九年级数学竞赛专题第四讲角度计算
一、选择题
1．如图1，在△ABC中，∠，∠B的外角平分线分别交对边CB、AC的延长线于D、E，且AD=AB=BE，则∠A的度数是（）
A．10°B．11°C．12°D．14°
(1)(2)(3)
2．如图2，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）
A．2：3：4B．3：4：5C．4：5：6D．以上结果都不对
3．如图3，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（）
A．75°B．60°C．54°D．67.5°
4．如图4，在△ABC中，AD是BC边上的中线；∠ADB，∠ADC的平分线各交AB，AC于M，N，MN交AD于P，连结PB，PC，则∠BPC是（）
A．锐角B．直角C．钝角D．以上都可能
(4)(5)(6)
5．如图5，点P是正方形ABCD内的一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a，（a>0），那么∠APB的大小是（）
A．100°B．120°C．135°D．150°
二、填空题
1．已知一个凸十一边形由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠，无间隙拼成，则该凸十一边形的各内角中，最小的内角大小为____________。
2．如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，P是△ABC内一点，PA=1，PB=3，PC=，那么∠CPA=_____________.
3．如图7，直角三角形ABC中，∠C=90°，BC被点D、E三等分，且BC=3AC，那么∠AEC+∠ADC+∠ABC=_____________。
(7)(8)(9)
4．如图8，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=20°，D是AB边上一点，AD=BC，连结CD，那么∠BDC的大小是__________。
5．已知：如图9,△ABC中，AC=BC，∠ACB=80°，O为△ABC内一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，那么∠ACO=____________。
三、解答题
1．如图，在△ABC中，∠B=90°，M为AB上一点，使得AM=BC，N为BC上一点，使得CN=BM，连结AN，CM相交于点P，试求∠APM的度数。
2．如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠CBA，∠CDA=90°，∠BCD=78°，AB=2AD，求∠CAD的度数。
3．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，M为BC上一点，且BM=MC=DC，∠DAM=50°，求∠AMC的度数。
4．△ABC中，AD是△BAC的角平分线，且有，求∠BAC的度数。
5．如图，正方形被两条与边平行的线段EF，CH分割成四个小矩形，P是EF与CH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小并证明你的结论。
答案
一、选择题
1．C
2．A
3．B
4．C
5．C
解答：
如图，设∠BAC=x°，
则∠BAD=(180°-x°)
∵∠1=(180°-∠BAD)=45°+
∠2=∠1=(45°+)，且∠2=∠BAE+∠E=2x°,
∴(45°+)=2x°
解之得x=12即∠BAC=12°
如图，将△APB绕A点反时针旋转60°得△AC，显然有△AC≌△APB，连P.
∵A=AP，∠AP=60°，
∴△AP是等边三角形，
∴P=AP，
∵C=PB，
∴△CP的三边长分别为PA，PB，PC，
∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，
∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，
∴∠PC=∠AC-∠AP=∠APB-∠AP=100°-60°=40°
∠PC=∠APC-∠AP=140°-60°=80°，
∠PC=180°-（40°+80°）=60°
∴∠PC：∠PC：∠PC=2：3：4
如图，连结BD
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC，
∴∠EBC=∠BEC=（180°-∠BCE）=15°
∵∠BCM=∠BCD=45°，
∴∠BMC=180°-（∠BCM+∠EBC）=120°，
∴∠AMB=180°-∠BMC=60°
∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，
∴∠AMD=∠AMB=60°
如图，
在三角形ABC中，DM平分∠BDA，所以AD：DB=AM：MB
同理AD：DC=AN：NC，
又BD=DC，
所以AM：MB=AN：NC，
所以MN∥BC
所以∠1=∠2=∠3
所以PM=PD，同理PD=PN
所以PM=PN=PD
又PM：BD=AP：AD<1,
所以BD>PD
所以∠BPD>∠PBD
同理∠CPD>∠PCD
所以∠BPC=∠BPD+∠DPC>∠PBD+∠PCD=∠BPM+∠CPN
所以∠BPC>90°，所以∠BPC是钝角
如图，将三角形APB绕B点旋转90°得：三角形CPB，连结PQ、AC，则：
△CPQ≌△APB
因为∠PBQ=90°，PB+QB=2a，
所以∠PQB=∠BPQ=45°，PQ=2a
所以=CQ+PQ，所以∠PQC=90°
所以∠APB=∠CQB=∠PQB+∠PQC=135°
二、填空题
1．120°；
2．135°；
3．90°；
4．30°；
5．70°；
解答：
1．设此凸十一边形的各个内角中有x个60°，y个90°角，z个120°角，t个150°角，则
消去t得：3x+2y+z=1
因为x,y,z均为非负整数，
所以x=y=0,z=1,所以t=10.
