不等式易错点
【易错点29】含参分式不等式的解法。易对分类讨论的标准把握不准，分类讨论达不到不重不漏的目的。
例29解关于x的不等式＞1(a≠1)【易错点】不等式化为关于x的一元二次不等式后，忽视对二次项系数的正负的讨论
解：原不等式可化为：＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.
当a＞1时，原不等式与(x－)(x－2)＞0同解.若≥2，即0≤a＜1时，原不等式无解；若＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1时原不等式的解为(－∞，)∪(2，+∞).
当a＜1时，若a＜0，解集为(，2)；若0＜a＜1，解集为(2，)
综上所述：a＞1时解集为(－∞，)∪(2，+∞)；0＜a＜1时，解集为(2，)；a=0时，；a＜0时，解集为(，2).
【知识点分类点拔】解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，解不等式需要注意下面几个问题：
(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法.
(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法.
(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法.
(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法.
(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论.
【易错点30】求函数的定义域与求函数值域错位
例30、已知函数（）的定义域为R求实数m的取值范围。（2）如果函数的值域为R求实数m的取值范围。
【易错点分析】易忽视对是否为零的讨论，思维不全面.漏解。另一方面对两个问题中定义域为R和值域为R的含义理解不透彻导致错解。
解析：（1）据题意知若函数的定义域为R即对任意的x值恒成立，令，当=0时，即或。经验证当时适合，当时，据二次函数知识若对任意x值函数值大于零恒成立，只需解之得或综上所知m的取值范围为或。
（2）如果函数的值域为R即对数的真数能取到任意的正数，令当=0时，即或。经验证当时适合，当时，据二次函数知识知要使的函数值取得所有正值只需解之得综上可知满足题意的m的取值范围是。
【知识点归类点拔】对于二次型函数或二次型不等式若二次项系数含有字母，要注意对字母是否为零进行讨论即函数是一次函数还是二次函数不等式是一次不等式还是二次不等式。同时通过本题的解析同学们要认真体会这种函数与不等式二者在解题中的结合要通过二者的相互转化而获得解题的突破破口。
【易错点31】不等式的证明方法。学生不能据已知条件选择相应的证明方法,达不到对各种证明方法的灵活应用程度。
例31、已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求证：(a+)(b+)≥.【易错点分析】此题若直接应用重要不等式证明，显然a+和b+不能同时取得等号，本题可有如下证明方法。
证法一：(分析综合法）欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2，∴ab≤，从而得证.
证法二：(均值代换法)设a=+t1，b=+t2.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜
显然当且仅当t=0，即a=b=时，等号成立.
证法三：(比较法）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤
证法四：(综合法)∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤.
证法五：(三角代换法)∵a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，)
【知识点归类点拔】1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.
(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.
2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.
【易错点32】函数与方程及不等式的联系与转化。学生不能明确和利用三者的关系在解题中相互转化寻找解题思路。
例32、已知二次函数满足，且对一切实数恒成立.求；求的解析式；求证：【易错点分析】对条件中的不等关系向等式关系的转化不知如何下手，没有将二次不等式与二次函数相互转化的意识，解题找不到思路。
解：（1）由已知令得：
（2）令由得：即则对任意实数恒成立就是对任意实数恒成立，即：
则
（3）由（2）知故故原不等式成立．
【知识点归类点拔】函数与方程的思想方法是高中数学的重要数学思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。
【易错点33】利用函数的的单调性构造不等关系。要明确函数的单调性或单调区间及定义域限制。
例33、记，若不等式的解集为，试解关于t的不等式。
【易错点分析】此题虽然不能求出a,b,c的具体值，但由不等式的解集与函数及方程的联系易知1,3是方程的两根，但易忽视二次函数开口方向，从而错误认为函数在上是增函数。
解析：由题意知，且故二次函数在区间上是增函数。又因为，故由二次函数的单调性知不等式等价于即故即不等式的解为：。
【知识点分类点拔】函数的单调性实质是就体现了不等关系，故函数与不等式的结合历来都是高考的热点内容，也是我们解答不等式问题的重要工具，在解题过程中要加意应用意识，如指数不等式、对数不等式、涉及抽象函数类型的不等式等等都与函数的单调性密切相关。
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