2012年高考数学按章节分类汇编（人教A必修五）
第二章数列
一、选择题
1．（2012年高考（辽宁文））在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=12 B．16 C．20 D．24．（2012年高考（辽宁理））在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11= （）
A．58 B．88 C．143 D．176
设函数,是公差不为0的等差数列,,则 （）
A．0 B．7 C．14 D．21．（2012年高考（四川理））设函数,是公差为的等差数列,,则 （）
A． B． C． D．
．（2012年高考（上海文））若,则在中,正数的个数是 （）
A．16. B．72. C．86. D．100.．（2012年高考（上海理））设,.在中,正数的个数是 （）
A．25. B．50. C．75. D．100.
．（2012年高考（课标文））数列{}满足,则{}的前60项和为3690 B．3660 C．1845 D．1830
．（2012年高考（江西文））观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12.则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为76 B．80 C．86 D．92
．（2012年高考（湖北文））定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数:①;②;③;④.则其中是“保等比数列函数”的的序号为①② B．③④ C．①③ D．②④
．（2012年高考（福建文））数列的通项公式,其前项和为,则等于1006 B．2012 C．503 D．0
．（2012年高考（大纲文））已知数列的前项和为,,,则 B． C． D．
．（2012年高考（北京文））某棵果树前年得总产量与之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前年的年平均产量最高,的值为 （）
A．5 B．C．9 D．1113．（2012年高考（北京文））已知为等比数列.下面结论中正确的是 （）
A． B．C．若,则 D．若,则
1．（2012年高考（安徽文））公比为2的等比数列{}的各项都是正数,且=16,则 （）
A． B． C． D．已知为等比数列,,,则 （）
A． B． C． D．
．（2012年高考（浙江理））设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题错误的是若d<0,则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项,则d<0C．若数列{Sn}是递增数列,则对任意的nN,均有Sn>0D．若对任意的nN,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列．（2012年高考（重庆理））在等差数列中,,则的前5项和= （）
A．7 B．15 C．20 D．25
．（2012年高考（江西理））观察下列各式:a+b=1.a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,,则a10+b10=28 B．76 C．123 D．199
．（2012年高考（湖北理））定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列,仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数:①;②;③;④.
则其中是“保等比数列函数”的的序号为 （）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
1．（2012年高考（福建理））等差数列中,,则数列的公差为1 B．2 C．3 D．4．（2012年高考（大纲理））已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为 B． C． D．
．（2012年高考（安徽理））公比为等比数列的各项都是正数,且,则 （）
A． B． C． D．
二、填空题1．（2012年高考（福建理））已知得三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.
2．（2012年高考（重庆文））首项为1,公比为2的等比数列的前4项和______
3．（2012年高考（上海文））已知.各项均为正数的数列满足,.若,则的值是_________.
4．（2012年高考（辽宁文））已知等比数列{an}为递增数列.若a1>0,且2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的公比q=_____________________.
5．（2012年高考（课标文））等比数列{}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比=_______
6．（2012年高考（江西文））等比数列的前项和为,公比不为1若,且对任意的都有,则_________________7．（2012年高考（湖南文））对于,将表示为,当时,当时为0或1,定义如下:在的上述表示中,当,中等于1的个数为奇数时,;否则(1)__;
(2)记为数列中第个为0的项与第个为0的项之间的项数,则的最大值是___.
8．（2012年高考（湖北文））传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:
将三角形数1,3,6,10,记为数列,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列,可以推测:(Ⅰ)是数列中的第______项;(Ⅱ)______.(用表示)
9．（2012年高考（广东文））(数列)若等比数列满足,则_________.
0．（2012年高考（北京文））已知为等差数列,为其前项和.若,,则________;=________.．（2012年高考（新课标理））数列满足,则的前项和为_______
．（2012年高考（浙江理））设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为{Sn}.若,,则q=______________.
．（2012年高考（上海春））已知等差数列的首项及公差均为正数,令当是数列的最大项时,____.
．（2012年高考（辽宁理））已知等比数列为递增数列,且,则数列的通项公式______________.
