九年级数学竞赛专题第十四讲换元配方
一、选择题
1．如果是完全平方数，则这样的自然数n的值是（）
A．不存在;B．只有一个;C．不只一个，但有有限个;D．有无限多个
2．已知：的值等于（）
A．0或;B．;C．0;D．以上答案都不对
3．的值是（）
A．;B．;C．;D．1
4．下面分数：的值是（）
A．大于3;B．等于3;C．小于3;D．无法确定
5．设a>0,b>0,c>0,且，则以下说法正确的是（）
A．a,b,c可能相等，也可能不等；B．a,b,c相等；
C．a,b,c不相等；D．以上说法都不对。
二、填空题
1．若a>1，化简：=_______________。
2．已知：____________。
3．若S=，当x与y取遍所有实数时，则S_______0。（填“大于”，“小于”）
4．已知a,b,c,d均为实数，且ad–bc=1,则abcd=________。
5．对于任意的实数m，关于x的一元二次方程：总有实数根，则n的取值范围是____________。
三、解答题
1．化简：
（1）;
（2）;
（3）;
2．已知：a,b,c均为整数，且，则的值是多少？
3．解方程：
4．已知：三角形的三边长分别为a,b,c，且满足，
求：三角形的面积。
5．若a,b,c为两两不等的有理数。
求证：为有理数。
答案
1．B
2．A
3．B
4．B
5．B
1．原式=(a为整数)
∴
∴
设a+48=……（1）
a+48=……（2）
∴m+t=n
由（1）-（2）得：96=
∵为偶数，为奇数
而
∴=3且=
∴t=5,m=7
∴n=12
∴只有一个选项B正确
2．设，
则：
∴
∵∴∴k=1或k=-1
当k=1时，即
∴原式=
当k=-1时，即
∴原式=0
∴选项A正确
3．解法1：
设=A
则
∵A>0∴
解法2：
原式=
所以选项B正确
4．设A==2+
∵A≠0
∴
(A-3)(A+1)=0
∴A=3或A=-1（∵A>0舍）
所以选项B正确
5．设，，
则
由已知可得：
即
∵a>0,b>0,c>0,
∴x>0,y>0,z>0,
∴x+y+z>0
∴x+y+z-xy–xz–yz=0,
即：x=y=z
∴
即
由得a=b
由得b=c
∴a=b=c
所以选项B正确
二、填空题
1．2；
2．1；
3．>0；
4．
5．
1．设，则
∴
∴
∴原式=
2．∵
∴
∴
∴
∴x=1,y=2,z=3
∴
3．S=
∵
当时不可能
所以S>0
4．∵
且ad–bc=1……（1）
∴
∴
∴
∴a–b=c+d=a–d=b+c=0
∴a=b=d=-c……（2）
把（2）代入（1）得：∴
∴
5．因为对于任意的实数m，关于x的一元二次方程：
总有实数根。
∴△=
所以对于任意实数m，都有△≥0
则
三、解答题
1．化简：
（1）设，则
原式=
（2）设
原式=
（3）设
原式=
∵x≥0,∴x+3>0,x+1>0
∴原式=
2．∵
∵且a,b,c均为整数，
所以只有a=b=1,c=2，
∴原式=
3．设：
∴原方程可化简为：
∵
∴uv=2
∴u=v=或x=0
∴∴
∴
∴经检验原方程解为：
4．解：
∵……（1）
解法1：
∴当a≥b时有b≥c,即a≥b≥c
同理可得：即b≥c≥a
同理可得：即c≥a≥b
∴a=b=c=1
解法2：
∵
∴
∴
∴∴a=b=c=1
∴
5．证：设，
由于
∴
∴
即=
∴当a,b,c为两两不等的有理数时，
是有理数。
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