第八节微分形式的外微分
一微分形式及其外积
我们知道,一个可微函数的全微分为
.
它是的线性组合,一个很自然的想法是将看作一个线性空间的基.
设是上的区域,记,()为上连续可微函数全体.将看作一组基,其线性组合
称为一次微分形式,简称1-形式.1-形式的全体记为(或).
如果对中的元素定义加法、数乘、零元和负元等,就可以使成为一个上的线性空间.对于任意:
,
,
定义和()为
,
,
进一步定义中的零元为
,
且定义负元为
显然成为一个上的线性空间.
为了得到二次微分形式,我们先引入向量的外积这个概念.
设,为平面上两个线性无关的向量,我们将行列式称为向量与的外积,记为,即
.
平面上的向量的外积的讨论可以推广到上去.设
定义他们的外积为
.
它是由所张成的平行面体的有向体积.而且这种体积满足反对称性和分配律.
类似于向量的外积,规定
.
因此共有个有序元
以这些有序元为基就可以构造一个线性空间.其中的元素称为二次微分形式.简称2-形式.于是中的元素可以表示为
.
这种形式称为2-形式的标准形式.
一般地,在中任意选取个组成有序元,记为
,
这里是从集合中选取的任意个整数.规定
.
以这些有序元为基构造一个线性空间.其中的元素称为次微分形式.简称-形式.于是一般k-形式就可以表示为
.
这种形式称为形式的标准形式.
显然,当时,总有,因此.
上的连续可微函数称为形式,它们的全体记为,它是一个线性空间,函数是它的一个基.
现在把中的理解为一种运算.对于任意:
,
,
定义与的外积为
它是中的元素.
下面把这样的外积定义推广到任意的和上去.若记为线性空间之和,即有,于是是一个(因)维的线性空间,因此中的元素的一般形式为
.
记,.则
它是形式.对一般形式和形式,定义和的外积为
它是形式.对于形式,我们补充定义
二外微分的基本概念
设为区域,上的可微函数的全微分为
这可以理解为:一个-形式作了微分运算后成为了-形式.
现在将微分运算推广到上去.对中的任意一个-形式.
,
定义
同时,对空间上的任意一个元素
定义
.
这样,微分运算就是线性的,即,,其中为常数.这样的微分运算称为外微分.显然,
.
性质1设为-形式,为-形式,则
.
证明(留作练习).
设,定义.在下面的讨论中,我们假设微分形式的系数都具有二阶连续偏导数.
例13.34设为-形式,证明
证明由于具有二阶连续偏导数,因此.所以
.
性质2对任意,有
证明由于的线性性,只要证明
这种情形即可.这时
,
由于具有二阶连续偏导数,因此.所以
.
因此再由性质1可得
.
二外微分的应用
首先看Green公式
其中闭区域的边界由分段光滑的曲线L所围成.若将看成有向面积元素,那么如果将它看成是正面积元素的话,上式就可以表示为
对于-形式,则由外微分的定义可得
.
于是有下式成立
.
再看Stokes公式
其中为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与的侧符合右手规则.对于-形式,由外微分的定义可得
于是Stokes公式则变为
.
同样地,对于Gauss公式
其中空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面所围成.如果我们将有向体积元素看成是正体积元素的话,它就可以表示为
对于-形式,我们有
.
于是Gauss公式则变为
.
这样,Green公式、Gauss公式和Stokes公式就可以统一地写成如下形式：
.
这个式子统称为Stokes公式.它说明了,高次的微分形式在给定区域上的积分等于低一次的微分形式在低一维的区域边界上的积分.
习题14.8
设,,证明:当时,.
设,,证明:.
设,,为上的形式,证明
.
4.证明性质1.
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