高中数学常用公式及常用结论
1.元素与集合的关系
UxAxCA∈??,UxCAxA∈??.2.德摩根公式
();()UUUUUUCABCACBCABCACB==∩∪∪∩.3.包含关系
ABAABB=?=∩∪UUABCBCA????
UACB?=Φ∩UCABR?=∪4.容斥原理
()()cardABcardAcardBcardAB=+?∪∩()()cardABCcardAcardBcardCcardAB=++?∪∪∩
()()()()cardABcardBCcardCAcardABC???+∩∩∩∩∩.
5．集合12{,,,}naaa?的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1
个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式2()(0)fxaxbxca=++≠;
(2)顶点式2()()(0)fxaxhka=?+≠;
(3)零点式12()()()(0)fxaxxxxa=??≠.
7.解连不等式()NfxM<<常有以下转化形式()NfxM<
?|()|22MNMNfx+???
?11()fxNMN>??.
8.方程0)(=xf在),(21kk上有且只有一个实根,与0)()(21
者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程)0(02≠=++acbxax有且只有一个实根在
),(21kk内,等价于0)()(21
22122kab
kk
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数)0()(2≠++=acbxaxxf在闭区间[]qp,上的最值只能在abx2?=处及区
间的两端点处取得，具体如下：
(1)当a>0时，若[]qpabx,2∈?=，则{}minmaxmax()(),()(),()2bfxffxfpfqa=?=；
[]qpabx,2??=，{}maxmax()(),()fxfpfq=，{}minmin()(),()fxfpfq=.
(2)当a<0时，若[]qpabx,2∈?=，则{}min()min(),()fxfpfq=，若
[]qpabx,2??=，则{}max()max(),()fxfpfq=，{}min()min(),()fxfpfq=.
10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0fmfn<，则方程0)(=xf在区间(,)mn内至少有一个实根.
设qpxxxf++=2)(，则
（1）方程0)(=xf在区间),(+∞m内有根的充要条件为0)(=mf或
240
2
pqp
m
??≥??
?>??；
（2）方程0)(=xf在区间(,)mn内有根的充要条件为()()0fmfn<或2
()0()0
40
2
fmfn
pqp
mn
>??>
????≥
??
??
或()0()0fmafn=??>?或()0()0fnafm=??>?；
（3）方程0)(=xf在区间(,)n?∞内有根的充要条件为()0fm<或
240
2
pqp
m
??≥??
?
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞?∞的子区间L（形如[]βα,，(]β,∞?，[)+∞,α不同）上含参数
的二次不等式(,)0fxt≥(t为参数)恒成立的充要条件是min(,)0()fxtxL≥?.
(2)在给定区间),(+∞?∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0fxt≥(t为参数)恒成立
的充要条件是(,)0()manfxtxL≤?.
(3)0)(24>++=cbxaxxf恒成立的充要条件是
00
0
ab
c
≥??≥
??>
?
或2040abac
12.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ
真真假真真真假假真假
假真真真假假假真假假
13.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词
是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个
大于不大于至少有n个至多有（1n?）个小于不小于至多有n个至少有（1n+）个
对所有x，成立存在某x，不成立p或qp?且q?
对任何x，不成立存在某x，成立p且qp?或q?
14.四种命题的相互关系
原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ
互互互为为互
否否逆逆
否否否命题逆否命题
若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ
15.充要条件（1）充分条件：若pq?，则p是q充分条件.
（2）必要条件：若qp?，则p是q必要条件.（3）充要条件：若pq?，且qp?，则p是q充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.16.函数的单调性
(1)设[]2121,,xxbaxx≠∈?那么[]
1212()()()0xxfxfx??>?[]baxfxxxfxf,)(0)()(2121在?>??上是增函数；
[]1212()()()0xxfxfx??
21
21在?
(2)设函数)(xfy=在某个区间内可导，如果0)(>′xf，则)(xf为增函数；如果0)(<′xf，则)(xf为减函数.
17.如果函数)(xf和)(xg都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(xgxf+也是减函数;如果函数)(ufy=和)(xgu=在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数
)]([xgfy=是增函数.18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函
数是偶函数．19.若函数)(xfy=是偶函数，则)()(axfaxf??=+；若函数)(axfy+=是偶函
数，则)()(axfaxf+?=+.20.对于函数)(xfy=(Rx∈),)()(xbfaxf?=+恒成立,则函数)(xf的对称轴是
函数2bax+=;两个函数)(axfy+=与)(xbfy?=的图象关于直线2bax+=对称.
21.若)()(axfxf+??=,则函数)(xfy=的图象关于点)0,2(a对称;若
)()(axfxf+?=,则函数)(xfy=为周期为a2的周期函数.
22．多项式函数110()nnnnPxaxaxa??=+++?的奇偶性
多项式函数()Px是奇函数?()Px的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数()Px是偶函数?()Px的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数()yfx=的图象的对称性(1)函数()yfx=的图象关于直线xa=对称()()faxfax?+=?
(2)()faxfx??=.
(2)函数()yfx=的图象关于直线2abx+=对称()()famxfbmx?+=?
()()fabmxfmx?+?=.24.两个函数图象的对称性
(1)函数()yfx=与函数()yfx=?的图象关于直线0x=(即y轴)对称.
(2)函数()yfmxa=?与函数()yfbmx=?的图象关于直线2abxm+=对称.
(3)函数)(xfy=和)(1xfy?=的图象关于直线y=x对称.25.若将函数)(xfy=的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy+?=)(的图
象；若将曲线0),(=yxf的图象右移a、上移b个单位，得到曲线0),(=??byaxf的图象.
26．互为反函数的两个函数的关系abfbaf=?=
?)()(1.
27.若函数)(bkxfy+=存在反函数,则其反函数为])([11bxfky?=?,并不是
)([1bkxfy+=?,而函数)([1bkxfy+=?是])([1bxfky?=的反函数.
