鸡兔同笼问题全解
用画图凑数法解鸡兔同笼
例1一只鸡有一个头2只脚，一只兔有一个头4只脚．如果一个笼子里关着的鸡和兔共有10个头和26只脚，你知道笼子里有几只鸡、有几只兔吗？
解：这是古代的民间趣题，叫“鸡兔同笼”问题．见图15－1（1）、（2）、（3）．
（1）先画10个头
②每个头下画上两条腿：
数一数，共有20条腿，比题中给出的腿数少26-20=6条腿．
③给一些鸡添上两条腿，叫它变成兔．边添腿边数，凑够26条腿．
每把一只鸡添上两条腿，它就变成了兔，显然添6条腿就变出来3只兔．
这样就得出答案，笼中有3只兔和7只鸡．
例2一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子．车棚里放着自行车和三轮车共10辆，数数车轮共有26个．问自行车几辆，三轮车几辆？
例3一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿．现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿．问蛐蛐几只，蜘蛛几只？
例4笼中有兔又有鸡，数数腿36，数数脑袋11，问几只兔子几只鸡？
例5今有五分的和一角的两种汽车票，共10张，总钱数是七角五分．问每种各几张？
习题十五
1．笼中有兔又有鸡，数数腿三十整，数数脑袋一十一，几只兔子几只鸡？
2．今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
（这是一道古代趣题．雉，即野鸡，“各几何”是各多少的意思．）
3．有一首中国民谣：“一队猎手一队狗，二队排着一起走，数头一共三百六，数腿一共八百九，多少猎手多少狗？”
二、用假设法解鸡兔同笼问题
例1（古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？先假设它们全是。于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看多少。每2只脚就说明有一只；将所的脚数除以2，就可以算出共有多少只假设全是鸡：2×＝(只)
比总数少的：－＝(只)
÷2＝1(只)鸡－1＝2(只)
假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。
例3红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三个班各有多少人？
例4刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？
分析：我们分步来考虑：
①假设租的10条船都是大船，那么船上应该坐6×10=60（人）。
②假设后的总人数比实际人数多了60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。
③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成大船。
例5有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？
分析这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿.因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为6×18=108（条），所差118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少20-13＝7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7÷（2-1）=7（只）.
习题十一
1.小华用二元五角钱买了面值二角和一角的邮票共17张，问两种邮票各买多少张？
2.鸡、兔共笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？
3.松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个.问这几天当中有几天有雨？
4.蜘蛛有8条腿，蝴蝶有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和一对翅膀，现有这三种动物共21只，共140条腿和23对翅膀，问蜘蛛、蝴蝶、蝉各有几只？
5.体育老师买了运动服上衣和裤子共21件，共用了439元，其中上衣每件24元、裤子每件19元，问老师买上衣和裤子各多少件？
三、奇妙解法赏析
例1（古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？-46=）18只兔，鸡就有（46-18=）28只了。
解法二：鸡翅变脚着地——假设鸡的两只翅膀也变成了两只“脚”，这样的话，46只头就一共有（4×46=）184只“脚”，可实际上只有128只脚，这说明184只“脚”中，除了真正的128只脚外，其余的（184-128=）56只假脚，即实际上笼中共有鸡（56÷2=）28只，有兔（46-28=）182只。