．（2012年高考（江西理））设数列都是等差数列,若,则__________．（2012年高考（湖南理））设N=2n(n∈N,n≥2),将N个数x1,x2,,xN依次放入编号为1,2,,N的N个位置,得到排列P0=x1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列P1=x1x3xN-1x2x4xN,将此操作称为C变换,将P1分成两段,每段个数,并对每段作C变换,得到;当2≤i≤n-2时,将Pi分成2i段,每段个数,并对每段C变换,得到Pi+1,例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置.(1)当N=16时,x7位于P2中的第___个位置;(2)当N=2n(n≥8)时,x173位于P4中的第___个位置.
．（2012年高考（湖北理））回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,,99.3位回文数有90个:101,111,121,,191,202,,999.则(Ⅰ)4位回文数有__________个;(Ⅱ)位回文数有_________个.
．（2012年高考（广东理））(数列)已知递增的等差数列满足,,则______________.
．（2012年高考（福建理））数列的通项公式,前项和为,则___________.
．（2012年高考（北京理））已知为等差数列,为其前项和.若,,则________.
三、解答题
1．（2012年高考（重庆文））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分))已知为等差数列,且(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)记的前项和为,若成等比数列,求正整数的值.
2．（2012年高考（浙江文））已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,n∈N﹡,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N﹡.(1)求an,bn;(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.3．（2012年高考（天津文））(本题满分13分)已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且.(I)求数列与的通项公式;
(II)记()证明:.4．（2012年高考（四川文））已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.
(Ⅰ)用和表示;
(Ⅱ)求对所有都有成立的的最小值;
(Ⅲ)当时,比较与
的大小,并说明理由.5．（2012年高考（四川文））已知数列的前项和为,常数,且对一切正整数都成立.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,,当为何值时,数列的前项和最大?
6．（2012年高考（上海文））对于项数为m的有穷数列数集,记(k=1,2,,m),即为中的最大值,并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是3,3,5,5.
(1)若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的;(2)设是的控制数列,满足(C为常数,k=1,2,,m).求证:(k=1,2,,m);(3)设m=100,常数.若,是的控制数列,求.7．（2012年高考（陕西文））已知等比数列的公比为q=-.(1)若=,求数列的前n项和;(Ⅱ)证明:对任意,,,成等差数列.8．（2012年高考（山东文））已知等差数列的前5项和为105,且.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)对任意,将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.9．（2012年高考（江西文））已知数列|an|的前n项和(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3(1)求an;(2)求数列{nan}的前n项和Tn.0．（2012年高考（湖南文））某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.(Ⅰ)用d表示a1,a2,并写出与an的关系式;(Ⅱ)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).（2012年高考（湖北文））已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.(1) 求等差数列的通项公式;(2)若成等比数列,求数列的前项和.2．（2012年高考（广东文））(数列)设数列的前项和为,数列的前项和为,满足,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求数列的通项公式.3．（2012年高考（福建文））在等差数列和等比数列中,的前10项和.(Ⅰ)求和;(Ⅱ)现分别从和的前3项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率.4．（2012年高考（大纲文））已知数列中,,前项和.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求的通项公式.5．（2012年高考（安徽文））设函数的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.(Ⅰ)求数列;
(Ⅱ)设的前项和为,求.．（2012年高考（辽宁理））在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求的值.
．（2012年高考（山东文））(本小题满分12分)在△ABC中,内角所对的边分别为,已知.(Ⅰ)求证:成等比数列;(Ⅱ)若,求△的面积S.．（2012年高考（辽宁文））在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求的值.．（2012年高考（天津理））已知{}是等差数列,其前项和为,{}是等比数列,且=
,,.
(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式;
(Ⅱ)记,,证明.
．（2012年高考（新课标理））已知分别为三个内角的对边,(1)求(2)若,的面积为;求.．（2012年高考（重庆理））(本小题满分12分,(I)小问5分,(II)小问7分.)设数列的前项和满足,其中.(I)求证:是首项为1的等比数列;(II)若,求证:,并给出等号成立的充要条件.．（2012年高考（四川理））已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.
(Ⅰ)用和表示;
(Ⅱ)求对所有都有成立的的最小值;
(Ⅲ)当时,比较与的大小,并说明理由.．（2012年高考（四川理））已知数列的前项和为,且对一切正整数都成立.
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)设,数列的前项和为,当为何值时,最大?并求出的最大值.
．（2012年高考（上海理））对于数集,其中,,定义向量集.若对于任意,存在,使得,则称X具有性质P.例如具有性质P.
