九年级数学竞赛专题第六讲对称变换
1．如图，△ABC中，AE平分∠BAC的外角，D为AE上一点，若AB=c，AC=b，DB=m，DC=n，则m+n与b+c的大小关系是（）
A．m+n>b+c;B．m+n=b+c
C．m+nb+c或m+n
2．如图，△ABC中，∠A=2∠B，∠C≠72°，C砰分∠ACB，P为AB中点，则下列各式中正确的是（）
A．AD=BC-CD;B．AD=BC-AC;C．AD=BC-AP;D．AD=BC-BD
二、解答题
1．在定直线XY异侧有两点A、B，在直线XY上求作一点P，使PA与PB之差最大。
2．如图，已知线段AB的同侧有两点C、D满足∠ACB=∠ADB=60°，∠ABD=90°-∠DBC。求证：AC=AD.
3．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC,求证：BC=BD+AD.
4．如图，已知P是△ABC边BC上一点，且PC=2PB，若∠ABC=45°，∠APC=60°，
求证：∠ACB的大小。
5．如图，已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点且∠ABD=60°，∠ADB=90°-∠BDC。求证：AC=BD+CD.
6．△ABC中，已知∠BAC=15°，AD平分∠BAC，过A作DA的垂线交直线BC于M，若BM=AC+BA。求证：∠ABC、∠ACB的度数。
7．已知：等边凸六边形ABCDEF中，顶角∠A、∠C、∠E与∠B、∠D、∠F的和相等，即∠A+∠C+∠E=∠B+∠D+∠F。求证：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
8．已知，如图，设∠MON=20°，A为OM上一点，OA=4，D为ON上一点，OD=8，C为A由任一点，B是OD上任意一点。求：折线ABCD的长度的最小值。
答案
一、
1．A
2．B
略解：
1．在AM上截取AC=AC，连结DC，如图，易证△ADC≌△ADC
所以DC=DC
因为BA+AC
所以AB+AC
即m+n>b+c，故选A.
2．因为∠A=2∠B
所以∠A>∠B
所以BC>AC
在BC上截取CA=CA，连结DA（如图），
易证△ACD≌△ACD
所以AD=AD，且∠1=∠A=2∠B
又∠1=∠B+∠2
所以∠B=∠2
所以AB=AD=AD
所以BC=AC+AB=AC+AD
所以AD=BC–AC符合（B）
注意到：若AD=BC-CD，则CD=BC-AD=AC=AC
此时∠CDA=∠CDA=∠A=2∠B
所以∠ADA=4∠B
又∠ADA+∠2=4∠B+∠B=180°
所以∠B=36°
所以∠C=72°
与已知矛盾，故A排除，易证BD>BA=AD，所以PBAD
所以ADBC–BD，排除D
二、
1．作法：作点B关于直线XY的对称点B，作直线AB交XY于P点，则点P为所求点（如图）若BA∥XY（即B、A到直线XY的距离相等），则点P不存在。
证明：连结BP，在XY上任意取点P，连结PA、PB，则PB=PB，PB=PB
因为|PB-PA|=|PB-PA|
所以，此时点P使|PA-PB|最大
2．略证：以AB为轴作△ABC的对称△ABC，则AC=AC，∠C=∠C=60°，∠ABC=∠ABC如图
因为∠ABD=90°-∠DBC
所以2∠ABD+∠DBC=180°
所以∠ABD+∠DBC+∠ABD=180°
即∠ABC+∠ABD=180°
所以∠ABC+∠ABD=180°
所以D、B、C共线
又因为∠D=60°
所以∠DAC=180°-∠C-∠D=60°=∠D=∠C
所以△ADC是等边三角形，所以AD=AC=AC
3．法1：
在BC上截取BE=BA，BF=BD，连结DE、DF（如图）
易证△ABD≌△EBD
所以DE=DA，且∠DEB=∠A=100°
所以∠1=80°
因为AB=AC，∠A=100°
所以∠ABC=∠C=40°
又BD平分∠ABC，所以∠4=∠3=20°
由BD=BF得：∠2=∠BDF=80°
所以∠1=∠2，所以DE=DF，
又因为∠BDC=∠A+∠4=120°
所以∠5=40°=∠C，所以CF=DF，所以CF=DE=DA
所以BC=BF+FC=DB+AD
法2：
在BC上截取BE=BA，延长BD到F使BF=BC，连结DE、CF（如图）
易证△ABD≌△EBD
所以∠DEB=∠A=100°，所以∠DEC=80°
易求∠1=∠2=20°，∠3=40°
因为BC=BF，∠2=20°，所以∠F=∠FCB=80°=∠DEC
