收稿日期：２０１１－０５－２７．
基金项目：２０１１年河南省教育厅人文社会科学研究项目—高职数学教育的隐忧和对策的研究，项目编号：２０１１—
ＧＨ
—
０７５．
作者简介：王大鹿（１９７４—），男，河南开封人，硕士，讲师，研究方向：数学建模，数学学习心理与ＣＡＩ应用．
·高职高专教学·
基于
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ
软件的函数作图及性质分析
王大鹿
（黄河水利职业技术学院基础部，河南开封
４７５００３
）
摘
要：利用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件可以轻松作出各种函数的二维或三维图像。探讨通过
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件强大的绘图功能学习高等数学如定积分概念
、多元函数的极限、重积分的计算等
内容，有助于提高学生数学分析能力和解决综合应用问题的能力。
关键词：数学软件；Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ５．０；函数作图
中图分类号：Ｏ３１３文献标识码：Ａ
文章编号：１００６－７３５３（２０１１）０５－００７４－０３
０
引言
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ
数学软件由美国
Ｗｏｌｆｒａｍ
Ｒｅｓｅａｒｃｈ
公司开发的一个完全集成环境下的符
号运算系统。其卓越的数值处理、符号运算和作
图功能，已被用来帮助解决许多数学、物理和工程
计算等问题。该软件具有强大的图形输出功能，
将二维、三维图形的绘制和显示集成在
Ｐｌｏｔ
、
Ｐｌｏｔ３Ｄ
、
ＰａｒａｍｅｔｒｉｃＰｌｏｔ３Ｄ
和
Ｓｈｏｗ
等内部函数
中，并有图形修饰选项和多种函数用于特殊图形
的描绘和特殊效果的显示。其丰富的图形表现效
果给高等数学教学提供了很好的可视化素材，使
学生对抽象的高等数学概念获得感性认识，形象
地把握住函数的某些性质，对于加深知识理解，培
养学生的计算能力和分析、解决问题的能力具有
极大的帮助
［１］
。
１
定积分的概念及应用
定积分概念体现了微积分的思想和方法，其
应用几乎涵盖了所有的自然学科。定积分概念既
有其抽象性，也有其具体内容。用
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ
可以将抽象的定积分概念与相关应用变得更具
体，计算也大为简化，降低了学生学习的难度，有
利于激发学生学习的积极性。
根据定积分定义，连续函数在某一闭区间上
的定积分等于该区间上划分的最大长度趋于零时
黎曼和的极限值
［２］
。以函数
ｙ＝ｘ
２
在区间上的定
积分为例，编制程序如下：
Ｃｌｅａｒ
［
ｆ
，
ｘ
，
ａ
，
ｂ
］
ｆ
［
ｘ
＿］
＝ｘ＾２
；
ａ＝０
；
ｂ＝１．５
；
ｍ＝０
ｇ１＝Ｐｌｏｔ
［
ｆ
［
ｘ
］，｛
ｘ
，
ａ
，
ｂ
｝，
ＰｌｏｔＳｔｙｌｅ－＞
｛
ＲＧＢＣｏｌｏｒ
［
１
，
０
，
０
］｝，
ＤｉｓｐｌａｙＦｕｎｃｔｉｏｎ－＞
Ｉｄｅｎｔｉｔｙ
］
Ｆｏｒ
［
ｊ＝３
，
ｊ＜＝５０
，
ｊ＋＝５
，
ｍ＝ｊ
；
ｔｔ１＝
｛｝；
ｔｔ２
＝
｛｝
Ｆｏｒ
［
ｉ＝０
，
ｉ＜ｍ