28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()fxcx=,()()(),(1)fxyfxfyfc+=+=.
(2)指数函数()xfxa=,()()(),(1)0fxyfxfyfa+==≠.
(3)对数函数()logafxx=,()()(),()1(0,1)fxyfxfyfaaa=+=>≠.
(4)幂函数()fxxα=,''()()(),(1)fxyfxfyfα==.(5)余弦函数()cosfxx=,正弦函数()singxx=，()()()()()fxyfxfygxgy?=+，
0
()(0)1,lim1
x
gxfx
→==.29.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）)()(axfxf+=，则)(xf的周期T=a；（2）0)()(=+=axfxf，
或)0)(()(1)(≠=+xfxfaxf，
或1()()fxafx+=?(()0)fx≠,
或[]21()()(),(()0,1)2fxfxfxafx+?=+∈,则)(xf的周期T=2a；
(3))0)(()(11)(≠+?=xfaxfxf，则)(xf的周期T=3a；
(4))()(1)()()(
21
2121xfxfxfxfxxf?+=+且1212()1(()()1,0||2)fafxfxxxa=?≠
)(xf的周期T=4a；(5)()()(2)(3)(4)fxfxafxafxafxa+++++++
()()(2)(3)(4)fxfxafxafxafxa=++++,则)(xf的周期T=5a；(6))()()(axfxfaxf+?=+，则)(xf的周期T=6a.
30.分数指数幂
(1)1mnnmaa=（0,,amnN?>∈，且1n>）.
(2)1mnm
n
aa?=（0,,amnN?>∈，且1n>）.
31．根式的性质（1）()
nnaa=.
（2）当n为奇数时，nnaa=；
当n为偶数时，,0||,0nnaaaaaa≥?==??
32．有理指数幂的运算性质(1)(0,,)rsrsaaaarsQ+?=>∈.
(2)()(0,,)rsrsaaarsQ=>∈.
(3)()(0,0,)rrrabababrQ=>>∈.注：若a＞0，p是一个无理数，则a
p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性
质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式
logbaNbaN=?=(0,1,0)aaN>≠>.34.对数的换底公式
logloglogm
am
NNa=(0a>,且1a≠,0m>,且1m≠,0N>).
推论loglogmnaanbbm=(0a>,且1a>,,0mn>,且1m≠,1n≠,0N>).
35．对数的四则运算法则若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)log()loglogaaaMNMN=+;
(2)logloglogaaaMMNN=?;
(3)loglog()naaMnMnR=∈.
36.设函数)0)((log)(2≠++=acbxaxxfm,记acb42?=?.若)(xf的定义域为R,则0>a，且0a，且0≥?.对于0=a的情形,需要
单独检验.37.对数换底不等式及其推广
若0a>,0b>,0x>,1xa≠,则函数log()axybx=
(1)当ab>时,在1(0,)a和1(,)a+∞上log()axybx=为增函数.
，(2)当ab<时,在1(0,)a和1(,)a+∞上log()axybx=为减函数.
推论:设1nm>>，0p>，0a>，且1a≠，则
（1）log()logmpmnpn++<.
（2）2logloglog2aaamnmn+<.
38.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有
(1)xyNp=+.39.数列的同项公式与前n项的和的关系
1
1
,1,2
nnn
snassn
?
=?=??≥
?(数列{}na的前n项的和为12nnsaaa=+++?).
40.等差数列的通项公式
11(1)()naanddnadnN=+?=+?∈；
其前n项和公式为
1()2nnnaas+=1(1)2nnnad?=+
211()22dnadn=+?.
41.等比数列的通项公式
111()nnnaaaqqnNq?==?∈；
其前n项的和公式为
1
1
(1),11
,1
n
n
aqqsq
naq
??≠?=??
?=?
或1
1
,11
,1
n
n
aaqqqs
naq
??≠??=
??=?.
42.等比差数列{}na:11,(0)nnaqadabq+=+=≠的通项公式为
1
(1),1
(),11nnn
bndqa
bqdbqdqq?
+?=??=
+???≠??
?
；
其前n项和公式为(1),(1)
1(),(1)111nn
nbnndqs
dqdbnqqqq
+?=??=
???+≠????
?
.
43.分期付款(按揭贷款)
每次还款(1)(1)1nnabbxb+=+?元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).
44．常见三角不等式
（1）若(0,)2xπ∈，则sintanxxx<<.
(2)若(0,)2xπ∈，则1sincos2xx<+≤.
(3)|sin||cos|1xx+≥.45.同角三角函数的基本关系式
22sincos1θθ+=，tanθ=θθcossin，tan1cotθθ?=.
46.正弦、余弦的诱导公式
2
12
(1)sin,sin()2
(1)s,
n
n
n
co
απα
α?
???+=
????
2
12
(1)s,s()2
(1)sin,
n
n
concoαπα
α+
???+=
???
?47.和角与差角公式
sin()sincoscossinαβαβαβ±=±;cos()coscossinsinαβαβαβ±=?;
tantantan()1tantanαβαβαβ±±=?.
22sin()sin()sinsinαβαβαβ+?=?(平方正弦公式);
22cos()cos()cossinαβαβαβ+?=?.
sincosabαα+=22sin()abα?++(辅助角?所在象限由点(,)ab的象限决
定,tanba?=).
48.二倍角公式sin2sincosααα=.
2222cos2cossin2cos112sinααααα=?=?=?.
2
2tantan21tanααα=?.
49.三倍角公式
3sin33sin4sin4sinsin()sin()33ππθθθθθθ=?=?+.
3cos34cos3cos4coscos()cos()33ππθθθθθθ=?=?+.
3
2
3tantantan3tantan()tan()13tan33θθππθθθθθ?==?+?.
