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| 第15讲__相似图形(含解答) |
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九年级数学竞赛专题第十五讲相似图形
一、选择题
1．如图1，已知等腰梯形ABCD中，AD=BC=DC=1，AB=AC，那么底边AB的长为（）
A．;B．;C．或;D．2
(1)(2)(3)
2．如图2，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，四边形ABEF，ACGH均为正方形，则
=（）
A．AB：AC;B．BD：DC;C．;D．
3．如图3，在△ABC中，E是中线AD的中点，则AF：FC=（）
A．1：2;B．1：3;C．2：3;D．2：5
4．如图4，过△ABC的重心O点（三条中线的交点），作BC的平行线，交AB于D，交AC于E，则△ADE与△ABC的面积比是（）
A．1：2;B．2：3;C．1：3;D．4：9
(4)(5)(6)
5．如图5，在△ABC中，BD：DC=3：1，G是AD的中点，BG延长线交AC于E，那么BG：GE=（）
A．3：1;B．4：1;C．6：1;D．7：1
二、填空题
1．如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB上一点，且AD∥EF，EF交CD于F，AD=2，BC=4，AE：EB=2：3，则EF=_________。
2．如图7，已知矩形DEFG内接于Rt△ABC，D在AB上，E、F在BC上，G在AC上，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，，则矩形的边长DG=__________。
3．如图8，△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，若AB=5cm，AC=3cm，则AD=_________。
(7)(8)(9)
4．如图9，矩形在矩形ABCD的形内，各平行边间的距离都是a，且矩ABCD∽矩形，若AB=2cm，则AD=_________。
5．过线段AB的两端作AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，连AD、BC交于O，AC=a，BD=b（b>a），那么点O到线段AB的距离为__________。
三、解答题
1．如图，已知D、E是AC、AB上的点，BD、CE交于O点，过O点作OF∥CB交AB于F，AD=CD，AE=BE。求证：F是AB的中点。
2．如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，若∠BDE=∠CDF，E、F分别为AB、AC上的点。求证：.
3．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，M、N分别为A原中点，MN交AC、BD于E、F。求证：BD·OE=AC·OF.
4．已知△ABC中，AB=AC=2，AB边上的高CH为，正方形DEFG的DE边在BC上，F、G分别在AC、AB上，求：DE的长度。
5．已知，如图，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P，且∠BPC为直角。求证：.
答案
一、选择题
1．B
2．B
3．A
4．D
5．D
提示：
1．如图，过C作CE∥AD交AB于E。
所以四边形AECD为平行四边形
又因为AD=BC=DC=1，
所以平行四边形AECD为菱形，CD=AE=EC=1，
所以∠B=∠CEB
又因为AB=AC，
所以∠B=∠BCA
所以∠CEB=∠BCA，
因为∠B为公共角，
所以△ABC∽△CBE，
设AB=X，则BE=X-1
所以
所以
因为X>0
所以X=
所以AB=
2．因为ABEF，ACGH均为正方形，所以正方形ABEF∽正方形ACGH，它们面积比等于相似比的平方，即
在Rt△ABC中，AD⊥BC，
所以Rt△ABD∽Rt△CBA
所以BD：AB=AB：BC
所以=BD·BC
同理有=CD·BC
所以=BD：CD
3．如图，过D作DG∥BF，交AC于G
因为E为AD中点，EF∥DG，
所以F炽点，
因为D为BC中点，DG∥BF，
所以G为FC中点
所以AF=FG=GC
所以AF：FC=1：2
4．如图，过F作FH∥CG交AB于H，由F为BC中点，
所以BH=HG=BG=AG
因为OG∥FH
所以AO：AF=AG：AH=AG：（AG+HG）=1：（1+）=2：3