，
ｉ＋＋
，
ｘ１＝ａ＋ｉ＊
（
ｂ－ａ
）／
ｍ
；
ｘ２＝ｘ１＋
（
ｂ－ａ
）／
ｍ
ｔｔ１＝Ａｐｐｅｎｄ
［
ｔｔ１
，
Ｇｒａｐｈｉｃｓ
［｛
ＲＧＢＣｏｌｏｒ
［
１
，
０．８
，
１
］
Ｒｅｃｔａｎｇｌｅ
［｛
ｘ１
，
０
｝，｛
ｘ２
，
ｆ
［
ｘ２
］｝］｝］］
ｔｔ２＝Ａｐｐｅｎｄ
［
ｔｔ２
，
Ｇｒａｐｈｉｃｓ
［｛
ＲＧＢＣｏｌｏｒ
［
０
，
０
，
０
］，
Ｒｅｃｔａｎｇｌｅ
［｛
ｘ１
，
ｆ
［
ｘ１
］｝，｛
ｘ２
，
０
｝］｝］］］；
Ｓｈｏｗ
［
ｔｔ１
，
ｔｔ２
，
ｇ１
，
ＤｉｓｐｌａｙＦｕｎｃｔｉｏｎ－＞
＄ＤｉｓｐｌａｙＦｕｎｃｔｉｏｎ
，
ＰｌｏｔＬａｂｅｌ－＞ｍ
"
ｉｎｔｅｒｖａｌｓ
"］］
执行上述命令，可以得到系列图形（取其中一
幅，见图
１
），双击任意一幅图形即可形成动画，当
分割越来越细时，仔细观察小矩形面积之和与曲
４７
第２４卷第５期高等函授学报（自然科学版）Ｖｏｌ．２４Ｎｏ．５
２０１１年１０月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｉｇｈｅｒＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅＥｄｕｃａｔｉｏｎ
（
ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ
）
２０１１
边梯形面积之间的关系，有助于理解定积分的概
念和几何意义。
图１
定积分的应用十分广泛，在高等数学中二维
图形面积和旋转体体积的计算为其代表，利用
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ
软件的绘图和数值计算功能，可以帮
助学生快速找到积分的范围，列出算式，得到答
案。这里仅就平面图形的面积举例。
例
１
求由抛物线
ｙ
２
＝ｘ
和直线
ｙ＝ｘ－２
所
围成图形的面积。
解
首先画出函数图形（如图
２
所示）：
图２
Ｐｌｏｔ
［｛
Ｓｑｒｔ
［
ｘ
］，
－Ｓｑｒｔ
［
ｘ
］，
ｘ－２
｝，｛
ｘ
，
０
，
５
｝］
然后求出两条曲线的交点：
Ｓｏｌｖｅ
［｛
ｙ＾２－ｘ＝＝０
，
ｙ－ｘ＋２＝＝０
｝，｛
ｘ
，
ｙ
｝］，得｛｛
ｘ→１
，
ｙ→－１
｝，｛
ｘ→４
，
ｙ→２
｝｝
再以
ｙ
为积分变量求面积：
Ｉｎｔｅｇｒａｔｅ
［
ｙ＋２－ｙ＾２
，｛
ｙ
，
－１
，
２
｝］，运行后得
９
／
２
２
多元函数的极限
考察极限
ｌｉｍ
ｘ→０
ｘ→０
ｘｙ
ｘ
２
＋ｙ
２
，当点
Ｐ
（
ｘ
，
ｙ
）沿着直线
ｙ＝ｋｘ
无限趋近于点（
０
，
０
）时，有
ｌｉｍ
ｘ→０
ｘ→０
ｘｙ
ｘ
２
＋ｙ
２
＝
ｌｉｍ
ｘ→０
ｋｘ
２
ｘ
２
＋ｋ
２
ｘ
２
＝
Ｋ
１＋Ｋ
２
，它是随着
ｋ
值的不同而
改变，所以
ｌｉｍ
ｘ→０
ｘ→０
ｆ
（
ｘ
，
ｙ
）不存在。
图３
取
ｙ＝４ｘ
和
ｙ＝ｘ
。在
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ
中绘制
出三个图形，通过利用菜单栏里选
Ｉｎｐｕｔ＞＞３Ｄ
ＶｉｅｗＰｏｉｎｔＳｅｌｅｃｔｏｒ
，或者
Ｓｈｉｆｔ＋Ｃｔｒｌ＋Ｖ
。在弹
出的对话框里有一个立体图，用鼠标随意转动到