(1)若x>2,且,求x的值;(2)若X具有性质P,求证:1(X,且当xn>1时,x1=1;(3)若X具有性质P,且x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列的通项公式.．（2012年高考（上海春））本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知数列满足(1)设是公差为的等差数列.当时,求的值;(2)设求正整数使得一切均有(3)设当时,求数列的通项公式.．（2012年高考（陕西理））设的公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列.(1)求数列的公比;(2)证明:对任意,成等差数列.．（2012年高考（山东理））在等差数列中,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)对任意,将数列中落入区间内的项的个数记为,求数列的前项和.．（2012年高考（江西理））已知数列{an}的前n项和,且Sn的最大值为8.(1)确定常数k,求an;(2)求数列的前n项和Tn.．（2012年高考（江苏））设集合,.记为同时满足下列条件的集合的个数:
①;②若,则;③若,则.
(1)求;
(2)求的解析式(用表示).．（2012年高考（江苏））已知各项均为正数的两个数列和满足:,,
(1)设,,求证:数列是等差数列;
(2)设,,且是等比数列,求和的值.
．（2012年高考（湖南理））已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2++an,B(n)=a2+a3++an+1,C(n)=a3+a4++an+2,n=1,2(1) 若a1=1,a2=5,且对任意n∈N﹡,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{an}的通项公式.(2) 证明:数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.．（2012年高考（湖北理））已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.
(Ⅰ)求等差数列的通项公式;
(Ⅱ)若,,成等比数列,求数列的前项和.23．（2012年高考（广东理））设数列的前项和为,满足,,且、、成等差数列.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.
．（2012年高考（大纲理））(注意:在试卷上作答无效)函数.定义数列如下:是过两点的直线与轴交点的横坐标.(1)证明:;(2)求数列的通项公式.．（2012年高考（北京理））个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记为所有这样的数表构成的集合.
对于，记为A的第行各数之和，为A的第列各数之和；
记为，，…，，，，…，中的最小值.
（1）对如下数表A,求的值；
1 1 -0.8 0.1 -0.3 -1
（2）设数表A=形如
1 1 1 -1
求的最大值；
（3）给定正整数，对于所有的A∈S(2，),求的最大值。
36．（2012年高考（安徽理））数列满足:(I)证明:数列是单调递减数列的充分必要条件是(II)求的取值范围,使数列是单调递增数列.参考答案
一、选择题
.【答案】B
【解析】
,故选B
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力,属于容易题.
【答案】B
【解析】在等差数列中,,答案为B
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式,同时考查运算求解能力,属于中档题.解答时利用等差数列的性质快速又准确.
.[答案]D
[解析]∵是公差不为0的等差数列,且
∴
∴
∴
[点评]本小题考查的知识点较为综合,既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应用,解决此类问题必须要敢于尝试,并需要认真观察其特点.[答案]D
[解析]∵数列{an}是公差为的等差数列,且
∴
∴即
得
∴
[点评]本题难度较大,综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用,需考生加强知识系统、网络化学习.另外,隐蔽性较强,需要考生具备一定的观察能力.
.[解析]令,则,当1≤n≤14时,画出角序列n(终边如图,其终边两两关于x轴对称,故有均为正数,而,由周期性可知,当14k-13≤n≤14k时,Sn>0,而,其中k=1,2,,7,所以在中有14个为0,其余都是正数,即正数共有100-14=86个,选C.[解析]对于1≤k≤25,ak≥0(唯a25=0),所以Sk(1≤k≤25)都为正数.当26≤k≤49时,令,则,画出k(终边如右,其终边两两关于x轴对称,即有,所以+++++0+++
=+++++
+,其中k=26,27,,49,此时,所以,又,所以,从而当k=26,27,,49时,Sk都是正数,S50=S49+a50=S49+0=S49>0.对于k从51到100的情况同上可知Sk都是正数.综上,可选D.[评注]本题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析Sk的符号,为此,需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想.而重中之重,是看清楚角序列的终边的对称性,此为攻题之关键.
.【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力,是难题.
【解析】【法1】有题设知=1,①=3②=5③=7,=9,
=11,=13,=15,=17,=19,,
∴②-①得=2,③+②得=8,同理可得=2,=24,=2,=40,,∴,,,,是各项均为2的常数列,,,,是首项为8,公差为16的等差数列,∴{}的前60项和为=1830.【法2】可证明:
8.【答案】B【解析】本题主要为数列的应用题,观察可得不同整数解的个数可以构成一个首先为4,公差为4的等差数列,则所求为第20项,可计算得结果.