50.三角函数的周期公式函数sin()yxω?=+，x∈R及函数cos()yxω?=+，x∈R(A,ω,?为常数，且A≠0，
ω＞0)的周期2Tπω=；函数tan()yxω?=+，,2xkkZππ≠+∈(A,ω,?为常数，且A
≠0，ω＞0)的周期Tπω=.
(n为偶数)
(n为奇数)
(n为偶数)
(n为奇数)
51.正弦定理
2sinsinsinabcRABC===.
52.余弦定理
2222cosabcbcA=+?;
2222cosbcacaB=+?;
2222coscababC=+?.
53.面积定理
（1）111222abcSahbhch===（abchhh、、分别表示a、b、c边上的高）.
（2）111sinsinsin222SabCbcAcaB===.
(3)221(||||)()2OABSOAOBOAOB?=???????????????.
54.三角形内角和定理在△ABC中，有()ABCCABππ++=?=?+
222CABπ+?=?222()CABπ?=?+.55.简单的三角方程的通解
sin(1)arcsin(,||1)kxaxkakZaπ=?=+?∈≤.s2arccos(,||1)coxaxkakZaπ=?=±∈≤.
tanarctan(,)xaxkakZaRπ=?=+∈∈.特别地,有
sinsin(1)()kkkZαβαπβ=?=+?∈.scos2()cokkZαβαπβ=?=±∈.
tantan()kkZαβαπβ=?=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集
sin(||1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZπππ>≤?∈++?∈.sin(||1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZπππ<≤?∈??+∈.
cos(||1)(2arccos,2arccos),xaaxkakakZππ>≤?∈?+∈.cos(||1)(2arccos,22arccos),xaaxkakakZπππ<≤?∈++?∈.
tan()(arctan,),2xaaRxkakkZπππ>∈?∈++∈.
tan()(,arctan),2xaaRxkkakZπππ<∈?∈?+∈.
57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么
(1)结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.58.向量的数量积的运算律：
(1)a·b=b·a（交换律）;(2)（λa）·b=λ（a·b）=λa·b=a·（λb）;
(3)（a+b）·c=a·c+b·c.59.平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且
只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共线的向量e
1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．60．向量平行的坐标表示
设a=11(,)xy,b=22(,)xy，且b≠0，则a?b(b≠0)12210xyxy??=.53.a与b的数量积(或内积)
a·b=|a||b|cosθ．61.a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．62.平面向量的坐标运算
(1)设a=11(,)xy,b=22(,)xy，则a+b=1212(,)xxyy++.
(2)设a=11(,)xy,b=22(,)xy，则a-b=1212(,)xxyy??.
(3)设A11(,)xy，B22(,)xy,则2121(,)ABOBOAxxyy=?=???????????.(4)设a=(,),xyRλ∈，则λa=(,)xyλλ.
(5)设a=11(,)xy,b=22(,)xy，则a·b=1212()xxyy+.63.两向量的夹角公式
1212
22221122cos
xxyy
xyxyθ
+=
+?+(a=11(,)xy,b=22(,)xy).64.平面两点间的距离公式
,ABd=||ABABAB=?
?????????
222121()()xxyy=?+?(A11(,)xy，B22(,)xy).
65.向量的平行与垂直设a=
11(,)xy,b=22(,)xy，且b≠0，则A||b?b=λa
12210xyxy??=.a⊥b(a≠0)?a·b=0
12120xxyy?+=.66.线段的定比分公式
设111(,)Pxy，222(,)Pxy，(,)Pxy是线段12PP的分点,λ是实数，且12PPPPλ=???????，则
12
12
1
1
xxx
yyy
λλ
λλ
+?=??+
?+?=
?+?
?121OPOPOPλλ+=+???????????
?12(1)OPtOPtOP=+????????????（11tλ=+）.
67.三角形的重心坐标公式△ABC三个顶点的坐标分别为
11A(x,y)、22B(x,y)、33C(x,y),则△ABC的重心的坐
标是123123(,)33xxxyyyG++++.
68.点的平移公式
''''
''''
xxhxxh
yykyyk
??=+=??????
=+=?????''''OPOPPP?=+
???????????.
注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形''F上的对应点为''''''(,)Pxy，且''PP????的坐标为(,)hk.
69.“按向量平移”的几个结论
（1）点(,)Pxy按向量a=(,)hk平移后得到点''(,)Pxhyk++.
(2)函数()yfx=的图象C按向量a=(,)hk平移后得到图象''C,则''C的函数解析式为()yfxhk=?+.
(3)图象''C按向量a=(,)hk平移后得到图象C,若C的解析式()yfx=,则''C的函数解析式为()yfxhk=+?.
(4)曲线C:(,)0fxy=按向量a=(,)hk平移后得到图象''C,则''C的方程为(,)0fxhyk??=.
(5)向量m=(,)xy按向量a=(,)hk平移后得到的向量仍然为m=(,)xy.70.三角形五“心”向量形式的充要条件
设O为ABC?所在平面上一点，角,,ABC所对边长分别为,,abc，则
（1）O为ABC?的外心222OAOBOC?==??????????.
（2）O为ABC?的重心0OAOBOC?++=???????????.（3）O为ABC?的垂心OAOBOBOCOCOA??=?=?????????????????????.
（4）O为ABC?的内心0aOAbOBcOC?++=???????????.
（5）O为ABC?的A∠的旁心aOAbOBcOC?=+??????????.71.常用不等式：
（1）,abR∈?222abab+≥(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2）,abR+∈?2abab+≥(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（3）3333(0,0,0).abcabcabc++≥>>>（4）柯西不等式
22222()()(),,,,.abcdacbdabcdR++≥+∈
（5）bababa+≤+≤?.
72.极值定理已知yx,都是正数，则有
（1）若积xy是定值p，则当yx=时和yx+有最小值p2；
（2）若和yx+是定值s，则当yx=时积xy有最大值241s.
