4．小球质量为m，用长为L的轻质细线悬挂在O点，在O点的正下方处有一钉子P，把细线沿水平方向拉直，如图4－
3－11所示，无初速度地释放小球，当细线碰到钉子的瞬间，设线没有断裂，则下列说法错误的是()
A．小球的角速度突然增大B．小球的瞬时速度突然增大C．小球的向心加速度突然增大
D．小球对悬线的拉力突然增大解析：当细线碰到钉子时，线速度不变，但小球做圆周运动的半径将减小．由ω＝，R减小，
ω增大；由a＝，R减小，a增大；由FT－mg＝m，得FT增大，故A、C、D正确，B错误．答案
：B5．(2010·金华模拟)在2008年北京奥运会体操男子单杠决赛中，中国小将邹凯问鼎冠军
．邹凯完成了一个单臂回环动作后恰好静止在最高点，如图4－3－12所示．设邹凯的重
心离杠l＝0.9m，体重56kg.忽略摩擦力，且认为单臂回环动作是圆周运动(g＝10m/s2)．试求：
(1)达到如图4－3－12所示效果，邹凯的重心在最低点的速度大小．(2)邹凯在最高点与
最低点时对杠的作用力分别是多大．解析：(1)根据机械能守恒，设邹凯在最低点的速度为v，则mgh＝mv2h＝
2l所以v＝＝6.0m/s.(2)在最高点邹凯处于静止状态，故所受杠的支
持力等于其重力FN＝mg＝560N由牛顿第三定律，邹凯对杠的作用力为560N.在最低点做圆周运动，设杠对邹凯的作用力为
FN′则FN′－mg＝m故FN′＝mg＋m＝2800N由牛顿第三定律知，邹凯对杠的作用力为2800N.
答案：(1)6.0m/s(2)560N2800N解析：汽车在水平弯道上拐弯时，向心力由静摩擦力来提供，但不能
超过最大静摩擦力；汽车在水平路面上拐弯，可视为汽车做匀速圆周运动，恰好不滑动时有：0.6mg＝m，将v＝30
m/s代入，得最小弯道半径r＝150m.答案：150m(2010·宁波质检)某种
变速自行车，有六个飞轮和三个链轮，如图4－3－5所示，链轮和飞轮的齿数如下表所示，前、后轮直径约为660mm，人骑该种自行车行进
速度为4m/s时，脚踩踏板做匀速圆周运动的角速度最小值约为
()图4－3－5名称链轮飞轮齿数N/个4838281516
18212428A．1.9rad/sB．3.8rad/sC．6.5rad/s
D．7.1rad/s[思路点拨]解答本题时应把握好以下几个关系
：(1)后轮与飞轮的角速度相等；(2)链轮与飞轮边缘线速度相等；(3)当飞轮齿数取最小值、链轮齿数取最大值时，脚踏板的角速度
有最小值．[课堂笔记]车行驶速度与前、后轮边缘的线速度相等，故后轮边缘的线速度为4m/s，后轮的角速度ω＝
rad/s≈12rad/s.飞轮与后轮为同轴装置，故飞轮的角速度ω1＝ω＝1
2rad/s.飞轮与链轮是用链条连接的，故链轮与飞轮边缘的线速度相同，所以ω1r1＝ω2r2，r1、r2分别为飞轮和链轮的半径
，因为周长L＝NΔL＝2πr，N为齿数，ΔL为两邻齿间的弧长，故r∝N，所以ω1N1＝ω2N2.又踏板与链轮同轴，脚踩踏板的角
速度ω3＝ω2，ω3＝，要使ω3最小，则N1＝15，N2＝48，故ω3＝
rad/s＝3.75rad/s≈3.8rad/s.故B项正确．[答案]B对于有传动装置连接的做圆周运
动的物体，要注意寻找它们之间的关系．对于用皮带、链条、齿轮连接的物体，直接连接处的线速度大小相等.