.C【解析】设数列的公比为.对于①,,是常数,故①符合条件;对于②,,不是常数,故②不符合条件;对于③,,是常数,故③符合条件;对于④,,不是常数,故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.【点评】本题考查等比数列的新应用,函数的概念.对于创新性问题,首先要读懂题意,然后再去利用定义求解,抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项,等比中项的性质等.
.【答案】A【解析】由,可得
【考点定位】本题主要考察数列的项、前n项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并项求和.
.答案B【命题意图】本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用.【解析】由可知,当时得当时,有①②①-②可得即,故该数列是从第二项起以为首项,以为公比的等比数列,故数列通项公式为,故当时,当时,,故选答案B
.【答案】C【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选C.【考点定位】本小题知识点考查很灵活,要根据图像识别看出变化趋势,判断变化速度可以用导数来解,当然此题若利用数学估计过于复杂,最好从感觉出发,由于目的是使平均产量最高,就需要随着的增大,变化超过平均值的加入,随着增大,变化不足平均值,故舍去.
1.【答案】B【解析】当时,可知,所以A选项错误;当时,C选项错误;当时,,与D选项矛盾.因此根据均值定理可知B选项正确.【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的基本概念,其中还涉及了均值不等式的知识,如果对于等比数列的基本概念(公比的符号问题)理解不清,也容易错选,当然最好选择题用排除法来做.
1.【解析】选【解析】选,或
16、【答案】C
【解析】选项C显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,.满足数列{Sn}是递增数列,但是Sn>0不成立.
【答案】B【解析】,,故.【考点定位】本题考查等差数列的通项公式及前项和公式,解题时要认真审题,仔细解答.
C【解析】本题考查归纳推理的思想方法.观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11,,发现从第3项开始,每一项就是它的前两项之和,故等式的右边依次为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,,故【点评】归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题.体现考纲中要求了解归纳推理.来年需要注意类比推理等合情推理.
考点分析:本题考察等比数列性质及函数计算.解析:等比数列性质,,①;②;③;④.选C
【答案】B【解析】,而,解得.【考点定位】该题主要考查等差数列的通项公式,考查计算求解能力.
答案A【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前项和的公式的运用,以及裂项求和的综合运用,通过已知中两项,得到公差与首项,得到数列的通项公式,并进一步裂项求和.【解析】由可得
22、【解析】选
二、填空题1.【答案】【解析】设最小边为,则其他两边分别为,由余弦定理得,最大角的余弦值为
【考点定位】此题主要考查三角形中的三角函数,等比数列的概念、余弦定理,考查分析推理能力、运算求解能力.
2.【答案】:15
【解析】:
【考点定位】本题考查等比数列的前n项和公式
3.[解析](),,所以有:,,,,;又,得,令,则,由题设,所以,变形()为,则,故,所以.
4.【答案】2
【解析】
因为数列为递增数列,且
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题.
5.【命题意图】本题主要考查等比数列n项和公式,是简单题.
【解析】当=1时,=,=,由S3+3S2=0得,=0,∴=0与{}是等比数列矛盾,故≠1,由S3+3S2=0得,,解得=-2.
6.【答案】11【解析】由已知可得公比,可得.【考点定位】本题考查了等比数列的通项公式,以及求和公式,做题时要细心.
7.【答案】(1)3;(2)2.【解析】(1)观察知;;一次类推;;;,,,
b2+b4+b6+b8=3;(2)由(1)知cm的最大值为2.【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题.
8.(Ⅰ)5030;(Ⅱ)【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,,的一个通项公式为,写出其若干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故.从而由上述规律可猜想:(为正整数),,
故,即是数列中的第5030项.【点评】本题考查归纳推理,猜想的能力.归纳推理题型重在猜想,不一定要证明,但猜想需要有一定的经验与能力,不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.
9.解析:.,所以.
0.【答案】1,【解析】,所以,.【考点定位】本小题主要考查等差数列的基本运算,考查通项公式和前项和公式的计算.
【解析】的前项和为可证明:
12、【答案】
【解析】将,两个式子全部转化成用,q表示的式子.即,两式作差得:,即:,解之得:(舍去).