推广已知Ryx∈,，则有xyyxyx2)()(22+?=+（1）若积xy是定值,则当||yx?最大时,||yx+最大；
当||yx?最小时,||yx+最小.（2）若和||yx+是定值,则当||yx?最大时,||xy最小；
当||yx?最小时,||xy最大.
73.一元二次不等式20(0)axbxc++><或2(0,40)abac≠?=?>，如果a与
2axbxc++同号，则其解集在两根之外；如果a与2axbxc++异号，则其解集在两根之
间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
121212()()0()xxxxxxxxx<
121212,()()0()xxxxxxxxxx<>???><或.74.含有绝对值的不等式
当a>0时，有
22xaxaaxa
22xaxaxa>?>?>或xa
75.无理不等式
（1）
()0()()()0
()()
fxfxgxgx
fxgx
≥??>?≥
??>?.
（2）
2
()0()0()()()0
()0()[()]
fxfxfxgxgx
gxfxgx
≥?≥??>?≥
???或.
（3）
2
()0()()()0
()[()]
fxfxgxgx
fxgx
≥??
??
76.指数不等式与对数不等式(1)当1a>时,
()()()()fxgxaafxgx>?>;
()0log()log()()0
()()aa
fxfxgxgx
fxgx
>??>?>
??>
?
.
(2)当01a<<时,
()()()()fxgxaafxgx>?<;
()0log()log()()0
()()aa
fxfxgxgx
fxgx
>??>?>
??<
?77.斜率公式
21
21
yykxx?=?（111(,)Pxy、222(,)Pxy）.
78.直线的五种方程（1）点斜式
11()yykxx?=?(直线l过点111(,)Pxy，且斜率为k)．（2）斜截式ykxb=+(b为直线l在y轴上的截距).
（3）两点式11
2121
yyxxyyxx??=??(12yy≠)(111(,)Pxy、222(,)Pxy(12xx≠)).
(4)截距式1xyab+=(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab≠、)
（5）一般式0AxByC++=(其中A、B不同时为0).79.两条直线的平行和垂直
(1)若111:lykxb=+，222:lykxb=+
①121212||,llkkbb?=≠;
②12121llkk⊥?=?.
(2)若1111:0lAxByC++=,2222:0lAxByC++=,且A1、A2、B1、B2都不为零,
①11112
222
||ABCllABC?=≠；
②1212120llAABB⊥?+=；80.夹角公式
(1)21
21
tan||1kkkkα?=+.
(111:lykxb=+，222:lykxb=+,121kk≠?)
(2)1221
1212
tan||ABABAABBα?=+.
(1111:0lAxByC++=,2222:0lAxByC++=,12120AABB+≠).
直线12ll⊥时，直线l1与l2的夹角是2π.
81.1l到2l的角公式
(1)21
21
tan1kkkkα?=+.
(111:lykxb=+，222:lykxb=+,121kk≠?)
(2)1221
1212
tanABABAABBα?=+.
(1111:0lAxByC++=,2222:0lAxByC++=,12120AABB+≠).
直线12ll⊥时，直线l1到l2的角是2π.
82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点
000(,)Pxy的直线系方程为00()yykxx?=?(除直线
0xx=),其中k是待定的系数;经过定点000(,)Pxy的直线系方程为
00()()0AxxByy?+?=,其中,AB是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线
1111:0lAxByC++=,2222:0lAxByC++=的交点的直线系方程为
111222()()0AxByCAxByCλ+++++=(除2l)，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线ykxb=+中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线
系方程．与直线0AxByC++=平行的直线系方程是0AxByλ++=(0λ≠)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线0AxByC++=(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是0BxAyλ?+=,λ是参变量．
83.点到直线的距离
00
22
||AxByCd
AB
++=
+(点00(,)Pxy,直线l：0AxByC++=).84.0AxByC++>或0<所表示的平面区域
设直线:0lAxByC++=，则0AxByC++>或0<所表示的平面区域是：若0B≠，当B与AxByC++同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC++
异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B=，当A与AxByC++同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC++
异号时，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.85.
111222()()0AxByCAxByC++++>或0<所表示的平面区域设曲线
111222:()()0CAxByCAxByC++++=（12120AABB≠），则
111222()()0AxByCAxByC++++>或0<所表示的平面区域是：
111222()()0AxByCAxByC++++>所表示的平面区域上下两部分；
111222()()0AxByCAxByC++++<所表示的平面区域上下两部分.86.圆的四种方程
（1）圆的标准方程222()()xaybr?+?=.
（2）圆的一般方程220xyDxEyF++++=(224DEF+?＞0).
（3）圆的参数方程cossinxarybrθθ=+??=+?.
（4）圆的直径式方程1212()()()()0xxxxyyyy??+??=(圆的直径的端点是
11(,)Axy、22(,)Bxy).87.圆系方程
(1)过点11(,)Axy,22(,)Bxy的圆系方程是
1212112112()()()()[()()()()]0xxxxyyyyxxyyyyxxλ??+??+?????=
1212()()()()()0xxxxyyyyaxbycλ???+??+++=,其中0axbyc++=是直线AB的方程,λ是待定的系数．
(2)过直线l:0AxByC++=与圆C:220xyDxEyF++++=的交点的圆系方程
是22()0xyDxEyFAxByCλ+++++++=,λ是待定的系数．
(3)过圆1C:221110xyDxEyF++++=与圆2C:222220xyDxEyF++++=的交
点的圆系方程是2222111222()0xyDxEyFxyDxEyFλ+++++++++=,λ是待定的系数．
88.点与圆的位置关系点
00(,)Pxy与圆222)()(rbyax=?+?的位置关系有三种
若2200()()daxby=?+?，则dr>?
点P在圆外;dr=?点P在圆上;dr
直线0=++CByAx与圆222)()(rbyax=?+?的位置关系有三种:0相离rd;
0=???=相切rd;0>???<相交rd.