合适的角度，然后把光标点在绘图命令“］”的前
面，加个逗号，然后在
３ＤＶｉｅｗＰｏｉｎｔＳｅｌｅｃｔｏｒ
的
对话框里面点击
Ｐａｓｔｅ
，这样逗号后面就有了
ＶｉｅｗＰｏｉｎｔ
选项的字样，然后
Ｓｈｉｆｔ＋Ｅｎｔｅｒ
就可
以了直接观察或操作处理了。也可以通过调用一
个画图包来实现，在开始时输入
＜＜ＲｅａｌＴｉｍｅ３Ｄ
｀
，然后画
３Ｄ
图就行了，在生成的图上按住鼠标左
键，随意旋转至理想角度即可。从图形上进行观
察，由于点（
ｘ
，
ｙ
）沿着不同的曲线趋于点（
０
，
０
）时
（见图
３
），
ｚ
趋于不同值，故函数的极限不存在。
借助几何图形，可以更好地理解二元函数极限不
存在的内涵，深刻地理解多元函数极限的实质，熟
悉通过特殊曲线判断多元函数极限不存在的
方法。
３
重积分的计算
在重积分和曲面积分的计算中，确定积分限
是关键。对于比较复杂的图形，要用手工描绘是
非常困难的，但通过
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ
的图形输出功
能，可以清晰地构造各种形体图形和空间各种几
何形体的相互关系，有助于学生及时确定积
分限
［３］
。
例
２
求
Ω
ｚ
２
ｄｖ
，其中
Ω
是由曲面
ｚ＝ｘ
２
＋
５７
第２４卷第５期高等函授学报（自然科学版）Ｖｏｌ．２４Ｎｏ．５
２０１１年１０月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｉｇｈｅｒＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅＥｄｕｃａｔｉｏｎ
（
ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ
）
２０１１
ｙ
２
，
ｙ＝ｘ
２
，
ｙ＝１
，
ｚ＝０
围成
解
先分别作出各曲面的图形，以便作出积
分区域的图形，键入
＜＜ＲｅａｌＴｉｍｅ３Ｄ
’
ｓ＝ＰａｒａｍｅｔｒｉｃＰｌｏｔ３Ｄ
［｛
ｕ
，
ｖ
，
ｕ＾２＋ｖ＾２
｝，｛
ｕ
，
－２
，
２
｝，｛
ｖ
，
－２
，
２
｝，
ＰｌｏｔＲａｎｇｅ－＞
｛
０
，
２
｝］
ｔ＝ＰａｒａｍｅｔｒｉｃＰｌｏｔ３Ｄ
［｛
ｕ
，
ｕ＾２
，
ｖ
｝，｛
ｕ
，
－２
，
２
｝，｛
ｖ
，
０
，
２
｝］
ｍ＝ＰａｒａｍｅｔｒｉｃＰｌｏｔ３Ｄ
［｛
ｕ
，
１
，
ｖ
｝，｛
ｕ
，
－２
，
２
｝，
｛
ｖ
，
０
，
２
｝］
ｎ＝ＰａｒａｍｅｔｒｉｃＰｌｏｔ３Ｄ
［｛
ｕ
，
ｖ
，
０
｝，｛
ｕ
，
－２
，
２
｝，
｛
ｖ
，
０
，
２
｝］
图４
Ｓｈｏｗ
［
ｓ
，
ｔ
，
ｍ
，
ｎ
，
Ｂｏｘｅｄ－＞Ｆａｌｓｅ
，
Ｍｅｓｈ→
Ｆａｌｓｅ
］
运行后可得积分区域图，在生成的图上按住
鼠标左键随意转动到适当的角度（见图
４
），即可
观察到该区域是以
ｚ＝ｘ
２
＋ｙ
２
为顶，
ｚ＝０
为底，
ｙ＝ｘ
２
，
ｙ＝１
为侧面的一个空间区域，所以
Ω
ｚ
２
ｄｘ＝
∫
１
－１
ｄｘ
∫
１
ｘ
２
ｄｙ
∫
ｘ
２
＋ｙ
２
０
ｚ
２
ｄｚ
因此键入
Ｉｎｔｅｇｒａｔｅ
［
ｚ＾２
，｛
ｘ
，
－１
，
１
｝，｛
ｙ
，
ｘ＾２
，
１
｝，｛
ｚ
，
０
，
ｘ＾２＋ｙ＾２
｝］，运行后得
７７１２
／