14、【答案】
【解析】
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题.
35【解析】本题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想(解法一)因为数列都是等差数列,所以数列也是等差数列.故由等差中项的性质,得,即,解得.(解法二)设数列的公差分别为,因为,所以.所以.【点评】对于等差数列的计算问题,要注意掌握基本量法这一通法,同时要注意合理使用等差数列的性质进行巧解.体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公式,前项和,等差中项的性质等.
【答案】(1)6;(2)【解析】(1)当N=16时,,可设为,,即为,,即,x7位于P2中的第6个位置,;(2)方法同(1),归纳推理知x173位于P4中的第个位置.【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题.
考点分析:本题考查排列、组合的应用.解析:(Ⅰ)4位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能为0,有9(1~9)种情况,第二位有10(0~9)种情况,所以4位回文数有种.答案:90(Ⅱ)法一、由上面多组数据研究发现,2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同,所以可以算出2n+2位回文数的个数.2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况,第一位不能为0有9种情况,后面n项每项有10种情况,所以个数为.
法二、可以看出2位数有9个回文数,3位数90个回文数.计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,99”,因此四位数的回文数有90个按此规律推导,而当奇数位时,可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数,因此,则答案为.
18、解析:.设公差为(),则有,解得,所以.
【答案】【解析】由,可得
【考点定位】本题主要考察数列的项、前n项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并项求和.
【答案】1,【解析】,所以,.【考点定位】本小题主要考查等差数列的基本运算,考查通项公式和前项和公式的计算.
三、解答题
1.【答案】:(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)设数列的公差为d,由题意知解得
所以
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得因成等比数列,所以从而,即
解得或(舍去),因此.
2.【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的概念,通项公式以及求和公式等基础知识,同时考查了学生的综合分析问题能力和运算求解能力.(1) 由Sn=,得当n=1时,;当n2时,,n∈N﹡.由an=4log2bn+3,得,n∈N﹡.(2)由(1)知,n∈N﹡所以,,
,n∈N﹡.
3.解:(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由,得,由条件得方程组,故(2)证明;由(1)得①
②
由①-②得,
即,而当时,所以
4.[解析](1)由已知得,交点A的坐标为,对
则抛物线在点A处的切线方程为:
(2)由(1)知f(n)=,则
即知,对于所有的n成立,
特别地,当n=1时,得到a≥3
当a=3,n≥1时,
当n=0时,=2n+1.故a=3时对所有自然数n均成立.
所以满足条件的a的最小值为3
(3)由(1)知f(k)=
下面证明:
首先证明0
设函数g(x)=6x(x2-x)+1,0
当时,g''(x)<0;当
故g(x)在区间(0,1)上的最小值
所以,当00,即得
由0
[点评]本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法.
5.[解析]取n=1,得
若a1=0,则s1=0,当n
若a1,当n
上述两个式子相减得:an=2an-1,所以数列{an}是等比数列
综上,若a1=0,
若a1
(2)当a1>0,且
所以,{bn}单调递减的等差数列(公差为-lg2)
则b1>b2>b3>>b6=
当n≥7时,bn≤b7=
故数列{lg}的前6项的和最大
[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查.第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.
6.[解](1)数列为:2,3,4,5,1;2,3,4,5,2;2,3,4,5,3;2,3,4,5,4;2,3,4,5,5
(2)因为,,所以因为,,所以,即因此,(3)对,;;;.
比较大小,可得因为,所以,即;,即.又,从而,,,因此=
=
===
7.解：（1）由通项公式可得
证明：
8.解:(I)由已知得:解得,所以通项公式为.(II)由,得,即.∵,∴是公比为49的等比数列,∴.
9.【解析】(1)当时,则,
,∴c=2.∵a2=4,即,解得k=2,∴(n)1)当n=1时,综上所述(2),则(1)-(2)得
10.【解析】(Ⅰ)由题意得,,
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
.
整理得.
由题意,解得.故该企业每年上缴资金的值为缴时,经过年企业的剩余资金为4000元.【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用,考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型,得出与an的关系式,第二问,只要把第一问中的迭代,即可以解决.
1.考点分析:考察等差等比数列的通项公式,和前n项和公式及基本运算.解析:(Ⅰ)设等差数列的公差为,则,,由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得,或.
