收稿日期：2011—02—10
作者简介：罗平（1983—），女，（回族），云南昆明人，兴义民族师范学院数学系教师，硕士研究生，
主要从事分形几何方面的研究。
在我们生活的大千世界里，除了有像房屋建
筑、公路桥梁、汽车、飞机、轮船以及各种劳动生活
工具等这些人造的形态规则的几何体之外，更广
泛地充满了诸如花草树木、山川河流、烟雾云彩等
形态极不规则的几何体。如何研究这些不规则图
形的几何特性成为数学界关注的一个课题。1967
年美国科学家B.Mandelbrot在美国权威的《科学》
杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著
名论文。海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极
不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从
形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什
么本质的不同，这种几乎同样程度的不规则性和
复杂性，说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是
局部形态和整体形态的相似。在没有建筑物或其
他东西作为参照物时，在空中拍摄的100公里长
的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照
片，看上去会十分相似。事实上，具有自相似性的
形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮
的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树
冠、花菜、大脑皮层……。B.Mandelbrot把这些部分
与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。
1975年，他创立了分形几何学(fractalgeometry)。在
利用数学软件Mathematica制作分形几何图形
罗平
（兴义民族师范学院，贵州兴义562400）
摘要：利用Mathematica软件的数值计算功能、符号运算功能和图形程序设计功能，以简单的程序
实现了迭代分形算法成功绘制了分形几何中的Koch曲线和Sierpinski三角形，并且给Mathematica程
序及运行结果，体现了Mathematica软件在实现分形算法方面的优越性。
关键词：分形几何；Koch曲线；Sierpinski三角形；Mathematica软件
文章编号：1009—0673（2010）03—0093—03中图分类号：TP391.41文献标识码：
MakingUseofMathematicatoDrawFractalGeometryFigure
LUOPing
(XingyiNormalUniversityforNationalities,Xingyi,Guizhou562400，China)
Abstract:WehavesuccessfullydrawnseveralfractalfiguresandgiventherelevantprogramsKochcurveandSierpinski
trianglebyusingtheMathematica''sfunctionsinnumericalcomputation,symboliccalculationandprogramming,thusrealizediterate
algorithmsbysimpleprogram,andgaveMathematicaprogramandpresentedtheresults,thispapershowstheadvantageof
Mathematicainrealizingfractalalgorithms.
Keywords:fractalgeometry;Kochcurve;Sierpinskitriangle;Mathematica
2011年6月兴义民族师范学院学报June2011
第3期JournalofXingyiNormalUniversityforNationalitiesNo.3
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此基础上，形成了研究分形性质及其应用的学科，
称为分形理论(fractaltheory)。分形几何学把自然形
态看作是具有无限嵌套层次的精细结构，并且在
不同尺度下保持某种相似的属性，于是在简单的
迭代过程中就可以得到复杂的自然形态的有效方
法。
典型的分形集一般具有如下几个特征：（1）具
有精细的结构，即有任意小比例的细节；（2）分形
是如此的不规则以至它的整体和局部都不能用传
统的几何语言来描述；（3）具有某种自相似的形
式，可能是近似的或是统计的；（4）通过递归、迭代
等简单的方式产生；（5）其分形维数大于拓扑维
数。实际上，分形体系内任何一个相对独立的部
分，在一定程度上都是整体的再现和缩影。构成分
形整体的相对独立的部分称为生成元或分形元。
任何一个分形，都具有无穷多个分形元。对整体的
无限细分，所形成的无数分形元，构成了分形图形
的整体。通常分形都是极度对称的，对称到完美的
地步，但生成这种图形不需要复杂的程序，因为他
们具有无限的细节表面，可以使用递归的算法来
实现。
Mathematica是Wolfram公司研制开发的数
学软件。它的使用者是从事教育数学研究和应用，
数学教学和理论研究的数学工作者和其它科研人
