2012年高考数学按章节分类汇编（人教A必修四）
第二章平面向量
一、选择题
1．（2012年高考（重庆文））设,向量且,则 （）
A．．（2012年高考（重庆理））设R,向量,且,则 B． C． D．10
．（2012年高考（浙江文）） （）
A．．（2012年高考（浙江理））设a,b是两个非零向量.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB．若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λbD．若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|
．（2012年高考（天津文））
（）
A． B． C． D．2
6．（2012年高考（天津理））已知△ABC为等边三角形,,设点P,Q满足,,,若,则 （）
A． B． C． D．
．（2012年高考（辽宁文）） （）
A． C． D．1
8．（2012年高考（辽宁理））已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|ab|,则下面结论正确的是 （）
A．a∥b B．a⊥b
C．{0,1,3} D．a+b=ab
．（2012年高考（广东文））．（2012年高考（广东文））．（2012年高考（福建文）） （）
A．．（2012年高考（大纲文）） （）
A．．（2012年高考（湖南理））在△ABC中,AB=2,AC=3,=1则. B． C． D．
14．（2012年高考（广东理））对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量、满足,与的夹角,且和都在集合中,则 （）
A． B．1 C． D．
．（2012年高考（广东理））(向量)若向量,,则 （）
A． B． C． D．
．（2012年高考（大纲理））中,边上的高为,若,则 B． C． D．
．（2012年高考（安徽理））在平面直角坐标系中,,将向量按逆时针旋转后,得向量则点的坐标是 （）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2012年高考（浙江文））
11．（2012年高考（上海文））
的点,且满足,则的取值范围是_________.
12．（2012年高考（课标文））
13．（2012年高考（江西文））_______________。
14．（2012年高考（湖南文））
15．（2012年高考（湖北文））
(Ⅰ)与同向的单位向量的坐标表示为____________;
(Ⅱ)向量与向量夹角的余弦值为____________.
16．（2012年高考（北京文））17．（2012年高考（安徽文））
18、．（2012年高考（新课标理））已知向量夹角为,且;则．（2012年高考（浙江理））在ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则=______________.
．（2012年高考（上海理））在平行四边形ABCD中,∠A=,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足,则的取值范围是_________.
．（2012年高考（江苏））如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是___.
．（2012年高考（北京理））已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为________;的最大值为________.
．（2012年高考（安徽理））若平面向量满足:;则的最小值是
参考答案
一、选择题
1.
【解析】,
【考点定位】本题主要考查向量的数量积运算及向量垂直的充要条件,本题属于基础题,只要计算正确即可得到全分.
2【答案】B【解析】由,由,故.【考点定位】本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示,模长公式.解决问题的关键在于根据、,得到的值,只要记住两个向量垂直,平行和向量的模的坐标形式的充要条件,就不会出错,注意数字的运算.
.【答案】C
【命题意图】本题考查的是平面向量,主要考查向量加法运算,向量的共线含义,向量的垂直关系.
【解析】利用排除法可得选项C是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,即存在实
数λ,使得a=λb.如选项A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b可为异向的共线向量;选项B:若a⊥b,由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项D:若存在实数λ,使得a=λb,a,b可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.
4、【答案】C
【解析】利用排除法可得选项C是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,即存在实数λ,使得a=λb.如选项A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b可为异向的共线向量;选项B:若a⊥b,由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项D:若存在实数λ,使得a=λb,a,b可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.
.【解析】如图,设,则,又,,由得,即,选B.
6、【答案】A
【命题意图】本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用.
【解析】∵=,=,又∵,且,,,∴,,所以,解得.
.【答案】D
【解析】,故选D
【点评】本题主要考查向量的数量积,属于容易题.
8、【答案】B
【解析一】由|a+b|=|ab|,平方可得ab=0,所以a⊥b,故选B
【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|ab|分别为以向量a,b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a+b|=|ab|,所以该平行四边形为矩形,所以a⊥b,故选B
【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系,属于容易题.解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的几何意义来解..解析:C.,,两式相乘,可得.因为,所以、都是正整数,于是,即,所以.而,所以,,于是.
10.解析:A..
11.【解析】有向量垂直的充要条件得2(x-1)+2=0所以x=0.D正确
【答案】D
【考点定位】考察数量积的运算和性质,要明确性质.
12.答案D
【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角形求解点D的位置的运用.
【解析】由可得,故,用等面积法求得,所以,故,故选答案D
13、【答案】A【解析】由下图知.
.又由余弦定理知,解得.
【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意的夹角为的外角.
【解析】C;因为,且和都在集合中,所以C.
【另解】C;,,两式相乘得,因为,均为正整数,于是,所以,所以,而,所以,于是,选C.
15、解析:A..
答案D
【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角形求解点D的位置的运用.
【解析】由可得,故,用等面积法求得,所以,故,故选答案D
【解析】选【方法一】设则【方法二】将向量按逆时针旋转后得则
二、填空题
10.
【命题意图】本题主要考查了平面向量在三角形中的综合应用.
【解析】由余弦定理,
,,两式子相加为,
,
.
11.[解析]如图建系,则A(0,0),B(2,0),D(0,1),C(2,1).
设([0,1],则,,
所以M(2,t),N(2-2t,1),
故=4-4t+t=4-3t=f(t),因为t([0,1],所以f(t)递减,
所以()max=f(0)=4,()min=f(1)=1.
12.【命题意图】.本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则,是简单题.
【解析】∵||=,平方得,即,解得||=或(舍)
13.【答案】
【解析】由已知可得,又因为m为单位向量所以,联立解得或代入所求即可.
【考点定位】本题考查向量垂直的充要条件.
14.【答案】18
【解析】设,则,=
.
【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.
15.(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)由,得.设与同向的单位向量为,则且,解得故.即与同向的单位向量的坐标为.
(Ⅱ)由,得.设向量与向量的夹角为,则.
【点评】本题考查单位向量的概念,平面向量的坐标运算,向量的数量积等.与某向量同向的单位向量一般只有1个,但与某向量共线的单位向量一般有2个,它包含同向与反向两种.不要把两个概念弄混淆了.来年需注意平面向量基本定理,基本概念以及创新性问题的考查.
16.【答案】;
【解析】根据平面向量的点乘公式,可知,因此;,而就是向量在边上的射影,要想让最大,即让射影最大,此时点与点重合,射影为,所以长度为1
【考点定位】本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法.
17.【解析】
18、【解析】
【答案】
【解析】此题最适合的方法是特例法.假设ABC是以AB=AC的等腰三角形,如图,AM=3,BC=10,AB=AC=.
cos∠BAC=.=
20、[解析]如图建系,则A(0,0),B(2,0),D(,),C(,).设([0,1],则,,所以M(2+,),N(-2t,),故=(2+)(-2t)+(=,因为t([0,1],所以f(t)递减,()max=f(0)=5,()min=f(1)=2.[评注]当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:M在B(N在C)和M在C(N在D),而本案恰是在这两点处取得最值,蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了!
【答案】.
【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义.
【解析】由,得,由矩形的性质,得.
∵,∴,∴.∴.
记之间的夹角为,则.
又∵点E为BC的中点,∴.
∴
.
本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解.
【答案】;【解析】根据平面向量的点乘公式,可知,因此;,而就是向量在边上的射影,要想让最大,即让射影最大,此时点与点重合,射影为,所以长度为1【考点定位】本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法.
【解析】的最小值是
A
B
D
C
y
x
2
1
(O)
M
N
x
y
A
B
C
D
M
N
|
|
