[例2]定义在R上的函数，，当x＞0时，，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）?f（b）.
（1）求证：f（0）=1；
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）求证：f（x）是R上的增函数；
（4）若f（x）?f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.
[解题思路]抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”，从关键等式和不等式的特点入手。
[解析]（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f2（0）.
又f（0）≠0，∴f（0）=1.
（2）证明：当x＜0时，－x＞0，
∴f（0）=f（x）?f（－x）=1.
∴f（－x）=＞0.又x≥0时f（x）≥1＞0，
∴x∈R时，恒有f（x）＞0.
（3）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0.
∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）?f（x1）.
∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.
又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）?f（x1）＞f（x1）.
∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函数.
（4）解：由f（x）?f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函数，
∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.
【名师指引】解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f［（x2－x1）+x1］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.
[新题导练]
1．（珠海北大希望之星实验学校09届高三）函数的单调递减区间是（）
A．;B．;C．;D．
[解析]C；由得，又由知函数在上是减函数，根据复合函数的单调性知函数的单调递减区间是
2．（东皖高级中学09届高三月考）函数的单调增区间为（）
A．；B．；C．；D．
[解析]D；由得或，又函数
在上是减函数，在上是减函数，所以函数
的单调增区间为
3.(2008全国Ⅰ卷)已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
[解析]（1）；（2）
（1）求导：
当时，，，在上递增
当，求得两根为
即在递增，
递减，递增
（2），且解得：
考点2函数的值域（最值）的求法
题型1：求分式函数的最值
[例3]（2000年上海）已知函数
当时，求函数的最小值；
[解题思路]当时，，这是典型的“对钩函数”，欲求其最小值，可以考虑均值不等式或导数；
[解析]当时，
，。在区间上为增函数。
在区间上的最小值为。
【名师指引】对于函数若，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，否则会得到
而认为其最小值为，但实际上，要取得等号，必须使得，这时
所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想；
题型2：利用函数的最值求参数的取值范围
[例4]（2000年上海）已知函数
若对任意恒成立,试求实数的取值范围。
[解题思路]欲求参数的取值范围，应从恒成立的具体情况开始。
[解析]在区间上恒成立；
在区间上恒成立；
在区间上恒成立；
函数在区间上的最小值为3，
即
【名师指引】这里利用了分离参数的方法，将问题转化为求函数的最值。
题型3：求三次多项式函数的最值
[例5]（09年高州中学）已知为实数，函数，若，求函数在上的最大值和最小值。
[解题思路]求三次多项式函数在闭区间上的最值，应该用导数作为工具来研究其单调性。
[解析]∵，
……………………3分
……………………4分
得：
当……………………5分
当……………………6分
因此，在区间内单调递减，而在内单调递减，
且
又，
，………………10分
【名师指引】用导数来研究其单调性和最值是高考考查的重点和热点，同时也是难点，要求考生熟练掌握用导数来研究其单调性和最值的方法和步骤。
[新题导练]
4.（09年广东南海）若函数的最大值与最小值分别为M,m，则M+m=
[解析]6；由知在上是增函数
又因为函数是奇函数，所以函数是增函数，故M+m=
5.（高州中学09届模拟）已知函数。
（Ⅰ）若为奇函数，求的值；
（Ⅱ）若在上恒大于0，求的取值范围。
[解析]（Ⅰ）；（Ⅱ）的取值范围为
（Ⅰ）的定义域关于原点对称
若为奇函数，则∴
（Ⅱ）
∴在上∴在上单调递增
∴在上恒大于0只要大于0即可,
∴
若在上恒大于0，的取值范围为
备选例题：（06年重庆）已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
[解析]（Ⅰ）因为是奇函数，所以，即
又由知
（Ⅱ）[解法一]由（Ⅰ）知，易知在上
为减函数。又因是奇函数，从而不等式：
等价于，因为减函数，由上式推得：
．即对一切有：，
从而判别式
[解法二]由（Ⅰ）知．又由题设条件得：
，
即，
整理得
上式对一切均成立，从而判别式
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基础巩固训练：
1．（华师附中09高三数学训练题）若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是（）
A.；B.；C.；D.
[解析]C；因为，由其图象知，若函数在区间上为减函数，则应有
2．（普宁市城东中学09）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）
A．；B．；C．；D．
[解析]A；若函数在上是增函数，则对于恒成立，即对于恒成立，而函数的最大值为，实数的取值范围是
3．（09汕头金中）下列四个函数中，在区间上为减函数的是（）
A．；B．；C．；D．
[解析]C；显然在上是增函数，在上也是增函数
而对求导得，对于，
，所以在区间上为增函数，从而应选择C
4．（09潮州金山中学）已知函数，若存在实数，当时，恒成立，则实数的最大值是（）
A．1；B．2；C．3；D．4
[解析]D；依题意，应将函数向右平行移动得到的图象，为了使得在上，的图象都在直线的下方，并且让取得最大，则应取，这时取得最大值4
5．（06北京改编）已知是上的减函数，那么的取值范围是
[解析]；要在上是减函数，则，要在上为减函数，则需并且，所以
6．（2008浙江理）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，
则
[解析]1；显然函数的最大值只能在或时取到，
若在时取到，则，得或
，时，；，时，（舍去）；
若在时取到，则，得或
，时，；，时，（舍去）
所以
综合提高训练：
7.（06陕西改编）已知函数若
则与的大小关系为
[解析]；函数的图象开口向上，对称轴为，因，故，从而，又
，所以的对应点到对称轴的距离大于的对应点到对称轴的距离，故
8．已知函数，求的值
[解析]；为，
令，则
，
从而
所以
9．（09年汕头金中）对于函数成立的所有常数M中，我
们把M的最大值－1叫做，
的下确界为（）
A．；B．2；C．；D．4
[解析]A；因为，
故的下确界为
10．（08年湖南）设表示不超过的最大整数（如,）,对于给定的N,定义,
求当时，函数的值域
[解析]；当时，，，因为函数在上是减函数，得；当时，，，因为，由单调性得，故当时，函数的值域是
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