其中22BACBbAad+++=.
90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O
1，O2，半径分别为r1，r2，dOO=21条公切线外离4
21??+>rrd;条公切线外切3
21??+=rrd;条公切线相交2
2121??+<
21???=rrd;无公切线内含???<<
210rrd.91.圆的切线方程
(1)已知圆220xyDxEyF++++=．①若已知切点
00(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是
0000()()022DxxEyyxxyyF++++++=.
当00(,)xy圆外时,0000()()022DxxEyyxxyyF++++++=表示过两个切点
的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为
00()yykxx?=?，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为ykxb=+，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆222xyr+=．
①过圆上的000(,)Pxy点的切线方程为200xxyyr+=;
②斜率为k的圆的切线方程为21ykxrk=±+.
92.椭圆22221(0)xyabab+=>>的参数方程是cossinxaybθθ=??=?.
93.椭圆22221(0)xyabab+=>>焦半径公式
)(21caxePF+=，)(22xcaePF?=.
94．椭圆的的内外部
（1）点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab+=>>的内部2200221xyab?+<.
（2）点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab+=>>的外部2200221xyab?+>.
95.椭圆的切线方程
(1)椭圆22221(0)xyabab+=>>上一点00(,)Pxy处的切线方程是00221xxyyab+=.
（2）过椭圆22221(0)xyabab+=>>外一点00(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是
00221xxyyab+=.
（3）椭圆22221(0)xyabab+=>>与直线0AxByC++=相切的条件是
22222AaBbc+=.
96.双曲线22221(0,0)xyabab?=>>的焦半径公式
2
1|()|aPFexc=+，
2
2|()|aPFexc=?.
97.双曲线的内外部
(1)点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab?=>>的内部2200221xyab??>.
(2)点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab?=>>的外部2200221xyab??<.
98.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为12222=?byax?渐近线方程：22220xyab?=?xaby±=.
(2)若渐近线方程为xaby±=?0=±byax?双曲线可设为λ=?2222byax.
(3)若双曲线与12222=?byax有公共渐近线，可设为λ=?2222byax（0>λ，焦点在x
轴上，0<λ，焦点在y轴上）.99.双曲线的切线方程
(1)双曲线22221(0,0)xyabab?=>>上一点00(,)Pxy处的切线方程是00221xxyyab?=.
（2）过双曲线22221(0,0)xyabab?=>>外一点00(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是
00221xxyyab?=.
（3）双曲线22221(0,0)xyabab?=>>与直线0AxByC++=相切的条件是
22222AaBbc?=.
100.抛物线pxy22=的焦半径公式
抛物线22(0)ypxp=>焦半径02pCFx=+.
过焦点弦长pxxpxpxCD++=+++=212122.
101.抛物线pxy22=上的动点可设为P),2(2??ypy或或)2,2(2ptptPP(,)xy??，其中
22ypx=??.
102.二次函数2224()24bacbyaxbxcaxaa?=++=++(0)a≠的图象是抛物线：（1）顶
点坐标为24(,)24bacbaa??；（2）焦点的坐标为241(,)24bacbaa?+?；（3）准线方程是
241
4acbya??=.103.抛物线的内外部
(1)点00(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp=>的内部22(0)ypxp?<>.
点00(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp=>的外部22(0)ypxp?>>.
(2)点00(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp=?>的内部22(0)ypxp?.
点00(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp=?>的外部22(0)ypxp?>?>.
(3)点00(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp=>的内部22(0)xpyp?<>.
点00(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp=>的外部22(0)xpyp?>>.
(4)点00(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp=>的内部22(0)xpyp?<>.
点00(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp=?>的外部22(0)xpyp?>?>.104.抛物线的切线方程
(1)抛物线pxy22=上一点00(,)Pxy处的切线方程是00()yypxx=+.
（2）过抛物线pxy22=外一点00(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是00()yypxx=+.
（3）抛物线22(0)ypxp=>与直线0AxByC++=相切的条件是22pBAC=.105.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线1(,)0fxy=,2(,)0fxy=的交点的曲线系方程是
12(,)(,)0fxyfxyλ+=(λ为参数).
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221xyakbk+=??,其中22max{,}kab<.当
22min{,}kab>时,表示椭圆;当2222min{,}max{,}abkab<<时,表示双曲线.
106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()ABxxyy=?+?或
2222211212(1)()||1tan||1tABkxxxxyycoαα=+?=?+=?+（弦端点
A),(),,(2211yxByx，由方程???=+=0)y,x(Fbkxy消去y得到02=++cbxax，0?>,α为直线
AB的倾斜角，k为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线(,)0Fxy=关于点00(,)Pxy成中心对称的曲线是00(2-,2)0Fxxyy?=.
（2）曲线(,)0Fxy=关于直线0AxByC++=成轴对称的曲线是
2222
2()2()(,)0AAxByCBAxByCFxyABAB++++??=++.
108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220AxBxyCyDxEyF+++++=，用
0xx代2x，用0yy代2y，
用002xyxy+代xy，用02xx+代x，用02yy+代y即得方程
0000000222xyxyxxyyAxxBCyyDEF++++?++?+?+=，曲线的切线，切点弦，中点
弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.114．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a＋b=b＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的
以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b?存在实数λ使a=λb．PAB、、
三点共线?||APAB?APtAB=???????(1)OPtOAtOB=?+?????????.||ABCD?AB???
、CD???共线且ABCD、不共线?ABtCD=??????且ABCD、不共线.118.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的?存在实数对,xy,使paxby=+．
推论空间一点P位于平面MAB内的?存在有序实数对,xy,使MPxMAyMB=+????????????，
或对空间任一定点O，有序实数对,xy，使OPOMxMAyMB=++???????????????.