故,或.(Ⅱ)当时,,,分别为,,,不成等比数列;
当时,,,分别为,,,成等比数列,满足条件.
故记数列的前项和为.当时,;当时,;
当时,
.当时,满足此式.
综上,【点评】本题考查等差数列的通项,求和,分段函数的应用等;考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式求解;有时需要利用等差数列的定义:(为常数)或等比数列的定义:(为常数,)来判断该数列是等差数列或等比数列,然后再求解通项;有些数列本身不是等差数列或等比数列,但它含有无数项却是等差数列或等比数列,这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.
2.解析:(Ⅰ)当时,,而,所以,解得.(Ⅱ)在中用取代的位置,有,两式相减,可得(),所以,两式相减,可得,即(),即,所以数列是一个首项为,公比为2的等比数列.在式子中,令,有,即,所以,于是,所以().当时,,也满足该式子,所以数列的通项公式是.
3.【答案】(1),(2)【考点定位】本题主要考查等差、等比数列、古典概型的基本知识,考查运算求解能力,考查转化与划归思想、必然与或然思想,注意留心学习.解:(1)设是数列的公差,是的公比,由题意得:
.
(2)分别从,中的前三项中各随机抽取一项,得到基本事件有9个,.符合条件的有2个,故所求概率为.
4.【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和相结合的综合运用.解:(1)由与可得,
故所求的值分别为.(2)当时,①②①-②可得即
故有而,所以的通项公式为【点评】试题出题比较直接,没有什么隐含的条件,只要充分发挥利用通项公式和前项和的关系式变形就可以得到结论.
5.【解析】(I)
得:当时,取极小值得:
(II)由(I)得:
当时,当时,当时,得:当时,当时,当时,
16.【答案及解析】(1)由已知(2)解法一:,由正弦定理得解法二:,,由此得得所以,【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果.
.解:(I)由已知得:,,则,再由正弦定理可得:,所以成等比数列.(II)若,则,∴,,
∴△的面积.
.【答案与解析】(1)由已知(2)解法一:,由正弦定理得解法二:,,由此得得所以,【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果.
【命题意图】本试题主要考查了等差数列与等比数列的概率、通项公式、前项和公式、数列求和等基础知识,考查化归与转化的思想方法,考查运算能力、推理论证的能力.(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由,得,由条件得方程组,故
【点评】该试题命制比较直接,没有什么隐含的条件,就是等比与等差数列的综合应用,但方法多样,第二问可以用错位相减法求解证明,也可用数学归纳法证明,给学生思维空间留有余地,符合高考命题选拔性的原则.
【解析】(1)由正弦定理得:
(2)
解得:
(1)证明:由,得,即.
因,故,得,
又由题设条件知,
两式相减得,即,
由,知,因此综上,对所有成立,从而是首项为1,公比为的等比数列.(2)当或时,显然,等号成立.设,且,由(1)知,,,所以要证的不等式化为:即证:当时,上面不等式的等号成立.当时,与,()同为负;当时,与,()同为正;因此当且时,总有()()>0,即,().
上面不等式对从1到求和得,由此得综上,当且时,有,当且仅当或时等号成立.
22、[解析](1)由已知得,交点A的坐标为,对则抛物线在点A处的切线方程为
(2)由(1)知f(n)=,则
即知,对于所有的n成立,特别地,取n=2时,得到a≥
当,
>2n3+1
当n=0,1,2时,显然
故当a=时,对所有自然数都成立
所以满足条件的a的最小值是.
(3)由(1)知,则,
下面证明:
首先证明:当0
设函数
当
故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min=g
所以,当0
由0
[点评]本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法.
23、[解析]取n=1,得①
取n=2,得②
又②-①,得③
(1)若a2=0,由①知a1=0,
(2)若a2,④
由①④得:
(2)当a1>0时,由(I)知,
当,(2+)an-1=S2+Sn-1
所以,an=
所以
令
所以,数列{bn}是以为公差,且单调递减的等差数列.
则b1>b2>b3>>b7=
当n≥8时,bn≤b8=所以,n=7时,Tn取得最大值,且Tn的最大值为
T7=
[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查.第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.