如图4－3－6所示，质量为m的小球置于方形的光滑盒子中，盒子的边长略大于小球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内以O点为圆
心做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，求：图4－3－6(1)若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无
作用力，则该同学拿着盒子做匀速圆周运动的周期为多少？(2)若该同学拿着盒子以第(1)问中周期的做匀速圆周运动，
则当盒子运动到如图4－3－6所示(球心与O点位于同一水平面上)时，小球对盒子的哪些面有作用力，作用力大小分别为多少？[思路点拨
][课堂笔记](1)设盒子的运动周期为T0.因为在最高点时盒子与小球之间刚好无作用力，因此小球仅受重力作用，由重力提供向
心力，根据牛顿第二定律得mg＝mR()2解之得T0＝2π(2)设此时盒子的运动周期为T，则小球的向心加速
度为a0＝由第(1)问知T0＝2π且T＝由上述三式知a0＝4g设小球受盒子右侧面的作用力为F，受上侧面的作用力为FN，根
据牛顿运动定律知在水平方向上F＝ma0即F＝4mg在竖直方向上FN＋mg＝0即FN＝－mg因为F为正值、FN为负值，由
牛顿第三定律知小球对盒子的右侧面和下侧面有作用力，大小分别为4mg和mg.[答案](1)2π(2)小球对盒
子的右侧面和下侧面有作用力，大小分别为4mg和mg在判断盒子对小球的作用力的大小和方向时，可以首先做出假设
，然后应用牛顿第二定律列式求解，最后根据结果的符号判断力的真实方向.(10分)如图4－3－7所
示，在光滑的圆锥体顶端用长为l的细线悬挂一质量为m的小球．圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°
.小球以速率v绕圆锥体轴线在水平面内做匀速圆周运动．(1)当v1＝时，求线对小球的拉力；(2)当v2＝
时，求线对小球的拉力．[思路点拨]当小球做圆周运动的速率v足够大时，小球有可能脱离圆锥体表面，因此应当求出
临界速度，然后对(1)、(2)问中的速度下小球的运动情况做出判断．[解题样板]如图4－3－8甲所示，小球在锥面上运动，当支持力
FN＝0时，小球只受重力mg和线的拉力FT的作用，其合力F应沿水平面指向轴线，由几何关系知F＝mgtan30°┄┄┄┄┄┄┄┄
┄┄┄┄┄┄┄①(1分)又F＝m┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄②(2分)由
①②两式解得v0＝┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(1分)(1)因为v1＜v0，所以小球与锥面接触并产生弹力FN
，此时小球受力如图4－3－8乙所示．根据牛顿第二定律有FTsinθ－FNcosθ＝┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄
┄③(1分)FTcosθ＋FNsinθ－mg＝0┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄④(1分)由③④两式解得FT＝
≈1.03mg┄┄┄┄(1分)(2)因为v2＞v0，所以小球与锥面脱离并不接触，设此时线与竖
直方向的夹角为α，小球受力如图4－3－8丙所示．则FTsinα＝┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄⑤(1分)
FTcosα－mg＝0┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄⑥(1分)由⑤⑥两式解得FT＝2mg.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(1分)
[答案](1)1.03mg(2)2mg(1)先确定临界值v0，再对v1、v2所对应的情况做出判断，可以减
少解题的盲目性，少走弯路．(2)当小球与圆锥面脱离后，线与竖直方向的夹角发生了变化，应重新设角度．1．如图4－
3－9所示，物块在水平圆盘上，与圆盘一起绕固定轴匀速转动，下列说法中正确的是
()A．物块处于平衡状态B．物块受三个力作用C．在角速度一定时，物
块到转轴的距离越远，物块越不容易脱离圆盘D．在物块到转轴距离一定时，物块运
动周期越小，越不容易脱离圆盘图4－3－9解析：对物块进行受力分析可知，物块受竖直向下的重力、垂直圆盘向上的支持力及指向圆
心的摩擦力共三个力作用，合力提供向心力，A错，B正确．根据向心力公式F＝mrω2可知，当ω一定时，半径越大，所需的向心力越大，越容
易脱离圆盘；根据向心力公式F＝mr可知，当物块到转轴距离一定时，周期越小，所需向心力越大，越容易脱离圆
盘，C、D错误．答案：B2．如图4－3－10所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动．当小球运
