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| 第02讲__分式变形(含解答) |
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九年级数学竞赛专题第二讲分式变形
一、选择题
1．等介于（）（其中x≠18）
A．;B．3y+2x=6;C．;D．
2．若且m≠0，则下列比例式中成立的应是（）
A．;B．;C．;D．
3．化肥厂原计划x天一产化肥120吨，由于采用新技术，每天增加生产3吨，因此比原计划提前2天完成原计划，则列出的方程应是（）
A．;B．;C．;D．
4．若y=(abc≠0)，=（）
A．;B．;C．;D．
5．两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精的体积和水的积体比是p：1，另一个瓶子中酒精的体积和水的体符号比是q：1，如果这两瓶的全部溶液混合在一起，在这混合液中酒精的体积与水的体积之比是（）
A．;B．;C．;D．
二、填空题
1．当x取_______时，代式有意义。
2．比较大小：
3．若方程：的根均相等，则只需m的值是________。
4．已知：a+b+c=0，则的值是_________。
x取________整数值时，分式的值为整数。
三、解答题
1．化简：
（1）
（2）
（3）
（4）
2．证明以下各式：
（1）若abc=1，则
（2）若a+b+c=0，则
（3）已知：且，求证：
（4）若：x=by+cz,y=cz+ax,z=ax+by,求证：.
3．（1）将下列各题分解为部分分式：
①;②.
（2）已知：，求A、B、C的值。
4．（1）已知a>0,b>0,c>0.求证：.
（2）如果a，b都是整数，并且a>1,b>1，试求：a+2b的值。
5．一件工程由甲、乙、丙、丁、戊五人工作，如果甲、乙、丙三人同时工作，需用7天完成；如果甲、丙、戊三人同时工作，需用5天完成；如果甲、丙、丁三人同时工作，需用6天完成，如果乙、丁、戊三人同时工作，需用4天完成，问五人同时工作，几天可以完成工作的
答案
一、选择题
1．D
2．D
3．D
4．D
5．B
提示：
1．
在（1）左右两边分虽乘以6xy：则18y+12x=xy
∴而x≠18且y≠12
∴选项D正确
2．不妨设a=2,b=4,c=3,d=6，则
m=1时，∴选项A错误，
∴选项B错误，
∴选项C错误，
∵∴∴∴选项D正确
3．若原计划x天生产化肥120吨，则日产量为：吨，而增产后的日产量为：吨……（1）实际生产天数为(x–2)天；则增产后的日产量为吨……（2），则依题意有：，所以选项D正确。
4．∵
∴
由（1）×（2）×（3）得：
∵abc≠0∴xyz≠0\
由（4）÷可得：
由（4）÷可得：
由（4）÷可得：
∴
∴选项D正确
5．酒精体积与水体积之比是p：1的瓶子容积为1，其中所装纯酒精为，水为；酒精体积与水体积之比是q：1的瓶子容积为1，其中所装纯酒精为，水为。当两瓶混合所含纯酒精为（+），水为（+）所以酒精和水的体积之比为+：+=
二、填空题
1．x≠0,x≠±1；
2．>；
3．m=;
4．0；
5．4、6、8、10
提示：
1．只有当：时，原分式才有意义；
∴解得：时，原分式有意义。
2．
解法1：两数作差：
解法2：两数作商也可得：
3．解：∵
∵m–1≠0∴∴
∵原方程的根相等，则
∴∴时，时，原方程只有一个根
4．若a+b+c=0，则a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b
∵
∴当a+b+c=0时，=0
∴
∴原式=-3+3=0
5．∵
∵x为整数，所以2x+5为整数
所以只要为整数即可，所以x–7整除3即可。
而3=1×3=（-1）×（-3）所以x–7=±1或x–7=±3.
所以x=8或x=6或x=10或x=4时原分式的值为整数。
三、解答题
1．化简
（1）解：
原式=
（2）∵
∴原式
=
（3）原式=
（4）∵
∴原式=
2．证明以下各式
（1）证法1：
∵abc=1
∴左边=
=右边
所以等式成立。
证法2：
∵abc=1
∴
∴左边=
=右边
等式成立。
（2）∵a+b+c=0
∴a=-(b+c),b=-(a+c),c=-(a+b)
∴原式左边=
=右边即等式成立。
（3）∵
∵
又∵
∴由（2）式得：
∴等式左边=
=1=右边所以等式成立。
（4）∵
由（1）+（2）×（3）得：（x+y+z）=2ax+2by+2cz……(4)
由（4）-（1）×2得：y+z–x=2ax;
由（4）-（2）×2得：x+z–y=2by;
由（4）-（2）×2得：x+y–z=2cz;
∴x+y+z=2(1+a)x=2(1+b)y=2(1+c)z
令x+y+z≠0,∴(1+a)x≠0,(1+b)y≠0,(1+c)z≠0.
∴
∴
∴
同理：
∴
3．（1）将下列各题分解为部分分式：
①设
∴2A+B=1且B-A=5
∴A=2，B=-3
∴
②设
∴A+B+C=6且5A+4B+3C=16且6A+3B+2C=18。
∴A=4，B=-10，C=12
∴原式=（当A、B、C的值也可用x的特殊值来求）
（2）设
∴A=1，B-2A=0，A-B+C=2
∴B=2，C=3
4．
（1）证明：∵
∴（当a=b时取等号）
∴x>0时，若a=x，b=，则x+≥2(当x=且x>0时取等号)
∴
∵a>0,b>0,c>0,∴且
∴
∴（1）≥6（当a=b=c时取等号）
∴原不等式：
（2）当a=b时，有：∵a>1且a为整数
∴2即非整数，与已知矛盾
所以a不等于b，不妨设a>b
设=x，=y，且x,y均为正整数且x>y,
∴2a–1=bx,2b–1=ay
∴(4–xy)a=x+2,∵a>1,x>1且a,x均为整数，
∴4–xy必是正整数，
∴xy=3或xy=2或xy=1
当xy=3时，解得：
当xy=2时，解得：（不合题意）
当xy=1时，不合题意舍
∴a+2b=11
5．解：设甲单独完成全部工程所需天数为x天，乙单独完成全部工程所需天数为y天，丙单独完成全部工程所需天数为z天，丁单独完成全部工程所需天数为m天，戊单独完成全部工程需n天，则依题意得：
由（1）+（2）+（4）得：
把（4）代入（5）得：∴
则即五人同时工作2天可以完成工作的
-6-
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