因为DE∥BC
所以△ADE∽△ABC，AO：AF=AE：AC
所以
5．如图，作GM∥AC交BC于M
因为G是AD中点，
所以M为DC中点，
所以DM=MC=DC
所以BG：GE=BM：MC，且BD：DC=3：1
所以BD=3DC
所以BG：GE=（BD+DM）：DM
=（3DC+DC）：DC
=7：1
二、填空题
1．；
2．
3．；
4．2cm；
5．
解答：
1．如图，过A作AG∥CD交BC于G，交EF于M，则
EM：BG=AE：AB=AE：（AE+BE）=2：5
又AD=2，BC=4，
所以BG=BC-CG=BC-AD=2
所以EM：2=2：5
所以EM=
又MF=AD=2，
所以EF=EM+MF=
2．如图，作AM⊥BC于M，交DG于N
在矩形DEFG中，DG∥BC，
所以△ADG∽△ABC
所以①
设DE=x，
因为所以DG=
又因为∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm
所以BC=
因为所以AM=
AN=AM-x=
所以①式可化为
所以所以
所以DE长为3cm或
当DE=3cm时，DG=
当DG=时，DG=
3．如图，延长BA到E，使AE=AC，连结CE
因为∠CAE=180°-∠BAC=60°
所以△ACE为等边三角形
所以∠E=60°
因为AD平分∠BAC
所以∠BAD=∠E=60°
所以AD∥EC，所以△BAD∽△BEC
所以BA：BE=AD：EC=AD：AC
所以BA：（BA+AE）=AD：AC
所以
所以AD=1
4．如图
因为矩形ABCD∽矩形ABCD
所以AB：AB=AD：AD
因为AB=AB-2α，AD=AD-
所以（AB-2α）：AB=（AD-2α）：AD
因为AB（AD-2α）=AD（AB-2α）
所以AB·AD-AB·2α=AD·AB-AD·2α
所以AB·2α=AD·2α
所以AD=AB=2cm
5.①如图，若AC，BD在AB的两侧，作OP⊥AB交BA延长线开P，则OP∥CA∥BD，
所以OP：DB=AO：AD
而AO：DO=CA：DB=a:b
所以AO：AD=a:（b-a）
所以OP：b=a:（b-a）
所以OP=
②如图，若AC、BD在AB的两侧
作OP⊥AB于P，则CA∥OP∥BD
因为OP：DB=AO：AD
AO：DO=CA：DB=a:b
所以AO：AD=a:(a+b)
所以OP：b=a:(a+b)
所以OP=
三、解答题
如图，过A作MN∥BC交CE，BD的延长线于M、N
所以MA：BC=AE：BE
AN：BC=AD：DC
因为AD=CD，AE=BE
所以MA：BC=1：2，AN：BC=1：2
所以MN=BC
因为MN∥BC
所以∠M=∠OCB，∠N=∠OBC
所以△MON≌△COB
所以ON=OB，因为OF∥BC∥MN
所以F是AB中点
2．如图，过E作EM⊥BC于M，
过F作FN⊥BC于N
因为AB=AC
所以∠ABC=∠ACB
因为∠BDF=∠CDF
所以△BDE∽△CDF，DE：DF=BD：CD
又因为∠EMD=90°=∠FND
∠BDE=∠CDF
所以△MDE∽△NDF
DE：DF=EM：FN
所以BD：CD=EM：FN
所以BD·FN==CD·EM
即
3．如图，取AB的中点G
连结GM，GN
因为M、N分别为AD，BC中点
所以GM∥BD，GM=BD
GN∥AC，GN=AC
所以∠GMD=∠OFE，∠GNM=∠OEF
所以△GMN∽△OFE
所以GM：OF=GN：OE
即BD：=AC：OE
所以BC·OE=AC·OF
4．（1）当∠BAC锐角时，如图，作BC边上的高AK，交GF于M
AH===1
所以AH=BH=AB，因为CH⊥AB
所以AB=AC=BC=2，所以AK=
设正方形边长为X
因为FG∥BC，所以△AGF∽△ABC
所以GF：BC=AM：AK
所以X：2=（-X）：
所以X=-6
即正方形边长为-6
（2）当∠BAC为钝角时，如图，作BC边上高AK
在Rt△ACH中，AH==1
所以BH=AB+AH=3
所以Rt△BHC中，
BC===2
在Rt△ABK中，
AK===1
因为FG∥BC，
所以△AFG∽△ABC，
所以X=2=（1-X）：1
所以X=
即正方形边长为
5．如图，连结GH并延长交AB开E
则CE⊥AB
所以Rt△ABD∽Rt△CHD
所以AD：CD=BD：HD，
所以AD·HD=BD·CD
又△BPD∽△PCD
所以BD：PD=PD：CD
所以PD=BD·CD
所以PD=AD·HD.
-7-
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