119.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC=++?????????????（xyzk++=），则当1k=时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当1k≠时，
若O∈平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O?平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．CAB、、、D
四点共面?AD????与AB???、AC????共面?ADxAByAC=+????????????(1)ODxyOAxOByOC=??++??????????????
（O?平面ABC）.120.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实
数x，y，z，使OPxOAyOBzOC=++?????????????.121.射影公式
已知向量AB???=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影''A，作B点在l上的射影
''B，则
''''||cosABAB=???〈a，e〉=a·e
122.向量的直角坐标运算设a＝
123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb则(1)a＋b＝
112233(,,)ababab+++；(2)a－b＝
112233(,,)ababab???；(3)λa＝
123(,,)aaaλλλ(λ∈R)；(4)a·b＝
112233ababab++；
123.设A111(,,)xyz，B222(,,)xyz，则
ABOBOA=??????????=212121(,,)xxyyzz???.124．空间的线线平行或垂直
设111(,,)axyz=r，222(,,)bxyz=r，则
abrrP?(0)abbλ=≠rrrr?1212
12
xxyy
zz
λλ
λ
=??=
??=
?
；
ab⊥rr?0ab?=rr?1212120xxyyzz++=.125.夹角公式
设a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb，则
cos〈a，b〉=112233222222
123123
ababab
aaabbb
++
++++.
推论2222222112233123123()()()abababaaabbb++≤++++，此即三维柯西不等式.
126.四面体的对棱所成的角四面体ABCD中,AC与BD所成的角为θ,则
2222|()()|cos
2ABCDBCDAACBDθ+?+=?.
127．异面直线所成角
cos|cos,|abθ=rr
=121212222222
111222
||||||||xxyyzzabab
xyzxyz
++?=?
++?++
rrrr
（其中θ（090θ<≤oo）为异面直线ab,所成角，,abrr分别表示异面直线ab,的方向向量）128.直线AB与平面所成角
sin||||ABmarcABmβ?=??????????(m??为平面α的法向量).
129.若ABC?所在平面若β与过若AB的平面α成的角θ,另两边AC,BC与平面α
成的角分别是1θ、2θ,AB、为ABC?的两个内角，则
2222212sinsin(sinsin)sinABθθθ+=+.
特别地,当90ACB∠=?时,有
22212sinsinsinθθθ+=.
130.若ABC?所在平面若β与过若AB的平面α成的角θ,另两边AC,BC与平面α
成的角分别是1θ、2θ,''''AB、为ABO?的两个内角，则
222''2''212tantan(sinsin)tanABθθθ+=+.
特别地,当90AOB∠=?时,有
22212sinsinsinθθθ+=.
131.二面角lαβ??的平面角
cos||||mnarcmnθ?=??????或cos||||mnarcmnπ????????（m??，n?为平面α，β的法向量）.
132.三余弦定理设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为
1θ，AB与AC所成的角为
2θ，AO与AC所成的角为θ．则12coscoscosθθθ=.133.三射线定理
若夹在平面角为?的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面
角的棱所成的角是θ，则有22221212sinsinsinsin2sinsincos?θθθθθ?=+?;
1212||180()θθ?θθ?≤≤?+?(当且仅当90θ=?时等号成立).134.空间两点间的距离公式
若A111(,,)xyz，B222(,,)xyz，则
,ABd=||ABABAB=?
?????????222
212121()()()xxyyzz=?+?+?.135.点Q到直线l距离
221(||||)()||hababa=??(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA???，向量
b=PQ???).136.异面直线间的距离
||||CDndn?=??????(12,ll是两异面直线，其公垂向量为n?，CD、分别是12,ll上任一点，d为
12,ll间的距离).137.点B到平面α的距离
||||ABndn?=??????（n?为平面α的法向量，AB是经过面α的一条斜线，Aα∈）.
138.异面直线上两点距离公式
2222cosdhmnmnθ=++?.
222''2cos,dhmnmnEAAF=++????????.
2222cosdhmnmn?=++?（''EAAF?=??）.
(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段''AA的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，
''AEm=,AFn=,EFd=).
139.三个向量和的平方公式222
2()222abcabcabbcca++=+++?+?+?????????????
2222||||cos,2||||cos,2||||cos,abcababbcbccaca=+++?+?+????????????????
140.长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123lll、、，夹角分
别为123θθθ、、,则有
2222123llll=++222123coscoscos1θθθ?++=222123sinsinsin2θθθ?++=.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141.面积射影定理
''
cosSSθ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S、''S，它们所在平面所成锐二面角的为θ).
142.斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和
面积分别是1c和1S,则
①1Scl=斜棱柱侧.
②1VSl=斜棱柱.
143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.
144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积
的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的
比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)
2VFE+?=(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F
与棱数E的关系：12EnF=；
（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：12EmV=.
146.球的半径是R，则
其体积343VRπ=,
其表面积24SRπ=．147.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线
长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体:
棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a,外接球的半径为64a.
148．柱体、锥体的体积1
3VSh=柱体（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.1
3VSh=锥体（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理）
12nNmmm=+++?.150.分步计数原理（乘法原理）
12nNmmm=×××?.151.排列数公式
mnA=)1()1(+??mnnn?=！！)(mnn?.(n，m∈N，且mn≤)．
注:规定1!0=.152.排列恒等式
(1）1(1)mmnnAnmA?=?+;
（2）1mmnnnAAnm?=?;
（3）11mmnnAnA??=;
（4）11nnnnnnnAAA++=?;
（5）11mmmnnnAAmA?+=+.
(6)1!22!33!!(1)!1nnn+?+?++?=+??.153.组合数公式
mnC=mnm
m
AA=mmnnn×××+????21)1()1(=！！！)(mnmn??(n∈N，mN∈，且mn≤).
