九年级数学竞赛专题第十三讲面积方法
一、选择题
1．如图1，△ABC为等腰直角三角形，它的面积为8平方厘米，以它的斜边为边的正方形BCDE的面积为（）平方厘米。
A．16;B．24;C．64;D．32
(1)(2)(3)
2．梯形ABCD中，AD∥BC，=3：7，那么它们的中位线把梯形分成两部分的面积比为（）
A．1：2;B．1：3;C．2：3;D．1：4
3．如图2，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD，AD的中点，AF、CE交于K，AG、CH交于L，EK：KC=1：2，HL：LC=1：2，则等于（）
A．B．C．D．
4．如图3，矩形ABCD的长为a，宽为b，如果=（）
A．B．C．D．
5．如图4，P为平行四边形ABCD内一点，且则等于（）
A．2;B．3;C．3;D．4
(4)(5)(6)
二、填空题
1．如图5，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，则△CDE的面积等于_________平方厘米。
2．如图6，P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB、AD的平行线交平行四边形于E、F、G、H四点，若，则=___________。
3．如图7，G是边长为4的正方形ABCD边上一点，矩形DEFG的边EF经过点A，已知GD=5，则FG为___________。
(7)(8)(9)
4．如图8，E为平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果△BEG的面积是1，则平行四边形ABCD的面积是__________。
5．如图9，ABCD是平行四边形，E在AC上，AE=2EC，F在AB上，BF=2AF，若△BEF的面积是2平方厘米，则平行四边形ABCD的面积是_______平方厘米。
三、解答题
1．如图，已知M、E分别是AB、CD中点，MN⊥CD，EF⊥AB，若MN=AB，EF=CD.
2．求证：以一个三角形三边中线为边的三角形的面积是原三角形面积的。
3．如图，在正方形ABCD中，M、N各在BC和CD上，满足∠MAN=45°
求证：.
4．如图，过平行四边形ABCD内任一点P作各边的平行线分别交AB、BC、C感动E、F、G、H。
求证：
5．如图，Rt△ABC中，AB>AC，在斜边BC上有一点D，BD=BA，过D作直线DE交AB于E，且DE平分△ABC的面积。求证：EB=ED=BE.
答案
一、
1．D
2．C
3．B
4．A
5．B
提示：
1．解法一：
设AB=x，则=8，所以x=4，
所以BC=4，所以
解法二：连结BD、EC交O，如图，
易证△ABC≌△BOC
所以
所以
2．显然，△ABD与△BCD等高，
∴AD：BC==3：7
设AD=2k，BC=7k，（k>0）
则中位线长为5k，
显然，中位线将梯形分成两个等高的梯形，设这个高为h，则两小梯形面积分别为：
其面积比为4kh：6kh=2：3
3．如图，连结AC，
因为EK：KC=1：2
所以KC：EC=2：3
所以
因为E为AB中点，
所以
所以
同理：
所以
所以故选B
4．
∴
∴
连结DB，如图，则
∴CF：FB=
∴FB=
同理，EB=
∴
∴，故选A
5．如图，过P作PF⊥AB于F，并反向延长交DC于E，则PE⊥DC
∵AB=DC，
∴
故选B
二、
1．；
2．1；
3．；
4．12；
5．9
提示：
1．过E作EH⊥CD于H，如图，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
又∵∠EHD=∠DAG=90°，ED=DG，
∴△EDH≌△DGA，
∴EH=AG
由得，
CD=AD=cm，DG=
在Rt△ADG中，AG=
∴
2．显然EPGD、GPFC、EPHA、PHBF均为平行四边形
∴
∴
又①
②
①-②得0=
即2
∴
3．如图，连结AG，则
∴
∴
∴
4．如图，连结AC交DB于O
∵AD∥BC，
∴△BEG∽△ADG，
∴
∴
∴
∵E为BC中点，
∴
∴
5．∵BF=2AF
∴BF=AB，∴
又∵AE=2EC，∴
∴
∴
三、
1．如图，连结AE、DM、ME
∵E、M分别为DC、AB中点，
∴DE=DC，AM=AB，
又∵MN=AB，EF=CD，
∴
∴△DME、△AME均以ME为底边时高相等，即D、A到ME的距离相等，
∴AD∥EM
同理可证，BC∥ME
∴AD∥BC
2．如图，AD、BE、CF为△ABC的三条中线，延长AD到G，使DG=AD，连结BG、GC，
取BG中点H，连结FH、CH
显然，ABGC为平行四边形
所以AC=BH，
又因为E、H分别为AC、BG中点，
所以BH平行且等于EC
所以BHCE为平行四边形
所以HC=BE
又因为F、H为AB、BG中点，
所以FH平行且等于AG，
所以FH平行且等于AD
所以△FCH三边长即为△ABC三中线长
又△BHF∽△ABG，
∴
而
∴
3．如图，将△AND顺时针旋转90°到△ABD处，显然D、B、C在同一直线上
∵∠MAN=45°，∠BAD=90°，
∴∠1+∠2=45°，∠1+∠3=45°，
即∠DAM=45°，又∵AD=AN
∴△ADM≌△AMN，
∴
∴
5．如图，过E作EF⊥BD于F，
则
又∵，
AB=BD，
∴EF=AC
显然△BEF∽△BCA
∴即BE=
同理，BF=AB=BD
∴EF垂直平分BD，
∴EF=BE=BC
-1-
|
|