[解](1)选取,Y中与垂直的元素必有形式所以x=2b,从而x=4(2)证明:取.设满足.由得,所以、异号.因为-1是X中唯一的负数,所以、中之一为-1,另一为1,故1(X假设,其中,则.选取,并设满足,即,则、异号,从而、之中恰有一个为-1.若=-1,则,矛盾;若=-1,则,矛盾.所以x1=1(3)[解法一]猜测,i=1,2,,n记,k=2,3,,n.先证明:若具有性质P,则也具有性质P.
任取,、(.当、中出现-1时,显然有满足;当且时,、≥1.因为具有性质P,所以有,、(,使得,从而和中有一个是-1,不妨设=-1.假设(且(,则.由,得,与(矛盾.所以(.从而也具有性质P现用数学归纳法证明:,i=1,2,,n.当n=2时,结论显然成立;假设n=k时,有性质P,则,i=1,2,,k;当n=k+1时,若有性质P,则也有性质P,所以.取,并设满足,即.由此可得s与t中有且只有一个为-1.若,则,所以,这不可能;所以,,又,所以.综上所述,,i=1,2,,n[解法二]设,,则等价于.记,则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称注意到-1是X中的唯一负数,共有n-1个数,所以也只有n-1个数.由于,已有n-1个数,对以下三角数阵
注意到,所以,从而数列的通项公式为,k=1,2,,n
25、解:(1),(2)由,由,即;由,即.
(3)由,故,
当时,以上各式相加得
当时,
,
26、解析:(1)设数列的公比为()由成等差数列,得,即由得,解得(舍去)∴
(2)证法一:对任意
所以,对任意,成等差数列证法二对任意,
因此,对任意,成等差数列.
解析:(Ⅰ)由a3+a4+a5=84,a5=73可得而a9=73,则,,于是,即.(Ⅱ)对任意m∈N﹡,,则,即,而,由题意可知,于是,
即.
【解析】解:(1)当时,取最大值,即,故,从而,又,所以(2) 因为,所以【点评】本题考查数列的通项,递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用来实现与的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一,要注意不能用来求解首项,首项一般通过来求解.运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况:当数列通项由两项的乘积组成,其中一项是等差数列、另一项是等比数列.
【答案】解:(1)当时,符合条件的集合为:,
∴=4.
(2)任取偶数,将除以2,若商仍为偶数.再除以2,···经过次以后.商必为奇数.此时记商为.于是,其中为奇数.
由条件知.若则为偶数;若,则为奇数.
于是是否属于,由是否属于确定.
设是中所有奇数的集合.因此等于的子集个数.
当为偶数〔或奇数)时,中奇数的个数是().
∴.
【考点】集合的概念和运算,计数原理.
【解析】(1)找出时,符合条件的集合个数即可.
(2)由题设,根据计数原理进行求解.
30、【答案】解:(1)∵,∴.
∴.∴.
∴数列是以1为公差的等差数列.
(2)∵,∴.
∴.(﹡)
设等比数列的公比为,由知,下面用反证法证明
若则,∴当时,,与(﹡)矛盾.
若则,∴当时,,与(﹡)矛盾.
∴综上所述,.∴,∴.
又∵,∴是公比是的等比数列.
若,则,于是.
又由即,得.
∴中至少有两项相同,与矛盾.∴.
∴.
∴.
【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法.
【解析】(1)根据题设和,求出,从而证明而得证.
(2)根据基本不等式得到,用反证法证明等比数列的公比.
从而得到的结论,再由知是公比是的等比数列.最后用反证法求出.
【解析】
解(1)对任意,三个数是等差数列,所以
即亦即故数列是首项为1,公差为4的等差数列.于是(Ⅱ)(1)必要性:若数列是公比为q的等比数列,则对任意,有由知,均大于0,于是
即==,所以三个数组成公比为的等比数列.(2)充分性:若对于任意,三个数组成公比为的等比数列,则,
于是得即
由有即,从而.因为,所以,故数列是首项为,公比为的等比数列,综上所述,数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数组成公比为的等比数列.【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得;第二问要从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易得证.
考点分析:考察等差等比数列的通项公式,和前n项和公式及基本运算.解析:(Ⅰ)设等差数列的公差为,则,,由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得,或.
故,或.(Ⅱ)当时,,,分别为,,,不成等比数列;
当时,,,分别为,,,成等比数列,满足条件.
故记数列的前项和为.当时,;当时,;
当时,
.当时,满足此式.