所以∠4=80°-∠3=40°=∠3
又DC=DC，所以△DCE≌△DCF（AAS）
所以DF=DE=AD
所以BC=BF=BD+DF=BD+AD
法3：
在BD上截取BE=BA，在BC上截取BF=BD，连结EF、DF（如图，相当于将△ABD绕B点旋转20°）
易证△ABD≌△EBF（SAS）
所以AD=EF，∠BEF=∠A=100°
所以∠DEF=80°，易求∠2=20°，∠C=40°，
∠BDC=120°
因为BD=BF，所以∠BDF=80°=∠DEF，
所以DF=EF且∠3=40°=∠C
所以DF=FC
所以BC=BF+FC=BD+DF=BD+EF=BD+AD
4．作C关于AP的对称点C，连结AC、BC、PC，则有PC=PC=2PB，∠APC=∠APC=60°可证△BCP为直角三角形（延长PB到D，使BD=BP，则PD=PC，又∠CPB=60°，则△CPD是等边三角形，由三线合一性质有CB⊥BP）∠CBP=90°
因为∠ABC=45°，所以∠CBA=45°=∠ABC
所以BA平分∠CBC
所以A到BC的距离=A到BC的距离
又因为∠APC=∠APC，所以PA平分∠CPC
所以A到PC距离=A到PC（即BC）的距离
所以A到BC的距离=A到PC的距离
所以A是角平分线上的点，即CA平分∠MCP
所以∠ACP=∠MCP=75°=∠ACP
5．略证：以AD为轴作△ABD的对称△ABD（如图），
则有BD=BD，AB=AB=AC，∠B=∠ABD=60°，∠ADB=∠ADB=90°-∠BDC，
所以∠ADB+∠ADB+∠BDC=180°-∠BDC+∠BDC=180°
所以C、D、B在一条直线上
所以△ACB是等边三角形
所以CA=CB=CD+DB=CD+BD
6．分两种情况讨论计算
（1）当过A作AD的垂线交BC延长于点M时，延长BA到C到C，使AC=AC，连结CM（如图），则BM=AB+AC=AB+AC=BC
所以∠C=∠CMB
由AD平分∠BAC，AM⊥AD，
易证AM平分∠CAC
所以△ACM≌△ACM
所以∠ACM=∠ACM=∠CMB
在△BCM中，∠B+∠C+∠CMB=180°
所以∠B+∠ACM+∠ACM=180°
所以∠B+2（∠BAC+∠B）=180°，解得∠B=50°
所以∠ACB=180°-∠B-∠BAC=115°
（2）当过A作AD的垂线交CB延长线于点M时，延长BA到C，使AC=AC，连结CC，CM（如图）
则BM=AB+AC=AB+AC=BC，
所以∠MCA=∠MBA
因为∠MAD=90°，所以∠MAC=90°+
又∠CAC=180°-∠BAC=165°
所以∠CAM=360°-∠CAC-∠MAC=97.5°=∠CAM
又AM=AM，所以△ACM≌△ACM（SAS）
所以∠ACM=∠ACB
在△MCC中，∠CMB+∠MCC+∠MCC=180°
所以∠MCA+∠MCA+∠ACC+∠MCA+∠ACC=180°
所以3∠ACM+∠CAB=180°
所以∠ACB=（180°-15°）=55°
所以∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=110°
综上，∠ABC=50°，∠ACB=115°或∠ABC=110°，∠ACB=55°
7．略证：
以BF为轴将△ABF翻折，以BD为轴将△BCD翻折，以DF为轴将△DEF翻折
因为∠A+∠C+∠E=∠ABC+∠CDE+∠AFE=360°
且AB=BC=CD=DE=EF=FA，
所以翻折后A、C、E落于同一个点O
所以OB=AB=AF=OF=EF=DE=OD=DE=CB=OB
所以四边形ABOF、BCDO、DEFO均为菱形
所以OB∥CD，DE∥OF
所以∠BOD+∠ODC=180°，∠FOD+∠ODE=180°
所以∠CDE=360°-∠BOD-∠FOD=∠BOF=∠BAF
同理可证，∠ABC=∠E，∠C=∠AFE
8．解：作A关于ON的对称点A，连结AB，作D关于OM的对称点D，连结CD，连结OA、OD、AD（如图）
所以AB=AB，CD=CD
由折线ABCD长=AB+BC+CD，而AB+BC+CD=AB+BC+CD≥AD
所以折线ABCD长的最小值的线段AD的长
因为∠NOA=∠MON=20°，∠DOM=∠MON=20°
所以∠DOA=60°
又因为OA=OA=4，OD=OD=8
所以∠OAD=90°
所以AD=
所以折线ABCD长度的最小值为12。
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