动到P点时拉力F发生变化，关于小球以后运动情况的说法正确的是()
A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动D．若拉力突然变小，小球将沿
轨迹Pc做近心运动图4－3－10解析：当拉力变小时，小球会由于拉力不足以提供向心力而做离心运动，同时又由于细线还有拉力而改变运
动方向，所以小球将沿切线和圆周之间的某一方向飞出，即沿轨迹Pb做离心运动；在拉力突然变大后，由于所施加的拉力大于所需的向心力，会把
小球向内拉动，偏离了圆周，而向圆心的一侧运动，即沿轨迹Pc运动；若拉力突然消失，小球将由于惯性沿轨迹Pa做离心运动．故只有A正确．
答案：A3．铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关
，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确的是
()A．v一定时，r越小则要求h越大B．v一定时，r越大则要求h越大C．r一定
时，v越小则要求h越大D．r一定时，v越大则要求h越大解析：设轨道平面与水平方向的夹角为θ，由mgtanθ＝m
得tanθ＝可见v一定时，r越大，tanθ越小，内、外轨的高度差h越小，
故A正确，B错误；当r一定时，v越大，tanθ越大，内、外轨的高度差h越大，故C错误，D正确．答案：AD一、描述圆周运动的
物理量及其相互关系描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、转速、向心加速度、向心力等，现比较如下表：
定义、意义公式、单位线速度①描述做圆周运动的物体运动的物理量(v)②是矢量，方向和半径垂直，和
圆周②单位：m/s角速度①描述物体绕圆心的物理量(ω)②中学不研究其方向②单
位：rad/s周期和转速周期是物体沿圆周运动的时间(T)②转速是物体在单位时间内转过的
(n)，也叫频率(f)①T＝；单位：s②n的单位r/s、r/min③f的单位：Hz，f＝快慢相切转动快
慢一圈圈数定义、意义公式、单位向心加速度①描述速度变化的物理量(an)②方向
指向①an＝＝ω2r②单位：m/s2向心力①作用效果是产生向心加速度，只改变线速度的，
不改变线速度的②方向指向①Fn＝＝m＝m②单位：N相互关系①v＝rω＝
＝2πrf②an＝＝4π2f2r③Fn＝
＝mωv＝m4π2f2rmω2r圆心方向快慢方向圆心大小
1．对于某一确定的匀速圆周运动而言，角速度(ω)、周期(T)是恒定不变的．2．向心力是一种“效果力”，可以是某一
个力，也可以是几个力的合力或某一个力的分力，方向时刻指向圆心．1．匀速圆周运动(1)定义：线速度的
的圆周运动．(2)特点：线速度的大小，角速度、周期和频率都是
恒定不变的，向心加速度和向心力的也是恒定不变的．(3)性质：匀速圆周运动是速度大小
而方向时刻改变的变速曲线运动，并且加速度大小，方向指向，所以加
速度时刻在改变．(4)条件：合外力大小不变，方向始终与速度垂直．大小处处相等不变大小不变不变圆心二、匀速圆周运动
和非匀速圆周运动(5)两个特例①同一转动圆盘(或物体)上各点的相同．
②皮带连接的两轮不打滑时，轮缘上各点的大小相等．角速度线速度2．非
匀速圆周运动(1)定义：线速度的、均不断变化的圆周运动．(2)合力的作用
①合力沿速度方向的分量Ft产生切向加速度，Ft＝mat，它只改变速度的．②合力
沿半径方向的分量Fn产生向心加速度，Fn＝man，它只改变速度的．大小方向
大小方向三、离心运动1.定义：做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或不足以提供做圆周运动所需
的情况下，所做的圆心的运动．2.本质(1)离心现象是物体惯性的表现．(2)
离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿方向飞出的运动．(3)离心
运动并不是受到什么离心力．向心力远离切线3.条件：做圆周运动的质点，当它受到的沿着半径指向圆心的合力突然变为零
或不足以提供做圆周运动所需的向心力时，质点就做离心运动．4.设质点质量为m，做圆周运动的半径为r，角速度为ω，向
心力为F，如图4－3－1所示．(1)当F＝时，质点做匀速圆周运动；(2)当F
＜时，质点做离心运动；(3)当F＝0时，质点沿切线做直线运动．mω2rmω2r图4－3－
1物体的运动状态是由力决定的，物体做离心运动还是近心运动，关键是看提供的向心力和所需向心力的关系．1．
向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力、磁场力或电场力等各种力，也可以是几个力
的合力或某一个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个“向心力”．2．向心力的确定首先
确定圆周运动的轨道所在的平面；其次找出轨道圆心的位置；然后分析做圆周运动的物体所受的力，并作出受力图；最后找出