由这个凸十一边形有一个角是120°，其余十个内角均为150°，
所以，此凸十一边形中最小内角为120°
2．如图，作△ACQ≌△ABP，连结PQ，则AQ=AP=1，CQ=AB=3，∠QAC=∠PAB，
又因为∠PAB+∠PAC=90°，
所以∠PAQ=∠QAC+∠CAP=∠PAB+∠PAC=90°
所以PQAQ+AP=2，且∠QPA=45°
在△CPQ中，PC+PQ=7+2=9=CQ
所以∠QPC=90°所以∠CPA=∠QPA+∠QPC=135°
3．如图，以BC为边作正方形BCMN，在MN上取点P、Q，使MP=PQ=QN，连结AP，PD，DQ，
则有AM=CD，MP=AC，△ACB≌△PQD，
易得△APM≌△DCA
所以AP=AD且∠DAC+∠PAM=90°，
即△APD是等腰直角三角形
所以∠ABC+∠ADC=∠PDQ+∠ADC
=90°-∠ADP=90°-45°=45°
又由题意知∠AEC=∠EAC=45°
所以∠AEC+∠ADC+∠ABC=90°
4．如图，作△AED≌△BAC，连结EC，
则∠AEC=∠BAC=20°，∠DAE=∠ADE=∠B=∠°ACB=80°，
所以∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°
又因为AE=AB=AC，所以△ACE是一个等边三角形
所以∠DEC=∠AEC-∠AEC=40°
所以∠EDC=（180°-∠DEC）=70°
所以∠BDC=180°-（∠ADE+∠EDC）=30°
如图，作正△CAQ，连结BQ，
依题意易得：∠BAQ=60°-50°=10°=∠OAB；
∠QCB=80°-60°=20°；CQ=CA=CB
所以∠CBQ=80°，
∠ABQ=∠CBQ-∠CBA=80°-50°=30°，
所以∠ABQ=∠OBA，
所以△OAB≌△QAB，所以AO=AQ=AC
而∠CAO=50°-10°=40°，
所以∠ACO=（180°-40°）=70°
三、解答题
解：如图，过A作AB的垂线，在其上截取AK=CN=MB，连KM，KC，则
因为AM=BC，AK=BM，∠KAM=∠B=90°，
所以△KAM≌△MBC，
所以KM=CM，∠AMK=∠MCB
因为∠CMB+∠MCB=90°，
所以∠CMB+∠AMK=90°
所以∠KMC=90°
所以△KMC为等腰直角三角形，∠MCK=45°
又因为△AKC≌△CAN，
所以∠KCA=∠NAC，
所以KC∥AN，
所以∠APM=∠KCM=45°
如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=（360°-90°-78°）=96°，
构造含30°角的直角三角形，
在形内作∠DAE=60°，易证∠DAC>60°，
可设AE交CD于Ｅ，
在Ｒt△ＡＤＥ中知ＡＥ＝2AD，
由AB=2AD，得AE=AB，
故连结BE得等腰三角形AEB，且顶角∠EAB=96°-60°=36°，
根据顶角36°的等腰三角形特性，
考虑作其底角∠ABE的角平分线BF交AE于F，
则BF把△ABE分成两个等腰三角形，AF=BF=BE，
在△BEC中，已知∠BCE=78°，∠BEC=180°-30°-72°=78°，
所以∠BEC=∠BCE，
故AF=BF=BE=BC。
又∠FBC=∠ABC-∠ABF=96°-36°=60°，
连结CF得到等边△BFC，
从而AF=BF=FC，△AFC为等腰三角形，
它的顶角的外角∠CFE=∠BFE-∠BFC=72°-60°=12°，
所以∠FAC=∠CFE=×12°=6°
所以∠CAD=∠CAE+∠EAD=6°+60°=66°
如图，延长AM交DC延长线于E，连结DM，
因为AB∥C，
所以∠E=∠BAM=∠DAB-∠DAM=90°-50°=40°
又因为BM=MC，∠ABM=∠EMC，
所以△ABM≌△ECM，所以AM=ME
因为∠ADC=90°，所以MD=ME
又因为CD=CM，所以∠1=∠2=∠E=40°
所以∠AMD=∠1+∠E=40°，
所以∠AMD=∠1+∠E=2∠E=80°，
所以∠AMC=∠AMD+∠DMC=80°+40°=120°
如图，作BE∥AD交CA延长线于E，
由得：
AB+AC=①
由得②
由①②得而
所以BE=AB，所以∠2=∠E
由AD∥BE，所以∠3=∠4，∠1=∠E
因为AD平分∠BAC，所以∠1=∠4
所以∠1=∠2=∠3=∠E
所以△ABE为等边三角形
所以∠BAC=180°-∠BAE=180°-60°=120°
5．如图，连FH，延长CB到M，使BM=DH，连结AM
设AG=a,BG=b，AE=x，ED=y，则
由（1）有a–x=y–b平方得
（3）
把（2）代入（3）得
所以(a+x)=b+y
所以a+x=
在这b+y=CH+CF=FH,
所以a+x=FH即DH+BF=FH
因为Rt△ABM≌Rt△ADH,
所以AM=AH，∠MAB=∠HAD，
所以∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠BAH+∠HAD=90°
易证△AMF≌△AHF，
所以∠MAF=∠HAF
所以HAF=∠MAH=45°.
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