２７０２７
４
曲线拟合
在实践中，常常需要从一组测量数据即根据
给定的
Ｎ
个点（
ｉ＝１
，
２
，
３
…，
Ｎ
）求一条最接近该
组数据点的曲线，以显示这些点总的趋势，此过程
称之为曲线拟合，该曲线方程为回归方程。最小
二乘法是保证具有最佳拟合与回归的常用方法。
但在实际应用时，直接采用最小二乘法手工处理
数据非常繁琐，运用
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ
可以简洁方便
地对数据进行曲线拟合。下面仅就直线拟合进行
举例简单说明。
例
３
设某次实验数据如下；
Ｘ１．３６１．４９１．７２１．８１１．９３２．１５
Ｙ１４．０７１５．０９１６．８６１７．３５１８．４２１９．９６
利用
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ
编制程序如下：
ｄａｔａ＝
｛｛
１．３６
，
１４．０７
｝，｛
１．４９
，
１５．０９
｝，
｛
１．７２
，
１６．８６
｝，｛
１．８１
，
１７．３５
｝，｛
１．９３
，
１８．４２
｝，
｛
２．１５
，
１９．９６
｝｝
ａ＝ＬｉｓｔＰｌｏｔ
［
ｄａｔａ
，
ＰｌｏｔＳｔｙｌｅ－＞ＰｏｉｎｔＳｉｚｅ
［
０．０２
］］
ｂ＝Ｆｉｔ
［
ｄａｔａ
，｛
１
，
ｘ
｝，
ｘ
］
ｃ＝Ｐｌｏｔ
［
ｂ
，｛
ｘ
，
１
，
３
｝］
Ｓｈｏｗ
［
ａ
，
ｃ
］
该程序第一行将测量数据输到一个名为
ｄａｔａ
的列表中，第二行将数据所对应的点画在直角坐
标中，第三行利用函数
Ｆｉｔ
［］将数据进行直线拟
合并输出回归方程，第四行将拟合所得直线画在
直角坐标中，第五行程序将第二、四行所得到的图
形显现在同一个坐标中。该过程输出回归方程为
（输出的拟合直线见图
５
）：
３．９６７３６＋７．４５１８ｘ
图５
综上所述，利用
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ
可以方便地描
绘平面或空间各种比较复杂的图形，借助图形可
以更好的观察函数的变化特征，分析其性质，从而
深刻理解相关概念性质的内涵，提高用数学方法
分析问题和解决问题的能力，为将来更好的从事
科研工作奠定良好的基础。
参考文献：
［
１
］章栋恩，许晓革
．高等数学实验
［
Ｍ
］
．北京
：高等教育
出版社。２００４，７（１２）：４—１１．
［
２
］华东师范大学
．数学分析
［
Ｍ
］
．北京
：高等教育出版
社，１９９１：２７６—２７７．
［
３
］陈丽安
．输出高品质ＭＡＴＬＡＢ图形的方法与技巧
［
Ｊ
］
．计算机应用研究
，
２００２
（
５
）：
１５４
—
１５５．
６７
第２４卷第５期高等函授学报（自然科学版）Ｖｏｌ．２４Ｎｏ．５
２０１１年１０月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｉｇｈｅｒＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅＥｄｕｃａｔｉｏｎ
（
ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ
）
２０１１
|
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