154.组合数的两个性质(1)m
nC=mnnC?;(2)m
nC+1?mnC=mnC1+.注:规定10=
nC.155.组合恒等式
（1）11mmnnnmCCm??+=;
（2）1mmnnnCCnm?=?;
（3）11mmnnnCCm??=;
（4）∑
=
n
r
rnC
0
=n2;
（5）1121++++=++++rnrnrrrrrrCCCCC?.
(6)nnnrnnnnCCCCC2210=++++++??.
(7)14205312?+++=+++nnnnnnnCCCCCC??.
(8)1321232?=++++nnnnnnnnCCCC?.
(9)rnmrnrmnrmnrmCCCCCCC+?=+++0110?.
(10)nnnnnnnCCCCC22222120)()()()(=++++?.
156.排列数与组合数的关系mm
nnAmC=?！.157．单条件排列
以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有11??mnA种；②某（特）元不在某位有11???mnmnAA（补集思想）
1111???=mnnAA（着眼位置）11111????+=mnmmnAAA（着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(nmkk≤≤个元在固定位的排列有
kmknkkAA??种.
②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有kkknknAA11+?+?种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h个（1+≤hk），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有
khhhAA1+种.
（3）两组元素各相同的插空m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当1+>mn时，无解；当1+≤mn时，有nmn
n
nmC
AA11++=种排法.
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为nnmC+.158．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配
方法数共有mnnnnnnmnnnmnnmnnmnCCCCCN)!()!(22=?????=???.
（2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有
m
nnnnnnmnnnmnnmn
nmmnmCCCCCN)!(!)!(!...22=????=??.（3）(非平均分组有归属问题)将相异的)?
12mP(P=n+n++n个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到
1n，2n，…，mn件，且1n，2n，…，mn这m个数彼此不相等，则其
分配方法数共有!!...!!!!...
21
2
1
1
m
nnnnpnpnnnmpmCCCNm
m=??=?.
（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)?12mP(P=n+n++n个物体分给m个人，
物件必须被分完，分别得到1n，2n，…，mn件，且1n，2n，…，mn这m个数中分别有a、b、
c、…个相等，则其分配方法数有!...!!!...211cbamCCCNmmnnnnpnp??=?
12
!!!!...!(!!!...)
m
pmnnnabc=.
（5）(非平均分组无归属问题)将相异的)?12mP(P=n+n++n个物体分为任意的1n，
2n，…，mn件无记号的m堆，且1n，2n，…，mn这m个数彼此不相等，则其分配方法数有
!!...!!21mnnnpN=.
（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的)?12mP(P=n+n++n个物体分为任意的1n，
2n，…，mn件无记号的m堆，且1n，2n，…，mn这m个数中分别有a、b、c、…个相等，
则其分配方法数有!...)!!(!!...!!
21cbannn
pN
m
=.
（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（2mpnnn=?1+++）个物体分给甲、乙、丙，……
等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n件，乙得2n件，丙得3n件，…时，则无论1n，
2n，…，mn等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
!!...!!...21211mnnnnpnpnnnpCCCNmm=?=?.
159．“错位问题”及其推广贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为
1111()![(1)]2!3!4!!nfnnn=?+?+??.
推广:n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为
1234(,)!(1)!(2)!(3)!(4)!
(1)()!(1)()!mmmmppmmmm
fnmnCnCnCnCn
CnpCnm
=??+???+?
?+??++????
1234
1224![1(1)(1)]
pmpmmmmmmm
pmnnnnnn
CCCCCCnAAAAAA=?+?+?+?++???.
160．不定方程2nxxxm=?1+++的解的个数
(1)方程2nxxxm=?1+++（,nmN?∈）的正整数解有11mnC??个.
(2)方程2nxxxm=?1+++（,nmN?∈）的非负整数解有11nmnC+??个.
(3)方程2nxxxm=?1+++（,nmN?∈）满足条件ixk≥(kN?∈,21in≤≤?)
的非负整数解有11(2)(1)mnnkC+????个.
(4)方程2nxxxm=?1+++（,nmN?∈）满足条件ixk≤(kN?∈,21in≤≤?)
的正整数解有12222321(2)11121221(1)nmnmnknmnknmnknnnnnnCCCCCCC+??+???+???+?????????+?+??个.
161.二项式定理nn
nrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba++++++=+?????222110)(;二项展开式的通项公式
rrnrnrbaCT?+=1)210(nr，，，?=.
162.等可能性事件的概率
()mPAn=.
163.互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
164.n个互斥事件分别发生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
165.独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)=P(A)·P(B).
166.n个独立事件同时发生的概率P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．
167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率()(1).kknk
nnPkCPP?=?168.离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）0(1,2,)iPi≥=?;
（2）121PP++=?.169.数学期望
1122nnExPxPxPξ=++++??170.数学期望的性质
（1）()()EabaEbξξ+=+.（2）若ξ～(,)Bnp,则Enpξ=.
(3)若ξ服从几何分布,且1()(,)kPkgkpqpξ?===，则1Epξ=.
171.方差()()()
2221122nnDxEpxEpxEpξξξξ=??+??++??+??
172.标准差σξ
=ξD.173.方差的性质
(1)()2DabaDξξ+=；
(2）若ξ～(,)Bnp，则(1)Dnppξ=?.
(3)若ξ服从几何分布,且1()(,)kPkgkpqpξ?===，则2qDpξ=.
174.方差与期望的关系()
22DEEξξξ=?.
175.正态分布密度函数
()()()22261,,26xfxexμπ??=∈?∞+∞，式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表
示个体的平均数与标准差.176.标准正态分布密度函数
()()221,,26xfxexπ?=∈?∞+∞.
177.对于2(,)Nμσ，取值小于x的概率
()xFxμσ???=Φ????.
()()()12201xxPxxPxxxP
21FxFx=?
21xxμμσσ??????=Φ?Φ????????.
178.回归直线方程
?yabx=+，其中
()()
()1122211
nn
iiiiii
nn
iiii
xxyyxynxyb
xxxnx
aybx
==
==
?????
