，大多是正向思维的结果，是概念、公式的正向应用，而在应用的同时我们也应注意学生逆向思维的培养。如若不然。学生就会形成一种思维定势。只习惯于正面思考问题，而忽略了概念公式的逆向应用，因而缺少了应变能力。因此，在学习和研究数学的过程中有机地、适当地注意从数学问题的相反或否定方面进行数学逆向思维，就能在探索中，在对立统一中把握数学知识的内在联系，澄清对某些数学概念的模糊认识，更深刻、透彻地理解教材内容，巩固所学知识，并能培养学生对数学问题的探究能力。.寻找课程改革的“突破口”---上海市开展“研究性学习”扫描.教育发展研究.2001.8
2、鞠密才.关于研究性学习的几点思考.教育探索.2001.8
3、程太生.普通高中开设“研究性学习”的实践与思考、教育理论与实践，2001，5
4、霍益萍、张人红.我们对“研究性学习”的理解、教育发展与研究，2000，11
5、张民生.《普通高中研究性学习案例》，第一辑,上海科技教育出版社，2001，4
6、王改燕刘翠青.数学教学中逆向思维能力的培养《教学与管理：理论版》2001年第12期
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