解法三：兔生双头——如果每只兔又长出了一个头来，然后将它劈开，变成“一头两脚”的两只‘半兔’，这样总共的128只脚就应该有“半兔”与鸡共64只，这比实际的46只头多（64-46=）18只头，这多出的18只头就是笼中兔多长出来的头，因每一只兔多长了一个头，这样笼中共有兔18只，鸡就有（46-18=）28只。
解法四：“鸡兔具有‘特异功能’——让笼中的鸡与兔都有特异功能，即鸡全飞起来，而兔全用双脚站立起来，这时，笼中的46只鸡兔共少了92只脚，实际着地的脚就是（128-92=）36只，全部是兔子的脚，每只兔有2只脚着地，这样就有（36÷2=）18只兔，从而鸡就有（46-18=）28只了。
例2、鸡兔共100只，鸡脚比兔脚多80只，问鸡兔各多少只？ 右侧鸡腿多 1鸡2腿 1鸡2腿 1鸡2腿 … 1鸡2腿 1鸡2腿 … 1鸡2腿 1鸡2腿 1鸡2腿 1鸡2腿 … 1鸡2腿 1鸡2腿 … 1鸡2腿 1兔4腿 1兔4腿 1兔4腿 … 0兔0腿 如图：左侧，是腿相同的部分。
右侧，是多出的鸡腿，共多了＿＿＿＿只，多出的腿是＿＿＿鸡的。也就是说右侧笼中，有＿＿＿只鸡。
所以左侧笼中就有鸡兔共＿＿＿＿＿只。
一只鸡有＿＿＿腿，一只兔有＿＿＿＿条腿，＿＿＿只鸡的腿数和一只兔的腿数相等？
所以，在左侧笼中，每一组笼中，放＿＿只鸡和＿＿只兔，腿数是相等的，所以鸡的只数比兔的只数多一倍，也就是说，鸡有＿＿＿份，兔有＿＿＿＿份，共有＿＿＿份。则总数分成＿＿＿份，一份是＿＿＿的只数。
即：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿则：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
练习：
1、鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28只，问鸡兔各有多少只？
2、鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚86只．问：鸡、兔各有几只？
四、较复杂的鸡兔同笼问题
例1：猎人进山打猎，平均5枪打死两只兔子，9枪打死6只野鸡．他共放了25枪，获得猎物14只，两种动物各打死了几只？
解：打一只兔要几枪：5÷2＝2.5枪打一只野鸡要几枪：9÷6＝1.5枪
可以看出，打一只兔子比打一只鸡要多用1枪
假设全是鸡：
②有蜘蛛多少只？（118-108）÷（8-6）=5（只）
③蜻蜒、蝉共有多少只？18-5=13（只）
④假设蜻蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？1×13=13（对）
⑤蜻蜒多少只？（20-13）÷2-1）=7（只）
练习：
1、蜘蛛有8条腿，蝴蝶有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和一对翅膀，现有这三种动物共21只，共140条腿和23对翅膀，问蜘蛛、蝴蝶、蝉各有几只？
2、买来5角、2角、3角三种邮票，共20张，总值7元4角，其中2角和3角的邮票的张数相等，问三种邮票各购几张？
3、一群公猴、母猴、小猴共38只，每天共摘桃266个，已知一只公猴每天摘10个，一只母猴每天摘8个，一只小猴每天摘5个。又知公猴比母猴少4只，那么这群猴子中，小猴有多少只？
4、甲、乙二人射击，若命中，甲得4分，乙得5分，若不中，甲失2分，乙失3分，每人各射10发，共命中14发，结算分数时，甲比乙多10分，问甲乙各中几发？
5、某商店有儿童玩具大中小三种，大号每件6元，中号每件3 元，小号每件2元，张老师用240元共买了55件玩具，其中买中号的钱与买小号的钱恰好一样，问每种玩具各买了多少件？
6、某校有宿舍12间，住着80个学生，宿舍的大小分三种，大号房间住8个学生，中号房间住7个学生，小号房间住5个学生，其中中号房间的宿舍最多，问中号房间的宿舍有几？
7.班主任张老师带五年级（2）班50名同学栽树，张老师一人栽5棵，男生一人栽3棵，女生一人栽2棵，总共栽树120棵，问几名男生，几名女生？
8.大油瓶一瓶装4千克，小油瓶2瓶装1千克．现有100千克油装了共60个瓶子．问大、小油瓶各多少个？
9.红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三个班各有多少人？
0.刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船．每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？
.小红的储钱罐里有面值2元和5元的人民币共65张，总钱数为205元，两种面值的人民币各多少张？
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