综上,
解析:(Ⅰ)由,解得.
(Ⅱ)由可得(),两式相减,可得,即,即,所以数列()是一个以为首项,3为公比的等比数列.由可得,,所以,即(),当时,,也满足该式子,所以数列的通项公式是.
(Ⅲ)因为,所以,所以,于是.点评:上述证法实质上是证明了一个加强命题,该加强命题的思考过程如下.
考虑构造一个公比为的等比数列,其前项和为,希望能得到,考虑到,所以令即可.由的通项公式的形式可大胆尝试令,则,于是,此时只需证明就可以了.
当然,的选取并不唯一,也可令,此时,,与选取不同的地方在于,当时,,当时,,所以此时我们不能从第一项就开始放缩,应该保留前几项,之后的再放缩,下面给出其证法.
当时,;当时,;当时,.
当时,,所以
.
综上所述,命题获证.
下面再给出的两个证法.
法1:(数学归纳法)
①当时,左边,右边,命题成立.
②假设当(,)时成立,即成立.为了证明当时命题也成立,我们首先证明不等式:(,).
要证,只需证,只需证,只需证,只需证,该式子明显成立,所以.
于是当时,,所以命题在时也成立.
综合①②,由数学归纳法可得,对一切正整数,有.
备注:不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的,其实这是一个错误的认识.
法2:(裂项相消法)(南海中学钱耀周提供)
当时,显然成立.当时,显然成立.
当时,
,又因为,所以(),所以(),所以
.综上所述,命题获证.
【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用.先从函数入手,表示直线方程,从而得到交点坐标,再运用数学归纳法进行证明,根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项.解:(1)为,故点在函数的图像上,故由所给出的两点,可知,直线斜率一定存在.故有直线的直线方程为,令,可求得
所以下面用数学归纳法证明当时,,满足假设时,成立,则当时,,由即也成立综上可知对任意正整数恒成立.下面证明由由,故有即综上可知恒成立.(2)由得到该数列的一个特征方程即,解得或①②
两式相除可得,而故数列是以为首项以为公比的等比数列,故.法二(先完成Ⅱ,用Ⅱ证Ⅰ):(Ⅱ)的方程为,令得(不动点法)令,得函数的不动点.
上两式相除得.可见数列是等比数列,其中公比,首项为.即为所求.(Ⅰ)①由上知(当时).②又(当时).③易见,数列单调递减,所以数列单调递增,即.
综合①②③得:.【点评】以函数为背景,引出点的坐标,并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式.既考查了直线方程,又考查了函数解析式,以及不等式的证明,试题比较综合,有一定的难度.做这类试题那就是根据已知条件,一步一步的翻译为代数式,化简得到要找的关系式即可.
35、【考点定位】此题作为压轴题难度较大,考查学生分析问题解决问题的能力,考查学生严谨的逻辑思维能力.解:(1)由题意可知,,,,∴
(2)先用反证法证明:
若则,∴
同理可知,∴由题目所有数和为即∴
与题目条件矛盾
∴.
易知当时,存在∴的最大值为1
(3)的最大值为.
首先构造满足的:
,
.
经计算知,中每个元素的绝对值都小于1,所有元素之和为0,且
,
,
.
下面证明是最大值.若不然,则存在一个数表,使得.
由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于,而两个绝对值不超过1的数的和,其绝对值不超过2,故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中.由于,故的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于.
设中有列的列和为正,有列的列和为负,由对称性不妨设,则.另外,由对称性不妨设的第一行行和为正,第二行行和为负.
考虑的第一行,由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数,每个正数的绝对值不超过1(即每个正数均不超过1),每个负数的绝对值不小于(即每个负数均不超过).因此
,
故的第一行行和的绝对值小于,与假设矛盾.因此的最大值为.
36、【解析】(I)必要条件当时,数列是单调递减数列充分条件数列是单调递减数列得:数列是单调递减数列的充分必要条件是(II)由(I)得:①当时,,不合题意②当时,
当时,与同号,由
当时,存在,使与异号与数列是单调递减数列矛盾得:当时,数列是单调递增数列
x
y
(
2(
3(
4(
6(
5(
8(
9(
13(
12(
11(
10(
7(
14(
x
y
(
2(
12(
13(
…
24(
23(
26(
27(
49(
48(
38(
37(
…
…
…
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