?==???
??
=??
∑∑
∑∑.
179.相关系数()()
1
22
11
()()
n
iii
nn
iiii
xxyyr
xxyy
=
==
??=
??
∑
∑∑
()()1
2222
11
()()
n
iii
nn
iiii
xxyy
xnxyny
=
==
??=
??
∑
∑∑.
|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.180.特殊数列的极限
（1）
0||1lim11
||11
n
n
qqq
qq→∞
??<=??不存在或.
（2）1101
10
0()
lim()
()
kkkkt
ttnttk
ktananaa
ktbnbnbb
kt
??
?→∞?
?
+++?==?+++
??>?
??
不存在
.
（3）()111lim11nnaqaSqq→∞?==??（S无穷等比数列}{11naq?(||1q<)的和）.
181.函数的极限定理
0
lim()xxfxa→=?
00
lim()lim()xxxxfxfxa?+→→==.
182.函数的夹逼性定理如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x
0的附近满足：（1）()()()gxfxhx≤≤;
（2）
00lim(),lim()xxxxgxahxa→→==
（常数）,
则
0
lim()xxfxa→=.
本定理对于单侧极限和∞→x的情况仍然成立.183.几个常用极限
（1）1lim0nn→∞=，lim0nna→∞=（||1a<）；
（2）
00
limxxxx→=，
00
11lim
xxxx→=.
184.两个重要的极限
（1）0sinlim1xxx→=；
（2）1lim1xxex→∞??+=????(e=2.718281845…).
185.函数极限的四则运算法则若
0
lim()xxfxa→=，
0
lim()xxgxb→=，则
(1)()()
0
limxxfxgxab→±=±????；
(2)()()
0
limxxfxgxab→?=?????;
(3)()()()0lim0xxfxabgxb→=≠.
186.数列极限的四则运算法则若lim,lim
nnnnaabb→∞→∞==，则
(1)()limnnnabab→∞±=±；
(2)()limnnnabab→∞?=?；
(3)()lim0nn
n
aabbb
→∞=≠
(4)()limlimlimnnnnncacaca→∞→∞→∞?=?=?(c是常数).
187.)(xf在0x处的导数（或变化率或微商）
0
000
00
()()()limlim
xxxx
fxxfxyfxyxx
=?→?→
+???′′===??.
188.瞬时速度
00
()()()limlim
tt
ssttststttυ
?→?→
?+??′===??.
189.瞬时加速度
00
()()()limlim
tt
vvttvtavttt
?→?→
?+??′===??.
190.)(xf在),(ba的导数
()dydffxydxdx′′===00()()limlimxxyfxxfxxx?→?→?+??==??.
191.函数)(xfy=在点0x处的导数的几何意义
函数)(xfy=在点0x处的导数是曲线)(xfy=在))(,(00xfxP处的切线的斜率)(
0xf′，相应的切线方程是))((000xxxfyy?′=?.192.几种常见函数的导数
(1)0=′C（C为常数）.(2)''1()()n
nxnxnQ?=∈.(3)xxcos)(sin=′.
(4)xxsin)(cos?=′.
(5)xx1)(ln=′；eaxxalog1)(log=′.
(6)xxee=′)(;aaaxxln)(=′.193.导数的运算法则
（1）''''''()uvuv±=±.
（2）''''''()uvuvuv=+.
（3）''''''2()(0)uuvuvvvv?=≠.
194.复合函数的求导法则设函数()ux?=在点x处有导数
''''()xux?=，函数)(ufy=在点x处的对应点U处有
导数''''()uyfu=，则复合函数(())yfx?=在点x处有导数，且''''''xuxyyu=?，或写作
''''''(())()()xfxfux??=.
195.常用的近似计算公式（当x充小时）
(1)xx2111+≈+;xnxn111+≈+；
(2)(1)1()xxRααα+≈+∈；xx?≈+111；
(3)xex+≈1；(4)xxl
n≈+)1(；(5)xx≈sin（x为弧度）；
(6)xx≈tan（x为弧度）；(7)xx≈arctan（x为弧度）
196.判别)(0xf是极大（小）值的方法
当函数)(xf在点0x处连续时，
（1）如果在0x附近的左侧0)(>′xf，右侧0)(<′xf，则)(0xf是极大值；
（2）如果在0x附近的左侧0)(<′xf，右侧0)(>′xf，则)(0xf是极小值.197.复数的相等
,abicdiacbd+=+?==.（,,,abcdR∈）198.复数zabi=+的模（或绝对值）
||z=||abi+=22ab+.199.复数的四则运算法则
(1)()()()()abicdiacbdi+++=+++;(2)()()()()abicdiacbdi+?+=?+?;
(3)()()()()abicdiacbdbcadi++=?++;
(4)2222()()(0)acbdbcadabicdiicdicdcd+?+÷+=++≠++.
200.复数的乘法的运算律对于任何
123,,zzzC∈，有交换律:
1221zzzz?=?.结合律:
123123()()zzzzzz??=??.分配律:
1231213()zzzzzzz?+=?+?.201.复平面上的两点间的距离公式
22122121||()()dzzxxyy=?=?+?（111zxyi=+，222zxyi=+）.
202.向量的垂直非零复数
1zabi=+，2zcdi=+对应的向量分别是1OZ
????，
2OZ
????，则
12OZOZ⊥
?????????
12zz?的实部为零?21zz为纯虚数?2221212||||||zzzz+=+
?2221212||||||zzzz?=+?1212||||zzzz+=??0acbd+=?12zizλ=(λ为非零实数).
203.实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程
20axbxc++=，
①若240bac?=?>,则21,242bbacxa?±?=;
②若240bac?=?=,则122bxxa==?;
③若240bac?=?<，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭
复数根22(4)(40)2bbacixbaca?±??=?<.
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