这些力指向圆心的合力就是向心力．当利用正交分解法确定向心力时，一般以做圆周运动的物体为坐标原点，沿半径方向和切线
方向分解各力．1．如图4－3－2所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点
为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是
()A．绳的拉力B．重力和绳
的拉力的合力C．重力和绳的拉力的合力沿绳方向的分力D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力图4－3－2解析：分析向心力来源时就
沿着半径方向求合力即可，注意作出正确的受力分析图．如图所示，对小球进行受力分析，它受到重力和绳子的拉力作用，向心力是指向圆心方向的
合力．因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力．答案：CD临界问题
总是出现在变速圆周运动中，而竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，其常见模型有轻绳模型和轻杆模型．现比较如下：轻绳模型轻
杆模型常见类型过最高点的临界条件由mg＝m得v临＝v临＝0轻绳模型轻杆模型讨论分析(1)过最高点时，
v≥绳、轨道对球产生弹力F(2)v＜不能过最高点，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v＝0时，FN＝mg
，FN为支持力，沿半径背离圆心(2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心并随v的增大而减
小(3)当v＝时FN＝0(4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而
增大1.绳模型和杆模型过最高点的临界条件不同，其原因是绳不能有支撑力，而杆可有支撑力．2．对于杆模型，在最高点时，
如果不知是支撑力还是拉力，此时可假设，然后根据其方向再确定．2．长度为L＝0.50m的轻质细杆OA，A端有一质量为m
＝3.0kg的小球，如图4－3－3所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速
率是2.0m/s，g取10m/s2，则此时细杆OA受到()A．6.0N的拉力B．6.0
N的压力C．24N的拉力D．24N的压力图4－3－3解析：法一：设
小球以速率v0通过最高点时，球对杆的作用力恰好为零，即mg＝m得v0＝由于v＝2.0m/s＜m/s，可
知过最高点时，球对细杆产生压力，则杆对球的作用力方向向上．小球的受力情况如图甲所示．由牛顿第二定律mg－FN＝m
，得FN＝mg－m即细杆OA受到6.0N的压力．法二：设杆对小球的作用力为FN(由于方向未知，可以设为向下)，对小球
进行受力分析如图乙所示．由向心力公式得FN＋mg＝m，则FN＝负号说明FN的方向与假设方向相反，即向上，
即杆对球作用力为6.0N的支持力．由牛顿第三定律可知细杆OA受到6.0N的压力．答案：B1．火车转弯问题
在平直轨道上匀速行驶的火车，所受合力为零，在火车转弯时，什么力提供向心力呢？在火车转弯处，让外轨高于内
轨，如图4－3－4所示，转弯时所需向心力由重力和弹力的合力提供．若轨道水平，转弯时所需向心力应由外轨对车轮的
挤压力提供，而这样对车轨会造成损坏．车速大时，容易出事故．图4－3－4设车轨间距为L，两轨高度差为h，车转弯半径为R，质量为M的火车运行时应当有多大的速度？根据三角形边角关系知sinθ＝对火车的受力情况分析如图4－3－4所示，得tanθ＝因为θ角很小，所以sinθ≈tanθ，故所以向心力F＝Mg.又因为F＝，所以车速v＝由于铁轨建成后h、L、R各量都是确定的，故火车转弯时的车速应是一个定值，否则将对铁轨有不利影响，如：情况v车＞v车＜合力F与F向的关系F＜F向F＞F向不利影响火车挤压外轨火车挤压内轨结果外轨对车轮的弹力补充向心力内轨对车轮的弹力抵消部分合力静摩擦力的特点是根据物体运动改变大小，变换方向．有人把静摩擦力的这一特点称为“适应性”．由于静摩擦力这一特点的存在导致在许多问题中出现了临界问题．处理这类问题的关键是分析出静摩擦力的变化，从而结合其他力分析出向心力的变化，以确定圆周运动的其他物理量的变化．2．静摩擦力作用下的圆周运动3．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108km/h.汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面间的最大静摩擦力为车重的0.6倍．取g＝10m/s2，试问：汽车在这种高速公路的水平弯道上安全拐弯时，其弯道的最小半径是多少？? |
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