员，也包括工程技术人员和数学及科技爱好者。
Mathematica的主要特点：（1）友好的操作和编辑
界面：Mathematica提供了较完善的数学符号模块
及函数功能。（2）较强的数值计算功能：能解决教
育数学及数学各科中高精度的计算问题。（3）较强
的图形和多媒体功能：能根据表达式和预先设定
的制图要求，自动生成彩色的一维、二维、三维图
形及动画和声音。（4）很好的符号计算功能：符号
计算功能，也称为计算机代数功能.计算机处理数
据后的结果可以是符号表达式。（5）较好的编程系
统：具有比较丰富的程序流程、循环结构、控制函
数与控制结构，适于编制各种教育数学课件和开
发数学软件，并能解决某些科学计算和难题。本文
研究用Mathematica软件编程制作Koch曲线和
Sierpinski三角形。
一、Koch曲线
给定一条直线段，将该直线三等分，并将中间
的一段用以该线段为边的等边三角形的另外两条
边替代，得到图形（如图1所示）。然后，在对图形
中的每一小段都按照上述方式修改，以致无穷。则
最后得到的极限曲线即是所谓的Koch曲线。
图1第一次迭代
图2第二次迭代
图3第三次迭代
图4第四次迭代
这种迭代继续下去可得Koch分形曲线，图1
所示的简单曲线被称为Koch曲线的生成元，在
迭代过程中，曲线最终显示细节的多少将取决于
迭代次数和显示系统的分别率。
Mathematica程序实现：
redokoch[ptlist_List]:=
Block[{tmp={},i,pnum=Length[ptlist]},
For[i=1,i
ptlist[[i]]2/3+ptlist[[i+1]]/3,
(ptlist[[i]]+ptlist[[i+1]])/
2+{ptlist[[i]][[2]]-ptlist[[i+1]][[2]],
ptlist[[i+1]][[1]]-ptlist[[i]][[1]]}Sqrt[3]/6,
ptlist[[i]]/3+ptlist[[i+1]]2/3,
ptlist[[i+1]]}]];tmp]
Inko01={{0,0},{1,0}};
Show[Graphics[Line[Nest[redokoch,Inko01,5]],
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AspectRatio→Sqrt[3]/6]]
程序运行后可得到如下图形：
可以发现经无穷多次迭代的Koch曲线是处
处连续，且处处不可微的，并具有局部形状与整体
形状自相似的明显特征。
二、Sierpinski三角形
俄罗斯数学家Sierpinski构造了一批千窗百
孔的平面与立体图形，它们分别称之为Sierpinski
三角形、地毯及海绵等。Sierpinski三角形的构造
方法是取一个等边三角形，将其四等分，得到四个
较小的三角形。然后舍去中间一个三角形，保留周
围的三个三角形。此后再将这三个较小的三角形
按上述分割与舍去法则，进一步操作下去，得到一
种介于线段与面之间的几何图形。
Sierpinski三角形Mathematica程序实现：
redosierpinski[ptlist_List]:=
Block[{tmp={},i,pnum=Length[ptlist]/3},
For[i=0,i
(ptlist[[3i+1]]+ptlist[[3i+2]])/2,
(ptlist[[3i+1]]+ptlist[[3i+3]])/2,
(ptlist[[3i+1]]+ptlist[[3i+2]])/2,
ptlist[[3i+2]],
(ptlist[[3i+2]]+ptlist[[3i+3]])/2,
(ptlist[[3i+1]]+ptlist[[3i+3]])/2,
(ptlist[[3i+2]]+ptlist[[3i+3]])/2,
ptlist[[3i+3]]}]];
tmp]
showsierpinski[ptlist_List]:=
Block[{tmp={},i,pnum=Length[ptlist]/3},
For[i=0,i
AppendTo[tmp,
Polygon[{ptlist[[3i+1]],
ptlist[[3i+2]],ptlist[[3i+3]]}]]];
Show[Graphics[tmp],AspectRatio→1/GoldenRatio]
]po1={{-1,0},{1,0},{0,Sqrt[3]}};
showsierpinski[Nest[redosierpinski,po1,4]]
以下是迭代次数k=1，2，3，4得到的图形：
图5
图6
图7
图8
分形几何还有许多经典的图形如：龙曲线、
Hilbert曲线等，从事分形创作的人要研究产生这
些图形的算法，这些算法产生的图形是无限的。通
过这些图形人们发现客观自然界中许多事物，具
有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有
无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构
并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反映着
这类层次结构的分形几何学。
参考文献：
[1]FalconerK.J.分形几何—数学基础及其应
用[M].曾文曲，刘世耀，戴连贵和高占阳译.沈阳：
东北大学出版社，1991.
[2]李尚志，陈发来等.数学实验[M].高等教育
出版社，1999.
责任编辑：王家鑫
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